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Theorem iblabsnclem 30012
Description: Lemma for iblabsnc 30013; cf. iblabslem 22100. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabsnclem.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabsnclem.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
iblabsnclem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 22063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 1008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 21911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 21808 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 21817 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
123recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1312abscld 13246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
14 0re 9608 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 ifcl 3987 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 )  e.  RR )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3632 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3954 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 iftrue 3951 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2221mpteq2ia 4535 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
23 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )
2413, 23fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) : A --> RR )
2513adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
273adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
2927, 28absled 13241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  ( -u y  <_  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
) ) )
3029notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
3128, 25ltnled 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  B ) )  <_ 
y ) )
32 renegcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3332rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR* )
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
35 elioomnf 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3727biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3828renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
3927, 38ltnled 9743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
4036, 37, 393bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
41 rexr 9651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
43 elioopnf 11630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4527biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4628, 27ltnled 9743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4744, 45, 463bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4840, 47orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B )  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) ) )
49 ianor 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( -u y  <_ 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
)  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B
)  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
5048, 49syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
5130, 31, 503bitr4rd 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  y  <  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
52 elioopnf 11630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B
) )  e.  RR  /\  y  <  ( abs `  ( F `  B
) ) ) ) )
5342, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
5426, 51, 533bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5554rabbidva 3109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) } )
5623mptpreima 5506 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }
57 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5857mptpreima 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }
5957mptpreima 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo ) }
6058, 59uneq12i 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  ( { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }  u.  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo ) } )
61 unrab 3774 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y ) }  u.  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6260, 61eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  { x  e.  A  |  ( ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6355, 56, 623eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
64 iblmbf 22040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
652, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
663, 57fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> RR )
67 mbfima 21905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
68 mbfima 21905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
69 unmbl 21814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7165, 66, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7363, 72eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
74 elioomnf 11631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7542, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7625biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7727, 28absltd 13240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7875, 76, 773bitr2d 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7927biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )  <->  ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )
) ) )
8078, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) ) )
81 3anass 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <  y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) )
8280, 81syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
83 elioo2 11582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
)  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8433, 41, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8682, 85bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
) ) )
8786rabbidva 3109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( -oo (,) y
) }  =  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y ) } )
8823mptpreima 5506 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B
) )  e.  ( -oo (,) y ) }
8957mptpreima 5506 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( -u y (,) y ) }
9087, 88, 893eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91 mbfima 21905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9265, 66, 91syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -u y (,) y ) )  e. 
dom  vol )
9392adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9490, 93eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
9524, 7, 73, 94ismbf2d 21914 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )  e. MblFn )
9622, 95syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
979, 11, 16, 20, 96mbfss 21919 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
981, 97syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
99 reex 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
10099a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
101 ifan 3991 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
102 ifcl 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
1033, 14, 102sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
104 max1 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10514, 3, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
106 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
107103, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
108 0e0icopnf 11642 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110107, 109ifclda 3977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
111101, 110syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
112111adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
113 ifan 3991 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
1143renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
115 ifcl 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
116114, 14, 115sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
117 max1 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
11814, 114, 117sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
119 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
120116, 118, 119sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
121120, 109ifclda 3977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
122113, 121syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
123122adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
124 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
125 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
126100, 112, 123, 124, 125offval2 6551 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
127101, 113oveq12i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
128 max0add 13122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
1293, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
130 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
131130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
132 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
133132adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
134131, 133oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
13521adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
138 00id 9766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
139 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
140 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
141139, 140oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
142138, 141, 193eqtr4a 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
143137, 142pm2.61d1 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
144127, 143syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
145144mpteq2dv 4540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
146126, 145eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
147146, 1syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
148147fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
149111adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
150101, 139syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
15118, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
152 ibar 504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
153152ifbid 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
154153mpteq2ia 4535 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1553, 6mbfpos 21924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
156154, 155syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 21919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
158 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
159112, 158fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1605simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
161 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
162123, 161fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1635simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 30003 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
165148, 164eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
166160, 163readdcld 9635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
167165, 166eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
16898, 167jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818   (,)cioo 11541   [,)cico 11543   abscabs 13046   volcvol 21741  MblFncmbf 21889   S.2citg2 21891   L^1cibl 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-ibl 21897  df-0p 21943
This theorem is referenced by:  iblabsnc  30013  iblmulc2nc  30014
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