Theorem iblabsnclem 30012

Description: Lemma for iblabsnc 30013; cf. iblabslem 22100. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnclem.1	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabsnclem.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabsnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnclem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnclem.1	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabsnclem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabsnclem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 22063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 21911	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 21808	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 21817	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12	3	recnd 9634	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
13	12	abscld 13246	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
14		0re 9608	. . . . 5 |- 0 e. RR
15		ifcl 3987	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
16	13, 14, 15	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3632	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 3954	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		iftrue 3951	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
22	21	mpteq2ia 4535	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
23		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
24	13, 23	fmptd 6056	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) : A --> RR )
25	13	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
26	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
27	3	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
28		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
29	27, 28	absled 13241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
30	29	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
31	28, 25	ltnled 9743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y ) )
32		renegcl 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
33	32	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> -u y e. RR* )
34	33	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
35		elioomnf 11631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
37	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
38	28	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
39	27, 38	ltnled 9743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
40	36, 37, 39	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
41		rexr 9651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
43		elioopnf 11630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
45	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
46	28, 27	ltnled 9743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
47	44, 45, 46	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
48	40, 47	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) ) )
49		ianor 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) )
50	48, 49	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
51	30, 31, 50	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
52		elioopnf 11630	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
53	42, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
54	26, 51, 53	3bitr4rd 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
55	54	rabbidva 3109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) } = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) } )
56	23	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) }
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
58	57	mptpreima 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) }
59	57	mptpreima 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) }
60	58, 59	uneq12i 3661	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } )
61		unrab 3774	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
62	60, 61	eqtri 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
63	55, 56, 62	3eqtr4g 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
64		iblmbf 22040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
65	2, 64	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
66	3, 57	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR )
67		mbfima 21905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
68		mbfima 21905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
69		unmbl 21814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
71	65, 66, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
72	71	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
73	63, 72	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
74		elioomnf 11631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
75	42, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
76	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
77	27, 28	absltd 13240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
78	75, 76, 77	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
79	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
80	78, 79	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
81		3anass 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
82	80, 81	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
83		elioo2 11582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
84	33, 41, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
85	84	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
86	82, 85	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) ) )
87	86	rabbidva 3109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) } = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) } )
88	23	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) }
89	57	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) }
90	87, 88, 89	3eqtr4g 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91		mbfima 21905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
92	65, 66, 91	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
93	92	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
94	90, 93	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
95	24, 7, 73, 94	ismbf2d 21914	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
96	22, 95	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
97	9, 11, 16, 20, 96	mbfss 21919	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
98	1, 97	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
99		reex 9595	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
101		ifan 3991	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
102		ifcl 3987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
103	3, 14, 102	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
104		max1 11398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
105	14, 3, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
106		elrege0 11639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
108		0e0icopnf 11642	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
110	107, 109	ifclda 3977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
111	101, 110	syl5eqel 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
113		ifan 3991	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
114	3	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
115		ifcl 3987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
116	114, 14, 115	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
117		max1 11398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
118	14, 114, 117	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
119		elrege0 11639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
120	116, 118, 119	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
121	120, 109	ifclda 3977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122	113, 121	syl5eqel 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
125		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
126	100, 112, 123, 124, 125	offval2 6551	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
127	101, 113	oveq12i 6307	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
128		max0add 13122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
129	3, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
130		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
132		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
133	132	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
134	131, 133	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
135	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
137	136	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
138		00id 9766	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
139		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
140		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
141	139, 140	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
142	138, 141, 19	3eqtr4a 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
143	137, 142	pm2.61d1 159	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
144	127, 143	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
145	144	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
146	126, 145	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
147	146, 1	syl6reqr 2527	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
148	147	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
149	111	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
150	101, 139	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
151	18, 150	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
152		ibar 504	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
153	152	ifbid 3967	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
154	153	mpteq2ia 4535	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
155	3, 6	mbfpos 21924	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
156	154, 155	syl5eqelr 2560	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
157	9, 11, 149, 151, 156	mbfss 21919	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
158		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
159	112, 158	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
160	5	simp2d 1009	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
161		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
162	123, 161	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163	5	simp3d 1010	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
164	157, 159, 160, 162, 163	itg2addnc 30003	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
165	148, 164	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
166	160, 163	readdcld 9635	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
167	165, 166	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
168	98, 167	jca 532	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   u. cun 3479   C_ wss 3481   ifcif 3945   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   oFcof 6533   RRcr 9503   0cc0 9504   + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   -ucneg 9818   (,)cioo 11541   [,)cico 11543   abscabs 13046   volcvol 21741  MblFncmbf 21889   S.2citg2 21891   L^1cibl 21892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-ibl 21897  df-0p 21943

This theorem is referenced by:  iblabsnc  30013  iblmulc2nc  30014