Theorem iblabsnc 31970

Description: Choice-free analogue of iblabs 22784. As with ibladdnc 31963, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnc	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnc.m	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
2		iblabsnc.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3		iblmbf 22723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5		iblabsnc.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
6	4, 5	mbfmptcl 22591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
7	6	abscld 13497	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
8	7	rexrd 9697	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
9	6	absge0d 13505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
10		elxrge0 11748	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
12		0e0iccpnf 11750	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
14	11, 13	ifclda 3943	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	14	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16		eqid 2422	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
17	15, 16	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
18		reex 9637	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
20	6	recld 13257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
21	20	recnd 9676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
22	21	abscld 13497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR )
23	21	absge0d 13505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) )
24		elrege0 11745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) )
25	22, 23, 24	sylanbrc 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
26		0e0icopnf 11749	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
28	25, 27	ifclda 3943	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
29	28	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
30	6	imcld 13258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
31	30	recnd 9676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
32	31	abscld 13497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
33	31	absge0d 13505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) )
34		elrege0 11745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
35	32, 33, 34	sylanbrc 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
36	35, 27	ifclda 3943	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
37	36	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38		eqidd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) )
39		eqidd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) )
40	19, 29, 37, 38, 39	offval2 6562	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
41		iftrue 3917	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) )
42		iftrue 3917	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
44		iftrue 3917	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
45	43, 44	eqtr4d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
46		00id 9815	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 0 ) = 0
47		iffalse 3920	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 )
48		iffalse 3920	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 )
49	47, 48	oveq12d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
50		iffalse 3920	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 )
51	46, 49, 50	3eqtr4a 2489	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
52	45, 51	pm2.61i 167	. . . . . . . 8 |- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 )
53	52	mpteq2i 4507	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
54	40, 53	syl6req 2480	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
55	54	fveq2d 5885	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
56		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) )
57	6	iblcn 22754	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
58	2, 57	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
59	58	simpld 460	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
60	5, 2, 56, 59, 20	iblabsnclem 31969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
61	60	simpld 460	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
62	29, 56	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
63	60	simprd 464	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
64		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) )
65	37, 64	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
66	58	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
67	5, 2, 64, 66, 30	iblabsnclem 31969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
68	67	simprd 464	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
69	61, 62, 63, 65, 68	itg2addnc 31960	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
70	55, 69	eqtrd 2463	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
71	63, 68	readdcld 9677	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
72	70, 71	eqeltrd 2507	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
73	22, 32	readdcld 9677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR )
74	73	rexrd 9697	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* )
75	22, 32, 23, 33	addge0d 10196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
76		elxrge0 11748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) )
77	74, 75, 76	sylanbrc 668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
78	77, 13	ifclda 3943	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	78	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
80		eqid 2422	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
81	79, 80	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82		ax-icn 9605	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
83		mulcl 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
84	82, 31, 83	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
85	21, 84	abstrid 13517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
86		iftrue 3917	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
87	86	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
88	6	replimd 13260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
89	88	fveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
90	87, 89	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
91	44	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
92		absmul 13357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
93	82, 31, 92	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
94		absi 13349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` _i ) = 1
95	94	oveq1i 6315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) )
96	32	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC )
97	96	mulid2d 9668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
98	95, 97	syl5eq 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
99	93, 98	eqtr2d 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
100	99	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
101	91, 100	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
102	85, 90, 101	3brtr4d 4454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
103	102	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
104		0le0 10706	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
105	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
106		iffalse 3920	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
107	105, 106, 50	3brtr4d 4454	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
108	103, 107	pm2.61d1 162	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
109	108	ralrimivw 2837	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
110		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
111		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
112	19, 15, 79, 110, 111	ofrfval2 6563	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
113	109, 112	mpbird 235	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
114		itg2le 22695	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
115	17, 81, 113, 114	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
116		itg2lecl 22694	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
117	17, 72, 115, 116	syl3anc 1264	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
118	7, 9	iblpos 22748	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
119	1, 117, 118	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080   ifcif 3911   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   oFcof 6543   oRcofr 6544   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   _ici 9548   + caddc 9549   x. cmul 9551   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681   <_ cle 9683   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297  MblFncmbf 22570   S.2citg2 22572   L^1cibl 22573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-0p 22626

This theorem is referenced by:  itgabsnc  31975  ftc1cnnclem  31979  ftc1anclem2  31982  ftc1anclem4  31984  ftc1anclem5  31985  ftc2nc  31990