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Theorem iblabsnclem 32051
Description: Lemma for iblabsnc 32052; cf. iblabslem 22841. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabsnclem.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabsnclem.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
iblabsnclem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 22804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 1026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 22650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 22540 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 22549 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
123recnd 9700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1312abscld 13553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
14 0re 9674 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 ifcl 3935 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 )  e.  RR )
1613, 14, 15sylancl 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3568 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3902 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 iftrue 3899 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2221mpteq2ia 4501 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
23 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )
2413, 23fmptd 6074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) : A --> RR )
2513adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
2625biantrurd 515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
273adantlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
28 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
2927, 28absled 13547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  ( -u y  <_  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
) ) )
3029notbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
3128, 25ltnled 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  B ) )  <_ 
y ) )
32 renegcl 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3332rexrd 9721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR* )
3433ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
35 elioomnf 11763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3727biantrurd 515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3828renegcld 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
3927, 38ltnled 9813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
4036, 37, 393bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
41 rexr 9717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
4241ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
43 elioopnf 11762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4527biantrurd 515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4628, 27ltnled 9813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4744, 45, 463bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4840, 47orbi12d 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B )  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) ) )
49 ianor 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( -u y  <_ 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
)  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B
)  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
5048, 49syl6bbr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
5130, 31, 503bitr4rd 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  y  <  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
52 elioopnf 11762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B
) )  e.  RR  /\  y  <  ( abs `  ( F `  B
) ) ) ) )
5342, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
5426, 51, 533bitr4rd 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5554rabbidva 3047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) } )
5623mptpreima 5351 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }
57 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5857mptpreima 5351 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }
5957mptpreima 5351 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo ) }
6058, 59uneq12i 3598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  ( { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }  u.  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo ) } )
61 unrab 3726 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y ) }  u.  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6260, 61eqtri 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  { x  e.  A  |  ( ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6355, 56, 623eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
64 iblmbf 22781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
663, 57fmptd 6074 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> RR )
67 mbfima 22644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
68 mbfima 22644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
69 unmbl 22546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7067, 68, 69syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7165, 66, 70syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7271adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7363, 72eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
74 elioomnf 11763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7542, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7625biantrurd 515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7727, 28absltd 13546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7875, 76, 773bitr2d 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7927biantrurd 515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )  <->  ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )
) ) )
8078, 79bitrd 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) ) )
81 3anass 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <  y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) )
8280, 81syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
83 elioo2 11711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
)  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8433, 41, 83syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8584ad2antlr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8682, 85bitr4d 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
) ) )
8786rabbidva 3047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( -oo (,) y
) }  =  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y ) } )
8823mptpreima 5351 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B
) )  e.  ( -oo (,) y ) }
8957mptpreima 5351 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( -u y (,) y ) }
9087, 88, 893eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91 mbfima 22644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9265, 66, 91syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -u y (,) y ) )  e. 
dom  vol )
9392adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9490, 93eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
9524, 7, 73, 94ismbf2d 22653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )  e. MblFn )
9622, 95syl5eqel 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
979, 11, 16, 20, 96mbfss 22658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
981, 97syl5eqel 2544 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
99 reex 9661 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
10099a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
101 ifan 3939 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
102 ifcl 3935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
1033, 14, 102sylancl 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
104 max1 11514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10514, 3, 104sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
106 elrege0 11773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
107103, 105, 106sylanbrc 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
108 0e0icopnf 11777 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110107, 109ifclda 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
111101, 110syl5eqel 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
112111adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
113 ifan 3939 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
1143renegcld 10079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
115 ifcl 3935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
116114, 14, 115sylancl 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
117 max1 11514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
11814, 114, 117sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
119 elrege0 11773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
120116, 118, 119sylanbrc 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
121120, 109ifclda 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
122113, 121syl5eqel 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
123122adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
124 eqidd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
125 eqidd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
126100, 112, 123, 124, 125offval2 6580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
127101, 113oveq12i 6332 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
128 max0add 13428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
130 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
131130adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
132 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
133132adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
134131, 133oveq12d 6338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
13521adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
137136ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
138 00id 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
139 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
140 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
141139, 140oveq12d 6338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
142138, 141, 193eqtr4a 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
143137, 142pm2.61d1 164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
144127, 143syl5eq 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
145144mpteq2dv 4506 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
146126, 145eqtrd 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
147146, 1syl6reqr 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
148147fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
149111adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
150101, 139syl5eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
15118, 150syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
152 ibar 511 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
153152ifbid 3915 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
154153mpteq2ia 4501 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1553, 6mbfpos 22663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
156154, 155syl5eqelr 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 22658 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
158 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
159112, 158fmptd 6074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1605simp2d 1027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
161 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
162123, 161fmptd 6074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1635simp3d 1028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 32042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
165148, 164eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
166160, 163readdcld 9701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
167165, 166eqeltrd 2540 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
16898, 167jca 539 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   ifcif 3893   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   `'ccnv 4855   dom cdm 4856   "cima 4859   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    oFcof 6561   RRcr 9569   0cc0 9570    + caddc 9573   +oocpnf 9703   -oocmnf 9704   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707   -ucneg 9892   (,)cioo 11669   [,)cico 11671   abscabs 13352   volcvol 22470  MblFncmbf 22628   S.2citg2 22630   L^1cibl 22631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-ofr 6564  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-rest 15376  df-topgen 15397  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cmp 20457  df-ovol 22471  df-vol 22473  df-mbf 22633  df-itg1 22634  df-itg2 22635  df-ibl 22636  df-0p 22684
This theorem is referenced by:  iblabsnc  32052  iblmulc2nc  32053
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