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Theorem ibladd 21441
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ibladd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem ibladd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
3 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6 itgadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
72, 3, 4, 5, 6iblcnlem 21409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
81, 7mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
98simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
109, 6mbfdm2 21259 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
12 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1410, 6, 11, 12, 13offval2 6449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
15 itgadd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
16 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
17 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
18 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
19 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
2016, 17, 18, 19, 11iblcnlem 21409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  C ) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
2115, 20mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2221simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
239, 22mbfadd 21282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e. MblFn )
2414, 23eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
259, 6mbfmptcl 21258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2625recld 12805 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2722, 11mbfmptcl 21258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2827recld 12805 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
2925, 27readdd 12825 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
3025ismbfcn2 21260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
319, 30mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
3231simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
3327ismbfcn2 21260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
3422, 33mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
3534simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
368simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3736simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3821simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3938simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4026, 28, 29, 32, 35, 37, 39ibladdlem 21440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4126renegcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
4228renegcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  C )  e.  RR )
4329negeqd 9719 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Re
`  B )  +  ( Re `  C
) ) )
4426recnd 9527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4528recnd 9527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
4644, 45negdid 9847 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) )  =  ( -u (
Re `  B )  +  -u ( Re `  C ) ) )
4743, 46eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Re
`  B )  + 
-u ( Re `  C ) ) )
4826, 32mbfneg 21271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  B ) )  e. MblFn
)
4928, 35mbfneg 21271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  C ) )  e. MblFn
)
5036simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5138simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5241, 42, 47, 48, 49, 50, 51ibladdlem 21440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5340, 52jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5425imcld 12806 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
5527imcld 12806 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
5625, 27imaddd 12826 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
5731simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
5834simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
598simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6059simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6121simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6261simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6354, 55, 56, 57, 58, 60, 62ibladdlem 21440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6454renegcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
6555renegcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
6656negeqd 9719 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Im
`  B )  +  ( Im `  C
) ) )
6754recnd 9527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
6855recnd 9527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6967, 68negdid 9847 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) )  =  ( -u (
Im `  B )  +  -u ( Im `  C ) ) )
7066, 69eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Im
`  B )  + 
-u ( Im `  C ) ) )
7154, 57mbfneg 21271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  B ) )  e. MblFn
)
7255, 58mbfneg 21271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) )  e. MblFn
)
7359simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7461simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7564, 65, 70, 71, 72, 73, 74ibladdlem 21440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7663, 75jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
77 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
78 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
79 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
80 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
81 ovex 6228 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
8281a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
8377, 78, 79, 80, 82iblcnlem 21409 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  +  C ) ) ) ,  ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
8424, 53, 76, 83mpbir3and 1171 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   RRcr 9396   0cc0 9397    + caddc 9400    <_ cle 9534   -ucneg 9711   Recre 12708   Imcim 12709   volcvol 21089  MblFncmbf 21237   S.2citg2 21239   L^1cibl 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cc 8719  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-acn 8227  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-rest 14484  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cmp 19132  df-ovol 21090  df-vol 21091  df-mbf 21242  df-itg1 21243  df-itg2 21244  df-ibl 21245  df-0p 21291
This theorem is referenced by:  iblsub  21442  itgaddlem1  21443  itgaddlem2  21444  itgadd  21445  itgfsum  21447  itgparts  21662
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