Theorem iblabsnclem 30262

Description: Lemma for iblabsnc 30263; cf. iblabslem 22360. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnclem.1	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabsnclem.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabsnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnclem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnclem.1	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabsnclem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabsnclem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 22323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 22171	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 22068	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 22077	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12	3	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
13	12	abscld 13279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
14		0re 9613	. . . . 5 |- 0 e. RR
15		ifcl 3986	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
16	13, 14, 15	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3623	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 3953	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		iftrue 3950	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
22	21	mpteq2ia 4539	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
23		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
24	13, 23	fmptd 6056	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) : A --> RR )
25	13	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
26	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
27	3	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
28		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
29	27, 28	absled 13274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
30	29	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
31	28, 25	ltnled 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y ) )
32		renegcl 9901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
33	32	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> -u y e. RR* )
34	33	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
35		elioomnf 11644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
37	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
38	28	renegcld 10007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
39	27, 38	ltnled 9749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
40	36, 37, 39	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
41		rexr 9656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
43		elioopnf 11643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
45	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
46	28, 27	ltnled 9749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
47	44, 45, 46	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
48	40, 47	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) ) )
49		ianor 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) )
50	48, 49	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
51	30, 31, 50	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
52		elioopnf 11643	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
53	42, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
54	26, 51, 53	3bitr4rd 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
55	54	rabbidva 3100	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) } = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) } )
56	23	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) }
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
58	57	mptpreima 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) }
59	57	mptpreima 5506	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) }
60	58, 59	uneq12i 3652	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } )
61		unrab 3776	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
62	60, 61	eqtri 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
63	55, 56, 62	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
64		iblmbf 22300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
65	2, 64	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
66	3, 57	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR )
67		mbfima 22165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
68		mbfima 22165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
69		unmbl 22074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
71	65, 66, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
72	71	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
73	63, 72	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
74		elioomnf 11644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
75	42, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
76	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
77	27, 28	absltd 13273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
78	75, 76, 77	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
79	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
80	78, 79	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
81		3anass 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
82	80, 81	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
83		elioo2 11595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
84	33, 41, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
85	84	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
86	82, 85	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) ) )
87	86	rabbidva 3100	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) } = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) } )
88	23	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) }
89	57	mptpreima 5506	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) }
90	87, 88, 89	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91		mbfima 22165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
92	65, 66, 91	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
93	92	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
94	90, 93	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
95	24, 7, 73, 94	ismbf2d 22174	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
96	22, 95	syl5eqel 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
97	9, 11, 16, 20, 96	mbfss 22179	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
98	1, 97	syl5eqel 2549	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
99		reex 9600	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
101		ifan 3990	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
102		ifcl 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
103	3, 14, 102	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
104		max1 11411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
105	14, 3, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
106		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
108		0e0icopnf 11655	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
110	107, 109	ifclda 3976	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
111	101, 110	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
113		ifan 3990	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
114	3	renegcld 10007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
115		ifcl 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
116	114, 14, 115	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
117		max1 11411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
118	14, 114, 117	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
119		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
120	116, 118, 119	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
121	120, 109	ifclda 3976	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122	113, 121	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124		eqidd 2458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
125		eqidd 2458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
126	100, 112, 123, 124, 125	offval2 6555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
127	101, 113	oveq12i 6308	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
128		max0add 13155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
129	3, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
130		iftrue 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
132		iftrue 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
133	132	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
134	131, 133	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
135	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
137	136	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
138		00id 9772	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
139		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
140		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
141	139, 140	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
142	138, 141, 19	3eqtr4a 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
143	137, 142	pm2.61d1 159	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
144	127, 143	syl5eq 2510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
145	144	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
146	126, 145	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
147	146, 1	syl6reqr 2517	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
148	147	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
149	111	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
150	101, 139	syl5eq 2510	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
151	18, 150	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
152		ibar 504	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
153	152	ifbid 3966	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
154	153	mpteq2ia 4539	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
155	3, 6	mbfpos 22184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
156	154, 155	syl5eqelr 2550	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
157	9, 11, 149, 151, 156	mbfss 22179	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
158		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
159	112, 158	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
160	5	simp2d 1009	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
161		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
162	123, 161	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163	5	simp3d 1010	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
164	157, 159, 160, 162, 163	itg2addnc 30253	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
165	148, 164	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
166	160, 163	readdcld 9640	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
167	165, 166	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
168	98, 167	jca 532	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   oFcof 6537   RRcr 9508   0cc0 9509   + caddc 9512   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   -ucneg 9825   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   abscabs 13079   volcvol 22001  MblFncmbf 22149   S.2citg2 22151   L^1cibl 22152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-0p 22203

This theorem is referenced by:  iblabsnc  30263  iblmulc2nc  30264