Theorem ibladdnclem 32062

Description: Lemma for ibladdnc 32063; cf ibladdlem 22856, whose fifth hypothesis is rendered unnecessary by the weakened hypotheses of itg2addnc 32060. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnclem.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
ibladdnclem.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
ibladdnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
ibladdnclem.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
ibladdnclem.6	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
ibladdnclem.7	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ibladdnclem	|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem ibladdnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifan 3918	. . . 4 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 )
2		ibladdnclem.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D = ( B + C ) )
3		ibladdnclem.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
4		ibladdnclem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
5	3, 4	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
6	2, 5	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. RR )
7		0re 9661	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		ifcl 3914	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR )
10	9	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* )
11		max1 11503	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ D e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
12	7, 6, 11	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
13		elxrge0 11767	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ D , D , 0 ) ) )
14	10, 12, 13	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15		0e0iccpnf 11769	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	ifclda 3904	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	1, 18	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20		eqid 2471	. . 3 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) )
21	19, 20	fmptd 6061	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22		reex 9648	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. _V )
24		ifan 3918	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
25		ifcl 3914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
26	3, 7, 25	sylancl 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
27	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. RR )
28	26, 27	ifclda 3904	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. RR )
29	24, 28	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
30	29	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
31		ifan 3918	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 )
32		ifcl 3914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
33	4, 7, 32	sylancl 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
34	33, 27	ifclda 3904	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. RR )
35	31, 34	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
36	35	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. RR )
37		eqidd 2472	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) )
38		eqidd 2472	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
39	23, 30, 36, 37, 38	offval2 6567	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) )
40		iftrue 3878	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
41		ibar 512	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ B <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) ) )
42	41	ifbid 3894	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
43		ibar 512	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 0 <_ C <-> ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
44	43	ifbid 3894	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
45	42, 44	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) )
46	40, 45	eqtr2d 2506	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
47		00id 9826	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
48		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) -> x e. A )
49	48	con3i 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
50	49	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
51		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) -> x e. A )
52	51	con3i 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ C ) )
53	52	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) = 0 )
54	50, 53	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
55		iffalse 3881	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
56	47, 54, 55	3eqtr4a 2531	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
57	46, 56	pm2.61i 169	. . . . . . 7 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 )
58	57	mpteq2i 4479	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
59	39, 58	syl6eq 2521	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
60	59	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
61		ibladdnclem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
62	61, 3	mbfdm2 22673	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
63		mblss 22563	. . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
65		rembl 22572	. . . . . . 7 |- RR e. dom vol
66	65	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. dom vol )
67	29	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. RR )
68		eldifn 3545	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
69	68	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
70	69	intnanrd 931	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
71	70	iffalsed 3883	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = 0 )
72	42	mpteq2ia 4478	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
73	3, 61	mbfpos 22686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
74	72, 73	syl5eqelr 2554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
75	64, 66, 67, 71, 74	mbfss 22681	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) e. MblFn )
76		max1 11503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
77	7, 3, 76	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
78		elrege0 11764	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
79	26, 77, 78	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
80		0e0icopnf 11768	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
82	79, 81	ifclda 3904	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
83	24, 82	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
84	83	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
85		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) )
86	84, 85	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87		ibladdnclem.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
88		max1 11503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
89	7, 4, 88	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
90		elrege0 11764	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
91	33, 89, 90	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
92	91, 81	ifclda 3904	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ C , C , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
93	31, 92	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	93	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
95		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) )
96	94, 95	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
97		ibladdnclem.7	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) e. RR )
98	75, 86, 87, 96, 97	itg2addnc 32060	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
99	60, 98	eqtr3d 2507	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) )
100	87, 97	readdcld 9688	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ C ) , C , 0 ) ) ) ) e. RR )
101	99, 100	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
102	26, 33	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR )
103	102	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* )
104	26, 33, 77, 89	addge0d 10210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
105		elxrge0 11767	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
106	103, 104, 105	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
107	106, 16	ifclda 3904	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
108	107	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
109		eqid 2471	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
110	108, 109	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
111		max2 11505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
112	7, 3, 111	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
113		max2 11505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
114	7, 4, 113	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
115	3, 4, 26, 33, 112, 114	le2addd 10253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
116	2, 115	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
117		breq1 4398	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
118		breq1 4398	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = if ( 0 <_ D , D , 0 ) -> ( 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) <-> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
119	117, 118	ifboth 3908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) /\ 0 <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
120	116, 104, 119	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ D , D , 0 ) <_ ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
121		iftrue 3878	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
122	121	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ D , D , 0 ) )
123	40	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
124	120, 122, 123	3brtr4d 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
125	124	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
126		0le0 10721	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
127	126	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
128		iffalse 3881	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) = 0 )
129	127, 128, 55	3brtr4d 4426	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
130	125, 129	pm2.61d1 164	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ D , D , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
131	1, 130	syl5eqbr 4429	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
132	131	ralrimivw 2810	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) )
133		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) )
134		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
135	23, 19, 108, 133, 134	ofrfval2 6568	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) <_ if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
136	132, 135	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) )
137		itg2le 22776	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
138	21, 110, 136, 137	syl3anc 1292	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) )
139		itg2lecl 22775	. 2 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )
140	21, 101, 138, 139	syl3anc 1292	1 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ D ) , D , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   oRcofr 6549   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658

This theorem is referenced by:  ibladdnc  32063