Theorem ibladdnclem 28373

Description: Lemma for ibladdnc 28374; cf ibladdlem 21256, whose fifth hypothesis is rendered unnecessary by the weakened hypotheses of itg2addnc 28371. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnclem.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ibladdnclem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
ibladdnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
ibladdnclem.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
ibladdnclem.6	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
ibladdnclem.7	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ibladdnclem	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem ibladdnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifan 3832	. . . 4 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 )
2		ibladdnclem.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
3		ibladdnclem.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		ibladdnclem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
5	3, 4	readdcld 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
6	2, 5	eqeltrd 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. RR )
7		0re 9382	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		ifcl 3828	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
10	9	rexrd 9429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* )
11		max1 11153	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ D e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
12	7, 6, 11	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
13		elxrge0 11390	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) ) )
14	10, 12, 13	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15		0e0iccpnf 11392	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	1, 18	syl5eqel 2525	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20		eqid 2441	. . 3 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) )
21	19, 20	fmptd 5864	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22		reex 9369	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
24		ifan 3832	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
25		ifcl 3828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
26	3, 7, 25	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
27	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. RR )
28	26, 27	ifclda 3818	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. RR )
29	24, 28	syl5eqel 2525	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
30	29	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
31		ifan 3832	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 )
32		ifcl 3828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
33	4, 7, 32	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
34	33, 27	ifclda 3818	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. RR )
35	31, 34	syl5eqel 2525	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
36	35	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
37		eqidd 2442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
38		eqidd 2442	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
39	23, 30, 36, 37, 38	offval2 6335	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
40		iftrue 3794	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
41		ibar 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ B <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) )
42	41	ifbid 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
43		ibar 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ C <-> ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
44	43	ifbid 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
45	42, 44	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
46	40, 45	eqtr2d 2474	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
47		00id 9540	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
48		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> x e. A )
49	48	con3i 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
50		iffalse 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
52		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> x e. A )
53	52	con3i 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) )
54		iffalse 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
56	51, 55	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
57		iffalse 3796	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
58	47, 56, 57	3eqtr4a 2499	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
59	46, 58	pm2.61i 164	. . . . . . 7 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 )
60	59	mpteq2i 4372	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
61	39, 60	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
62	61	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
63		ibladdnclem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
64	63, 3	mbfdm2 21075	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
65		mblss 20973	. . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
66	64, 65	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
67		rembl 20981	. . . . . . 7 |- RR e. dom vol
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. dom vol )
69	29	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
70		eldifn 3476	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
71	70	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
72	71	intnanrd 903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
73	72, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
74	42	mpteq2ia 4371	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
75	3, 63	mbfpos 21088	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
76	74, 75	syl5eqelr 2526	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
77	66, 68, 69, 73, 76	mbfss 21083	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
78		max1 11153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
79	7, 3, 78	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
80		elrege0 11388	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
81	26, 79, 80	sylanbrc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
82		0e0icopnf 11391	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
84	81, 83	ifclda 3818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
85	24, 84	syl5eqel 2525	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
86	85	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
87		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
88	86, 87	fmptd 5864	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89		ibladdnclem.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
90		max1 11153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
91	7, 4, 90	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
92		elrege0 11388	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
93	33, 91, 92	sylanbrc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	93, 83	ifclda 3818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
95	31, 94	syl5eqel 2525	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
96	95	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
97		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
98	96, 97	fmptd 5864	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99		ibladdnclem.7	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )
100	77, 88, 89, 98, 99	itg2addnc 28371	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
101	62, 100	eqtr3d 2475	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
102	89, 99	readdcld 9409	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) e. RR )
103	101, 102	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
104	26, 33	readdcld 9409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR )
105	104	rexrd 9429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* )
106	26, 33, 79, 91	addge0d 9911	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
107		elxrge0 11390	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
108	105, 106, 107	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
109	108, 16	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
110	109	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111		eqid 2441	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
112	110, 111	fmptd 5864	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
113		max2 11155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
114	7, 3, 113	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
115		max2 11155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
116	7, 4, 115	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
117	3, 4, 26, 33, 114, 116	le2addd 9953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
118	2, 117	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
119		breq1 4292	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
120		breq1 4292	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
121	119, 120	ifboth 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
122	118, 106, 121	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
123		iftrue 3794	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
124	123	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
125	40	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
126	122, 124, 125	3brtr4d 4319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
127	126	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
128		0le0 10407	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
129	128	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
130		iffalse 3796	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = 0 )
131	129, 130, 57	3brtr4d 4319	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
132	127, 131	pm2.61d1 159	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
133	1, 132	syl5eqbr 4322	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
134	133	ralrimivw 2798	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
135		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) )
136		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
137	23, 19, 110, 135, 136	ofrfval2 6336	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
138	134, 137	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
139		itg2le 21176	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
140	21, 112, 138, 139	syl3anc 1213	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
141		itg2lecl 21175	. 2 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )
142	21, 103, 140, 141	syl3anc 1213	1 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   oFcof 6317   oRcofr 6318   RRcr 9277   0cc0 9278   + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   <_ cle 9415   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   volcvol 20906  MblFncmbf 21053   S.2citg2 21055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060

This theorem is referenced by:  ibladdnc  28374