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Theorem ibladdlem 22092
Description: Lemma for ibladd 22093. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
ibladd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
ibladd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
ibladd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
ibladd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
ibladd.6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
ibladd.7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ibladdlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem ibladdlem
StepHypRef Expression
1 ifan 3968 . . . 4  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )
2 ibladd.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  =  ( B  +  C ) )
3 ibladd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 ibladd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4readdcld 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
62, 5eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  RR )
7 0re 9594 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR )
109rexrd 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR* )
11 max1 11390 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  D ,  D ,  0 ) )
127, 6, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) )
13 elxrge0 11633 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 0e0iccpnf 11635 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1714, 16ifclda 3954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
191, 18syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 eqid 2441 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )
2119, 20fmptd 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22 reex 9581 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
24 ifan 3968 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
25 ifcl 3964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
263, 7, 25sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
277a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2826, 27ifclda 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
2924, 28syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
31 ifan 3968 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
32 ifcl 3964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
334, 7, 32sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
3433, 27ifclda 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  RR )
3531, 34syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
37 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
38 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
3923, 30, 36, 37, 38offval2 6537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
40 iftrue 3928 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
41 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  B  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ) )
4241ifbid 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
43 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  C  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
4443ifbid 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
4542, 44oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
4640, 45eqtr2d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
47 00id 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
48 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  ->  x  e.  A )
4948con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
5049iffalsed 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
51 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C )  ->  x  e.  A )
5251con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
5352iffalsed 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
5450, 53oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
55 iffalse 3931 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  0 )
5647, 54, 553eqtr4a 2508 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
5746, 56pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )
5857mpteq2i 4516 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
5939, 58syl6eq 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )
6059fveq2d 5856 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) ) )
61 ibladd.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6261, 3mbfdm2 21911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
63 mblss 21808 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65 rembl 21817 . . . . . . 7  |-  RR  e.  dom  vol
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
6729adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  RR )
68 eldifn 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
6968adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
7069intnanrd 915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
7170iffalsed 3933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  0 )
7242mpteq2ia 4515 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
733, 61mbfpos 21924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
7472, 73syl5eqelr 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
7564, 66, 67, 71, 74mbfss 21919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
76 max1 11390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
777, 3, 76sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
78 elrege0 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
7926, 77, 78sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
80 0e0icopnf 11634 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
8180a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8279, 81ifclda 3954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8324, 82syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8483adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
85 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
8684, 85fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
87 ibladd.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
8835adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  RR )
8969, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  0 )
9044mpteq2ia 4515 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
91 ibladd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
924, 91mbfpos 21924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
9390, 92syl5eqelr 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
9464, 66, 88, 89, 93mbfss 21919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
95 max1 11390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
967, 4, 95sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
97 elrege0 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
9833, 96, 97sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9998, 81ifclda 3954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10031, 99syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
101100adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
102 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
103101, 102fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
104 ibladd.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
10575, 86, 87, 94, 103, 104itg2add 22032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10660, 105eqtr3d 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10787, 104readdcld 9621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
108106, 107eqeltrd 2529 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10926, 33readdcld 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
110109rexrd 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR* )
11126, 33, 77, 96addge0d 10129 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
112 elxrge0 11633 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
113110, 111, 112sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114113, 16ifclda 3954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
115114adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
116 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
117115, 116fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
118 max2 11392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1197, 3, 118sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
120 max2 11392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1217, 4, 120sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
1223, 4, 26, 33, 119, 121le2addd 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
1232, 122eqbrtrd 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
124 breq1 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
125 breq1 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
if ( 0  <_  D ,  D , 
0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
126124, 125ifboth 3958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  /\  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  ->  if (
0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
127123, 111, 126syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
128 iftrue 3928 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
129128adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) )
13040adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
131127, 129, 1303brtr4d 4463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
132131ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
133 0le0 10626 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
134133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
135 iffalse 3931 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
136134, 135, 553brtr4d 4463 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) )
137132, 136pm2.61d1 159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  D ,  D ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
1381, 137syl5eqbr 4466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
139138ralrimivw 2856 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )
140 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )
141 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
14223, 19, 115, 140, 141ofrfval2 6538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
143139, 142mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
144 itg2le 22012 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
14521, 117, 143, 144syl3anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )
146 itg2lecl 22011 . 2  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
14721, 108, 145, 146syl3anc 1227 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  D ) ,  D ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    C_ wss 3458   ifcif 3922   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   dom cdm 4985   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519    oRcofr 6520   RRcr 9489   0cc0 9490    + caddc 9493   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    <_ cle 9627   [,)cico 11535   [,]cicc 11536   volcvol 21741  MblFncmbf 21889   S.2citg2 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cc 8813  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-rest 14692  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-0p 21943
This theorem is referenced by:  ibladd  22093
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