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Theorem iblabsnclem 28481
Description: Lemma for iblabsnc 28482; cf. iblabslem 21327. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabsnclem.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabsnclem.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
iblabsnclem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 21290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 1000 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 21138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 21036 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 21044 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
123recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1312abscld 12943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
14 0re 9407 . . . . 5  |-  0  e.  RR
15 ifcl 3852 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 )  e.  RR )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3500 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3820 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 iftrue 3818 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2221mpteq2ia 4395 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
23 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )
2413, 23fmptd 5888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) : A --> RR )
2513adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
2625biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
273adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
2927, 28absled 12938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  ( -u y  <_  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
) ) )
3029notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  B )
)  <_  y  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
3128, 25ltnled 9542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( abs `  ( F `  B
) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  B ) )  <_ 
y ) )
32 renegcl 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3332rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR* )
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
35 elioomnf 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3727biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( F `
 B )  <  -u y ) ) )
3828renegcld 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
3927, 38ltnled 9542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  <  -u y  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
4036, 37, 393bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  -.  -u y  <_  ( F `  B
) ) )
41 rexr 9450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
43 elioopnf 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4527biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  B
) ) ) )
4628, 27ltnled 9542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4744, 45, 463bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
4840, 47orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B )  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) ) )
49 ianor 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( -u y  <_ 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  y
)  <->  ( -.  -u y  <_  ( F `  B
)  \/  -.  ( F `  B )  <_  y ) )
5048, 49syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  -.  ( -u y  <_  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <_  y ) ) )
5130, 31, 503bitr4rd 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  y  <  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
52 elioopnf 11404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B
) )  e.  RR  /\  y  <  ( abs `  ( F `  B
) ) ) ) )
5342, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  y  < 
( abs `  ( F `  B )
) ) ) )
5426, 51, 533bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5554rabbidva 2984 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) } )
5623mptpreima 5352 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( y (,) +oo ) }
57 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5857mptpreima 5352 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }
5957mptpreima 5352 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( y (,) +oo ) }
6058, 59uneq12i 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  ( { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
) }  u.  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( y (,) +oo ) } )
61 unrab 3642 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -oo (,) -u y ) }  u.  { x  e.  A  |  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( ( F `  B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6260, 61eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  =  { x  e.  A  |  ( ( F `
 B )  e.  ( -oo (,) -u y
)  \/  ( F `
 B )  e.  ( y (,) +oo ) ) }
6355, 56, 623eqtr4g 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
64 iblmbf 21267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
652, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
663, 57fmptd 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> RR )
67 mbfima 21132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
68 mbfima 21132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
69 unmbl 21041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7165, 66, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( -oo (,) -u y
) )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) "
( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7363, 72eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
74 elioomnf 11405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 B ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7542, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7625biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  B
) )  <  y
) ) )
7727, 28absltd 12937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  <  y  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7875, 76, 773bitr2d 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
7927biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )  <->  ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B
)  <  y )
) ) )
8078, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) ) )
81 3anass 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <  y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  ( -u y  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  y ) ) )
8280, 81syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
83 elioo2 11362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
)  <->  ( ( F `
 B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8433, 41, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  -u y  <  ( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <  y
) ) )
8682, 85bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( F `  B )
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  B )  e.  (
-u y (,) y
) ) )
8786rabbidva 2984 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  ( -oo (,) y
) }  =  {
x  e.  A  | 
( F `  B
)  e.  ( -u y (,) y ) } )
8823mptpreima 5352 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( abs `  ( F `  B
) )  e.  ( -oo (,) y ) }
8957mptpreima 5352 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  B )  e.  ( -u y (,) y ) }
9087, 88, 893eqtr4g 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91 mbfima 21132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9265, 66, 91syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )
" ( -u y (,) y ) )  e. 
dom  vol )
9392adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) " ( -u y (,) y ) )  e.  dom  vol )
9490, 93eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
9524, 7, 73, 94ismbf2d 21141 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B )
) )  e. MblFn )
9622, 95syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
979, 11, 16, 20, 96mbfss 21146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
981, 97syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
99 reex 9394 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
10099a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
101 ifan 3856 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
102 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
1033, 14, 102sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
104 max1 11178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10514, 3, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
106 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
107103, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
108 0e0icopnf 11416 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110107, 109ifclda 3842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
111101, 110syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
112111adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
113 ifan 3856 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
1143renegcld 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
115 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
116114, 14, 115sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
117 max1 11178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
11814, 114, 117sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
119 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
120116, 118, 119sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
121120, 109ifclda 3842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
122113, 121syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
123122adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
124 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
125 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
126100, 112, 123, 124, 125offval2 6357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
127101, 113oveq12i 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
128 max0add 12820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
1293, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
130 iftrue 3818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
131130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
132 iftrue 3818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
133132adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
134131, 133oveq12d 6130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
13521adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
136129, 134, 1353eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
138 00id 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
139 iffalse 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
140 iffalse 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
141139, 140oveq12d 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
142138, 141, 193eqtr4a 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
143137, 142pm2.61d1 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
144127, 143syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
145144mpteq2dv 4400 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
146126, 145eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
147146, 1syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
148147fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
149111adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
150101, 139syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
15118, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
152 ibar 504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
153152ifbid 3832 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
154153mpteq2ia 4395 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1553, 6mbfpos 21151 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
156154, 155syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 21146 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
158 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
159112, 158fmptd 5888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1605simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
161 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
162123, 161fmptd 5888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1635simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 28472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
165148, 164eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
166160, 163readdcld 9434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
167165, 166eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
16898, 167jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   "cima 4864   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oFcof 6339   RRcr 9302   0cc0 9303    + caddc 9306   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   -ucneg 9617   (,)cioo 11321   [,)cico 11323   abscabs 12744   volcvol 20969  MblFncmbf 21116   S.2citg2 21118   L^1cibl 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cmp 19012  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121  df-itg1 21122  df-itg2 21123  df-ibl 21124  df-0p 21170
This theorem is referenced by:  iblabsnc  28482  iblmulc2nc  28483
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