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Theorem ibladdlem 22770
Description: Lemma for ibladd 22771. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ibladd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
ibladd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
ibladd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
ibladd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
ibladd.6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
ibladd.7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ibladdlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem ibladdlem
StepHypRef Expression
1 ifan 3926 . . . 4  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )
2 ibladd.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
3 ibladd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 ibladd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4readdcld 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
62, 5eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  RR )
7 0re 9640 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR )
109rexrd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR* )
11 max1 11477 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  D ,  D ,  0 ) )
127, 6, 11sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) )
13 elxrge0 11738 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 0e0iccpnf 11740 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1714, 16ifclda 3912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1817adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
191, 18syl5eqel 2532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 eqid 2450 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )
2119, 20fmptd 6044 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22 reex 9627 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
24 ifan 3926 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
25 ifcl 3922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
263, 7, 25sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
277a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2826, 27ifclda 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
2924, 28syl5eqel 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
3029adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
31 ifan 3926 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
32 ifcl 3922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
334, 7, 32sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
3433, 27ifclda 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
3531, 34syl5eqel 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
3635adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
37 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
38 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
3923, 30, 36, 37, 38offval2 6545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
40 iftrue 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
41 ibar 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  B  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ) )
4241ifbid 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
43 ibar 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  C  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
4443ifbid 3902 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
4542, 44oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
4640, 45eqtr2d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
47 00id 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
48 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  ->  x  e.  A )
4948con3i 141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
5049iffalsed 3891 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
51 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C )  ->  x  e.  A )
5251con3i 141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
5352iffalsed 3891 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
5450, 53oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
55 iffalse 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  0 )
5647, 54, 553eqtr4a 2510 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
5746, 56pm2.61i 168 . . . . . . 7  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )
5857mpteq2i 4485 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
5939, 58syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )
6059fveq2d 5867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) ) )
61 ibladd.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6261, 3mbfdm2 22587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
63 mblss 22478 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65 rembl 22487 . . . . . . 7  |-  RR  e.  dom  vol
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
6729adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
68 eldifn 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
6968adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
7069intnanrd 927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
7170iffalsed 3891 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
7242mpteq2ia 4484 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
733, 61mbfpos 22600 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
7472, 73syl5eqelr 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
7564, 66, 67, 71, 74mbfss 22595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
76 max1 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
777, 3, 76sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
78 elrege0 11735 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
7926, 77, 78sylanbrc 669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
80 0e0icopnf 11739 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
8180a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8279, 81ifclda 3912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8324, 82syl5eqel 2532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8483adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
85 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
8684, 85fmptd 6044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 ibladd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
8835adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
8969, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
9044mpteq2ia 4484 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
91 ibladd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
924, 91mbfpos 22600 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
9390, 92syl5eqelr 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
9464, 66, 88, 89, 93mbfss 22595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
95 max1 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
967, 4, 95sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
97 elrege0 11735 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
9833, 96, 97sylanbrc 669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9998, 81ifclda 3912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10031, 99syl5eqel 2532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
101100adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
102 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
103101, 102fmptd 6044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
104 ibladd.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
10575, 86, 87, 94, 103, 104itg2add 22710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10660, 105eqtr3d 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10787, 104readdcld 9667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
108106, 107eqeltrd 2528 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10926, 33readdcld 9667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
110109rexrd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR* )
11126, 33, 77, 96addge0d 10186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
112 elxrge0 11738 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
113110, 111, 112sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114113, 16ifclda 3912 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
115114adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
116 eqid 2450 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
117115, 116fmptd 6044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
118 max2 11479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1197, 3, 118sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
120 max2 11479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1217, 4, 120sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
1223, 4, 26, 33, 119, 121le2addd 10229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
1232, 122eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
124 breq1 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
125 breq1 4404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
126124, 125ifboth 3916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  ->  if (
0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
127123, 111, 126syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
128 iftrue 3886 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
129128adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
13040adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
131127, 129, 1303brtr4d 4432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
132131ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
133 0le0 10696 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
134133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
135 iffalse 3889 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
136134, 135, 553brtr4d 4432 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
137132, 136pm2.61d1 163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
1381, 137syl5eqbr 4435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
139138ralrimivw 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
140 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )
141 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
14223, 19, 115, 140, 141ofrfval2 6546 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
143139, 142mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
144 itg2le 22690 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
14521, 117, 143, 144syl3anc 1267 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
146 itg2lecl 22689 . 2  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
14721, 108, 145, 146syl3anc 1267 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   ifcif 3880   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526    oRcofr 6527   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    <_ cle 9673   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   volcvol 22408  MblFncmbf 22565   S.2citg2 22567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-0p 22621
This theorem is referenced by:  ibladd  22771
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