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Theorem iblabsnc 31970
Description: Choice-free analogue of iblabs 22784. As with ibladdnc 31963, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabsnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
iblabsnc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
3 iblmbf 22723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
64, 5mbfmptcl 22591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76abscld 13497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
87rexrd 9697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
96absge0d 13505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
10 elxrge0 11748 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12 0e0iccpnf 11750 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1411, 13ifclda 3943 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1514adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 eqid 2422 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
1715, 16fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
18 reex 9637 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
206recld 13257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2120recnd 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
2221abscld 13497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
2321absge0d 13505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
24 elrege0 11745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  B
) ) ) )
2522, 23, 24sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 0e0icopnf 11749 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2825, 27ifclda 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2928adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
306imcld 13258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3130recnd 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
3231abscld 13497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
3331absge0d 13505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
34 elrege0 11745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
3532, 33, 34sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3635, 27ifclda 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3736adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 eqidd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
4019, 29, 37, 38, 39offval2 6562 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
41 iftrue 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
42 iftrue 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
4341, 42oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
44 iftrue 3917 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
4543, 44eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
46 00id 9815 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
47 iffalse 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
48 iffalse 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
4947, 48oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
50 iffalse 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
5146, 49, 503eqtr4a 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
5245, 51pm2.61i 167 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
5352mpteq2i 4507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
5440, 53syl6req 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
5554fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
56 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
576iblcn 22754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
582, 57mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
5958simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
605, 2, 56, 59, 20iblabsnclem 31969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6160simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
6229, 56fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6360simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
64 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
6537, 64fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6658simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
675, 2, 64, 66, 30iblabsnclem 31969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6867simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6961, 62, 63, 65, 68itg2addnc 31960 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
7055, 69eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
7163, 68readdcld 9677 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
7270, 71eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7322, 32readdcld 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
7473rexrd 9697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e. 
RR* )
7522, 32, 23, 33addge0d 10196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
76 elxrge0 11748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
7774, 75, 76sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7877, 13ifclda 3943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7978adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
80 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
8179, 80fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82 ax-icn 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
83 mulcl 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
8482, 31, 83sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
8521, 84abstrid 13517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
86 iftrue 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8786adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
886replimd 13260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
8988fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
9087, 89eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
9144adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
92 absmul 13357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
9382, 31, 92sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
94 absi 13349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  _i )  =  1
9594oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
9632recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
9796mulid2d 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
9895, 97syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
9993, 98eqtr2d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
10099oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
10191, 100eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
10285, 90, 1013brtr4d 4454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
103102ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
104 0le0 10706 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
106 iffalse 3920 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
107105, 106, 503brtr4d 4454 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
108103, 107pm2.61d1 162 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
109108ralrimivw 2837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
110 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
111 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
11219, 15, 79, 110, 111ofrfval2 6563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
113109, 112mpbird 235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )
114 itg2le 22695 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
11517, 81, 113, 114syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )
116 itg2lecl 22694 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11717, 72, 115, 116syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1187, 9iblpos 22748 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1191, 117, 118mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    oRcofr 6544   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   _ici 9548    + caddc 9549    x. cmul 9551   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297  MblFncmbf 22570   S.2citg2 22572   L^1cibl 22573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-0p 22626
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