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Theorem ibladdlem 22053
Description: Lemma for ibladd 22054. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ibladd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
ibladd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
ibladd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
ibladd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
ibladd.6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
ibladd.7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ibladdlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem ibladdlem
StepHypRef Expression
1 ifan 3985 . . . 4  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )
2 ibladd.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
3 ibladd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 ibladd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4readdcld 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
62, 5eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  RR )
7 0re 9597 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR )
109rexrd 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR* )
11 max1 11387 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  D ,  D ,  0 ) )
127, 6, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) )
13 elxrge0 11630 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 0e0iccpnf 11632 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1714, 16ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
191, 18syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )
2119, 20fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22 reex 9584 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
24 ifan 3985 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
25 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
263, 7, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
277a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2826, 27ifclda 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
2924, 28syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
31 ifan 3985 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
32 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
334, 7, 32sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
3433, 27ifclda 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
3531, 34syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
37 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
38 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
3923, 30, 36, 37, 38offval2 6541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
40 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
41 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  B  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ) )
4241ifbid 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
43 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  C  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
4443ifbid 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
4542, 44oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
4640, 45eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
47 00id 9755 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
48 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  ->  x  e.  A )
4948con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
50 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
52 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C )  ->  x  e.  A )
5352con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
54 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
5651, 55oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
57 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  0 )
5847, 56, 573eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
5946, 58pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )
6059mpteq2i 4530 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
6139, 60syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )
6261fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) ) )
63 ibladd.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6463, 3mbfdm2 21872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
65 mblss 21769 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
6664, 65syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
67 rembl 21778 . . . . . . 7  |-  RR  e.  dom  vol
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
6929adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
70 eldifn 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
7170adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
7271intnanrd 915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
7372, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
7442mpteq2ia 4529 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
753, 63mbfpos 21885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
7674, 75syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
7766, 68, 69, 73, 76mbfss 21880 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
78 max1 11387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
797, 3, 78sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
80 elrege0 11628 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
8126, 79, 80sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
82 0e0icopnf 11631 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8481, 83ifclda 3971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8524, 84syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8685adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
87 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
8886, 87fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 ibladd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
9035adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
9171, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
9244mpteq2ia 4529 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
93 ibladd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
944, 93mbfpos 21885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
9592, 94syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
9666, 68, 90, 91, 95mbfss 21880 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
97 max1 11387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
987, 4, 97sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
99 elrege0 11628 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
10033, 98, 99sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
101100, 83ifclda 3971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10231, 101syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
103102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
104 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
105103, 104fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
106 ibladd.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
10777, 88, 89, 96, 105, 106itg2add 21993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10862, 107eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10989, 106readdcld 9624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
110108, 109eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11126, 33readdcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
112111rexrd 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR* )
11326, 33, 79, 98addge0d 10129 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
114 elxrge0 11630 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
115112, 113, 114sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
116115, 16ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117116adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
118 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
119117, 118fmptd 6046 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
120 max2 11389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1217, 3, 120sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
122 max2 11389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1237, 4, 122sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
1243, 4, 26, 33, 121, 123le2addd 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
1252, 124eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
126 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
127 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
128126, 127ifboth 3975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  ->  if (
0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
129125, 113, 128syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
130 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
131130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
13240adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
133129, 131, 1323brtr4d 4477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
134133ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
135 0le0 10626 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
136135a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
137 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
138136, 137, 573brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
139134, 138pm2.61d1 159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
1401, 139syl5eqbr 4480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
141140ralrimivw 2879 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
142 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )
143 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
14423, 19, 117, 142, 143ofrfval2 6542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
145141, 144mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
146 itg2le 21973 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
14721, 119, 145, 146syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
148 itg2lecl 21972 . 2  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
14921, 110, 147, 148syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523    oRcofr 6524   RRcr 9492   0cc0 9493    + caddc 9496   +oocpnf 9626   RR*cxr 9628    <_ cle 9630   [,)cico 11532   [,]cicc 11533   volcvol 21702  MblFncmbf 21850   S.2citg2 21852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cmp 19693  df-ovol 21703  df-vol 21704  df-mbf 21855  df-itg1 21856  df-itg2 21857  df-0p 21904
This theorem is referenced by:  ibladd  22054
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