Theorem iblabsnc 28482

Description: Choice-free analogue of iblabs 21328. As with ibladdnc 28475, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnc	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnc.m	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
2		iblabsnc.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3		iblmbf 21267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5		iblabsnc.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
6	4, 5	mbfmptcl 21137	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
7	6	abscld 12943	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
8	7	rexrd 9454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
9	6	absge0d 12951	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
10		elxrge0 11415	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
12		0e0iccpnf 11417	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
14	11, 13	ifclda 3842	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	14	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16		eqid 2443	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
17	15, 16	fmptd 5888	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
18		reex 9394	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
20	6	recld 12704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
21	20	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
22	21	abscld 12943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR )
23	21	absge0d 12951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) )
24		elrege0 11413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) )
25	22, 23, 24	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
26		0e0icopnf 11416	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
28	25, 27	ifclda 3842	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
30	6	imcld 12705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
31	30	recnd 9433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
32	31	abscld 12943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
33	31	absge0d 12951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) )
34		elrege0 11413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
35	32, 33, 34	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
36	35, 27	ifclda 3842	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) )
39		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) )
40	19, 29, 37, 38, 39	offval2 6357	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
41		iftrue 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) )
42		iftrue 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6130	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
44		iftrue 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
45	43, 44	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
46		00id 9565	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 0 ) = 0
47		iffalse 3820	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 )
48		iffalse 3820	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 )
49	47, 48	oveq12d 6130	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
50		iffalse 3820	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 )
51	46, 49, 50	3eqtr4a 2501	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
52	45, 51	pm2.61i 164	. . . . . . . 8 |- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 )
53	52	mpteq2i 4396	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
54	40, 53	syl6req 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
55	54	fveq2d 5716	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
56		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) )
57	6	iblcn 21298	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
58	2, 57	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
59	58	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
60	5, 2, 56, 59, 20	iblabsnclem 28481	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
61	60	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
62	29, 56	fmptd 5888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
63	60	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
64		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) )
65	37, 64	fmptd 5888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
66	58	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
67	5, 2, 64, 66, 30	iblabsnclem 28481	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
68	67	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
69	61, 62, 63, 65, 68	itg2addnc 28472	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
70	55, 69	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
71	63, 68	readdcld 9434	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
72	70, 71	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
73	22, 32	readdcld 9434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR )
74	73	rexrd 9454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* )
75	22, 32, 23, 33	addge0d 9936	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
76		elxrge0 11415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) )
77	74, 75, 76	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
78	77, 13	ifclda 3842	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	78	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
80		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
81	79, 80	fmptd 5888	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82		ax-icn 9362	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
83		mulcl 9387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
84	82, 31, 83	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
85	21, 84	abstrid 12963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
86		iftrue 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
87	86	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
88	6	replimd 12707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
89	88	fveq2d 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
90	87, 89	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
91	44	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
92		absmul 12804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
93	82, 31, 92	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
94		absi 12796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` _i ) = 1
95	94	oveq1i 6122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) )
96	32	recnd 9433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC )
97	96	mulid2d 9425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
98	95, 97	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
99	93, 98	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
100	99	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
101	91, 100	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
102	85, 90, 101	3brtr4d 4343	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
103	102	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
104		0le0 10432	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
105	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
106		iffalse 3820	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
107	105, 106, 50	3brtr4d 4343	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
108	103, 107	pm2.61d1 159	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
109	108	ralrimivw 2821	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
110		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
111		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
112	19, 15, 79, 110, 111	ofrfval2 6358	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
113	109, 112	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
114		itg2le 21239	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
115	17, 81, 113, 114	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
116		itg2lecl 21238	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
117	17, 72, 115, 116	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
118	7, 9	iblpos 21292	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
119	1, 117, 118	mpbir2and 913	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   ifcif 3812   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   oFcof 6339   oRcofr 6340   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   _ici 9305   + caddc 9306   x. cmul 9308   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438   <_ cle 9440   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   Recre 12607   Imcim 12608   abscabs 12744  MblFncmbf 21116   S.2citg2 21118   L^1cibl 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cmp 19012  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121  df-itg1 21122  df-itg2 21123  df-ibl 21124  df-0p 21170

This theorem is referenced by:  itgabsnc  28487  ftc1cnnclem  28491  ftc1anclem2  28494  ftc1anclem4  28496  ftc1anclem5  28497  ftc2nc  28502