Theorem iblabsnclem 28398

Description: Lemma for iblabsnc 28399; cf. iblabslem 21274. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnclem.1	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabsnclem.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabsnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnclem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnclem.1	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabsnclem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabsnclem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 21237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1000	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 21085	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 20983	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 20991	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12	3	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
13	12	abscld 12914	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
14		0re 9378	. . . . 5 |- 0 e. RR
15		ifcl 3824	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
16	13, 14, 15	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3472	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 3792	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		iftrue 3790	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
22	21	mpteq2ia 4367	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
23		eqid 2437	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
24	13, 23	fmptd 5860	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) : A --> RR )
25	13	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
26	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
27	3	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
28		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
29	27, 28	absled 12909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
30	29	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
31	28, 25	ltnled 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y ) )
32		renegcl 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
33	32	rexrd 9425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> -u y e. RR* )
34	33	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
35		elioomnf 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
37	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
38	28	renegcld 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
39	27, 38	ltnled 9513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
40	36, 37, 39	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
41		rexr 9421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
43		elioopnf 11375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
45	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
46	28, 27	ltnled 9513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
47	44, 45, 46	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
48	40, 47	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) ) )
49		ianor 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) )
50	48, 49	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
51	30, 31, 50	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
52		elioopnf 11375	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
53	42, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
54	26, 51, 53	3bitr4rd 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
55	54	rabbidva 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) } = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) } )
56	23	mptpreima 5324	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) }
57		eqid 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
58	57	mptpreima 5324	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) }
59	57	mptpreima 5324	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) }
60	58, 59	uneq12i 3501	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } )
61		unrab 3614	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
62	60, 61	eqtri 2457	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
63	55, 56, 62	3eqtr4g 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
64		iblmbf 21214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
65	2, 64	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
66	3, 57	fmptd 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR )
67		mbfima 21079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
68		mbfima 21079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
69		unmbl 20988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
71	65, 66, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
72	71	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
73	63, 72	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
74		elioomnf 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
75	42, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
76	25	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
77	27, 28	absltd 12908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
78	75, 76, 77	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
79	27	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
80	78, 79	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
81		3anass 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
82	80, 81	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
83		elioo2 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
84	33, 41, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
85	84	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
86	82, 85	bitr4d 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) ) )
87	86	rabbidva 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) } = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) } )
88	23	mptpreima 5324	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) }
89	57	mptpreima 5324	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) }
90	87, 88, 89	3eqtr4g 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91		mbfima 21079	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
92	65, 66, 91	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
93	92	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
94	90, 93	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
95	24, 7, 73, 94	ismbf2d 21088	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
96	22, 95	syl5eqel 2521	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
97	9, 11, 16, 20, 96	mbfss 21093	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
98	1, 97	syl5eqel 2521	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
99		reex 9365	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
101		ifan 3828	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
102		ifcl 3824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
103	3, 14, 102	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
104		max1 11149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
105	14, 3, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
106		elrege0 11384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
108		0e0icopnf 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
110	107, 109	ifclda 3814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
111	101, 110	syl5eqel 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
113		ifan 3828	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
114	3	renegcld 9767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
115		ifcl 3824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
116	114, 14, 115	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
117		max1 11149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
118	14, 114, 117	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
119		elrege0 11384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
120	116, 118, 119	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
121	120, 109	ifclda 3814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122	113, 121	syl5eqel 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124		eqidd 2438	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
125		eqidd 2438	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
126	100, 112, 123, 124, 125	offval2 6331	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
127	101, 113	oveq12i 6098	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
128		max0add 12791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
129	3, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
130		iftrue 3790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
132		iftrue 3790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
133	132	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
134	131, 133	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
135	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
137	136	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
138		00id 9536	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
139		iffalse 3792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
140		iffalse 3792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
141	139, 140	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
142	138, 141, 19	3eqtr4a 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
143	137, 142	pm2.61d1 159	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
144	127, 143	syl5eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
145	144	mpteq2dv 4372	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
146	126, 145	eqtrd 2469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
147	146, 1	syl6reqr 2488	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
148	147	fveq2d 5688	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
149	111	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
150	101, 139	syl5eq 2481	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
151	18, 150	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
152		ibar 504	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
153	152	ifbid 3804	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
154	153	mpteq2ia 4367	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
155	3, 6	mbfpos 21098	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
156	154, 155	syl5eqelr 2522	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
157	9, 11, 149, 151, 156	mbfss 21093	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
158		eqid 2437	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
159	112, 158	fmptd 5860	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
160	5	simp2d 1001	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
161		eqid 2437	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
162	123, 161	fmptd 5860	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163	5	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
164	157, 159, 160, 162, 163	itg2addnc 28389	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
165	148, 164	eqtrd 2469	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
166	160, 163	readdcld 9405	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
167	165, 166	eqeltrd 2511	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
168	98, 167	jca 532	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2713   _Vcvv 2966   \ cdif 3318   u. cun 3319   C_ wss 3321   ifcif 3784   class class class wbr 4285   e. cmpt 4343   `'ccnv 4831   dom cdm 4832   "cima 4835   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   oFcof 6313   RRcr 9273   0cc0 9274   + caddc 9277   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   -ucneg 9588   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   abscabs 12715   volcvol 20916  MblFncmbf 21063   S.2citg2 21065   L^1cibl 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-disj 4256  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-cmp 18959  df-ovol 20917  df-vol 20918  df-mbf 21068  df-itg1 21069  df-itg2 21070  df-ibl 21071  df-0p 21117

This theorem is referenced by:  iblabsnc  28399  iblmulc2nc  28400