MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabsr Unicode version

Theorem iblabsr 19674
Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 19673 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
iblabsr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblabsr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblabsr
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsr.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 ifan 3738 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 iblabsr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41, 3mbfmptcl 19482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
76ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
8 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
10 expclz 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
13 expne0i 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
148, 9, 13mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
157, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
165, 12, 15divcld 9746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
1716recld 11954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
18 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2120rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
22 max1 10729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2318, 17, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
24 elxrge0 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
26 0xr 9087 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
27 0le0 10037 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
28 elxrge0 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3125, 30ifclda 3726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
322, 31syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 5852 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
36 iblabsr.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
374abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
384absge0d 12201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
3937, 38iblpos 19637 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4036, 39mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4140simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4337rexrd 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
44 elxrge0 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4543, 38, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4629a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4745, 46ifclda 3726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4847adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
49 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
5048, 49fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5216releabsd 12208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) )
535, 12, 15absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
54 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5554ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
56 absexp 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
578, 55, 56sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
58 absi 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs `  _i )  =  1
5958oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
60 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
617, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
6259, 61syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
6357, 62eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
6463oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  1 ) )
6537recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6665adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6766div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  1 )  =  ( abs `  B
) )
6864, 67eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
6953, 68eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
7052, 69breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
) )
715absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
72 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
73 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
7472, 73ifboth 3730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
)  /\  0  <_  ( abs `  B ) )  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) )
7570, 71, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  B ) )
76 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
78 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8075, 77, 793brtr4d 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8180ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
8227a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
83 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
84 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
8582, 83, 843brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8681, 85pm2.61d1 153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
872, 86syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
8887ralrimivw 2750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
89 reex 9037 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
9143adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
9291, 71, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9392, 30ifclda 3726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
9493adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
95 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
96 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9790, 33, 94, 95, 96ofrfval2 6282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9888, 97mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
99 itg2le 19584 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
10035, 51, 98, 99syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
101 itg2lecl 19583 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10235, 42, 100, 101syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
103102ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
104 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
105 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
106104, 105, 3isibl2 19611 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1071, 103, 106mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Rcofr 6263   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    / cdiv 9633   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   ^cexp 11337   Recre 11857   abscabs 11994  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator