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Theorem ibladd 19665
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ibladd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem ibladd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
3 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6 itgadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
72, 3, 4, 5, 6iblcnlem 19633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
81, 7mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
98simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
109, 6mbfdm2 19483 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
12 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1410, 6, 11, 12, 13offval2 6281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
15 itgadd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
16 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
17 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
18 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
19 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
2016, 17, 18, 19, 11iblcnlem 19633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  C ) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
2115, 20mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2221simp1d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
239, 22mbfadd 19506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e. MblFn )
2414, 23eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
259, 6mbfmptcl 19482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2625recld 11954 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2722, 11mbfmptcl 19482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2827recld 11954 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
2925, 27readdd 11974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
3025ismbfcn2 19484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
319, 30mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
3231simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
3327ismbfcn2 19484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
3422, 33mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
3534simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
368simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3736simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3821simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3938simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4026, 28, 29, 32, 35, 37, 39ibladdlem 19664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4126renegcld 9420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
4228renegcld 9420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  C )  e.  RR )
4329negeqd 9256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Re
`  B )  +  ( Re `  C
) ) )
4426recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4528recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
4644, 45negdid 9380 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) )  =  ( -u (
Re `  B )  +  -u ( Re `  C ) ) )
4743, 46eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Re
`  B )  + 
-u ( Re `  C ) ) )
4826, 32mbfneg 19495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  B ) )  e. MblFn
)
4928, 35mbfneg 19495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  C ) )  e. MblFn
)
5036simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5138simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5241, 42, 47, 48, 49, 50, 51ibladdlem 19664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5340, 52jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5425imcld 11955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
5527imcld 11955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
5625, 27imaddd 11975 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
5731simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
5834simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
598simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6059simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6121simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6261simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6354, 55, 56, 57, 58, 60, 62ibladdlem 19664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6454renegcld 9420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
6555renegcld 9420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
6656negeqd 9256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Im
`  B )  +  ( Im `  C
) ) )
6754recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
6855recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6967, 68negdid 9380 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) )  =  ( -u (
Im `  B )  +  -u ( Im `  C ) ) )
7066, 69eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Im
`  B )  + 
-u ( Im `  C ) ) )
7154, 57mbfneg 19495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  B ) )  e. MblFn
)
7255, 58mbfneg 19495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) )  e. MblFn
)
7359simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7461simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7564, 65, 70, 71, 72, 73, 74ibladdlem 19664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7663, 75jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
77 eqid 2404 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
78 eqid 2404 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
79 eqid 2404 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
80 eqid 2404 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
81 ovex 6065 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
8281a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
8377, 78, 79, 80, 82iblcnlem 19633 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  +  C ) ) ) ,  ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
8424, 53, 76, 83mpbir3and 1137 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    <_ cle 9077   -ucneg 9248   Recre 11857   Imcim 11858   volcvol 19313  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462
This theorem is referenced by:  iblsub  19666  itgaddlem1  19667  itgaddlem2  19668  itgadd  19669  itgfsum  19671  itgparts  19884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-0p 19515
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