Theorem ibladdnclem 28448

Description: Lemma for ibladdnc 28449; cf ibladdlem 21297, whose fifth hypothesis is rendered unnecessary by the weakened hypotheses of itg2addnc 28446. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnclem.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ibladdnclem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
ibladdnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
ibladdnclem.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
ibladdnclem.6	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
ibladdnclem.7	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ibladdnclem	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem ibladdnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifan 3835	. . . 4 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 )
2		ibladdnclem.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
3		ibladdnclem.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		ibladdnclem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
5	3, 4	readdcld 9413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
6	2, 5	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. RR )
7		0re 9386	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		ifcl 3831	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
10	9	rexrd 9433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* )
11		max1 11157	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ D e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
12	7, 6, 11	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
13		elxrge0 11394	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) ) )
14	10, 12, 13	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15		0e0iccpnf 11396	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	ifclda 3821	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	1, 18	syl5eqel 2527	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20		eqid 2443	. . 3 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) )
21	19, 20	fmptd 5867	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22		reex 9373	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
24		ifan 3835	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
25		ifcl 3831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
26	3, 7, 25	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
27	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. RR )
28	26, 27	ifclda 3821	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. RR )
29	24, 28	syl5eqel 2527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
30	29	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
31		ifan 3835	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 )
32		ifcl 3831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
33	4, 7, 32	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
34	33, 27	ifclda 3821	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. RR )
35	31, 34	syl5eqel 2527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
36	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
37		eqidd 2444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
38		eqidd 2444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
39	23, 30, 36, 37, 38	offval2 6336	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
40		iftrue 3797	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
41		ibar 504	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ B <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) )
42	41	ifbid 3811	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
43		ibar 504	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ C <-> ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
44	43	ifbid 3811	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
45	42, 44	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
46	40, 45	eqtr2d 2476	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
47		00id 9544	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
48		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> x e. A )
49	48	con3i 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
50		iffalse 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
52		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> x e. A )
53	52	con3i 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) )
54		iffalse 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
56	51, 55	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
57		iffalse 3799	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
58	47, 56, 57	3eqtr4a 2501	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
59	46, 58	pm2.61i 164	. . . . . . 7 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 )
60	59	mpteq2i 4375	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
61	39, 60	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
62	61	fveq2d 5695	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
63		ibladdnclem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
64	63, 3	mbfdm2 21116	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
65		mblss 21014	. . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
66	64, 65	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
67		rembl 21022	. . . . . . 7 |- RR e. dom vol
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. dom vol )
69	29	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
70		eldifn 3479	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
71	70	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
72	71	intnanrd 908	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
73	72, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
74	42	mpteq2ia 4374	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
75	3, 63	mbfpos 21129	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
76	74, 75	syl5eqelr 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
77	66, 68, 69, 73, 76	mbfss 21124	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
78		max1 11157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
79	7, 3, 78	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
80		elrege0 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
81	26, 79, 80	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
82		0e0icopnf 11395	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
84	81, 83	ifclda 3821	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
85	24, 84	syl5eqel 2527	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
86	85	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
87		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
88	86, 87	fmptd 5867	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89		ibladdnclem.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
90		max1 11157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
91	7, 4, 90	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
92		elrege0 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
93	33, 91, 92	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	93, 83	ifclda 3821	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
95	31, 94	syl5eqel 2527	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
96	95	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
97		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
98	96, 97	fmptd 5867	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99		ibladdnclem.7	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )
100	77, 88, 89, 98, 99	itg2addnc 28446	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
101	62, 100	eqtr3d 2477	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
102	89, 99	readdcld 9413	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) e. RR )
103	101, 102	eqeltrd 2517	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
104	26, 33	readdcld 9413	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR )
105	104	rexrd 9433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* )
106	26, 33, 79, 91	addge0d 9915	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
107		elxrge0 11394	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
108	105, 106, 107	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
109	108, 16	ifclda 3821	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
110	109	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111		eqid 2443	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
112	110, 111	fmptd 5867	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
113		max2 11159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
114	7, 3, 113	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
115		max2 11159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
116	7, 4, 115	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
117	3, 4, 26, 33, 114, 116	le2addd 9957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
118	2, 117	eqbrtrd 4312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
119		breq1 4295	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
120		breq1 4295	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
121	119, 120	ifboth 3825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
122	118, 106, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
123		iftrue 3797	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
124	123	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
125	40	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
126	122, 124, 125	3brtr4d 4322	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
127	126	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
128		0le0 10411	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
129	128	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
130		iffalse 3799	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = 0 )
131	129, 130, 57	3brtr4d 4322	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
132	127, 131	pm2.61d1 159	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
133	1, 132	syl5eqbr 4325	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
134	133	ralrimivw 2800	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
135		eqidd 2444	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) )
136		eqidd 2444	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
137	23, 19, 110, 135, 136	ofrfval2 6337	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
138	134, 137	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
139		itg2le 21217	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
140	21, 112, 138, 139	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
141		itg2lecl 21216	. 2 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )
142	21, 103, 140, 141	syl3anc 1218	1 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   oFcof 6318   oRcofr 6319   RRcr 9281   0cc0 9282   + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   <_ cle 9419   [,)cico 11302   [,]cicc 11303   volcvol 20947  MblFncmbf 21094   S.2citg2 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101

This theorem is referenced by:  ibladdnc  28449