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Theorem iblabsnc 30055
Description: Choice-free analogue of iblabs 22213. As with ibladdnc 30048, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabsnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
iblabsnc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
3 iblmbf 22152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
64, 5mbfmptcl 22022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76abscld 13249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
87rexrd 9646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
96absge0d 13257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
10 elxrge0 11640 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12 0e0iccpnf 11642 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1411, 13ifclda 3958 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
1715, 16fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
18 reex 9586 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
206recld 13009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2120recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
2221abscld 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
2321absge0d 13257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
24 elrege0 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  B
) ) ) )
2522, 23, 24sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 0e0icopnf 11641 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2825, 27ifclda 3958 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
306imcld 13010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3130recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
3231abscld 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
3331absge0d 13257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
34 elrege0 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
3532, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3635, 27ifclda 3958 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3736adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
4019, 29, 37, 38, 39offval2 6541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
41 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
42 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
4341, 42oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
44 iftrue 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
4543, 44eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
46 00id 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  0 )  =  0
47 iffalse 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
48 iffalse 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
4947, 48oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
50 iffalse 3935 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
5146, 49, 503eqtr4a 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
5245, 51pm2.61i 164 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
5352mpteq2i 4520 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
5440, 53syl6req 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
5554fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
56 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
576iblcn 22183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
582, 57mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
5958simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
605, 2, 56, 59, 20iblabsnclem 30054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6160simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
6229, 56fmptd 6040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6360simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
64 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
6537, 64fmptd 6040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6658simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
675, 2, 64, 66, 30iblabsnclem 30054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6867simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6961, 62, 63, 65, 68itg2addnc 30045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
7055, 69eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
7163, 68readdcld 9626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
7270, 71eqeltrd 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7322, 32readdcld 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
7473rexrd 9646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e. 
RR* )
7522, 32, 23, 33addge0d 10135 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
76 elxrge0 11640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
7774, 75, 76sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7877, 13ifclda 3958 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
80 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
8179, 80fmptd 6040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
83 mulcl 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
8482, 31, 83sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
8521, 84abstrid 13269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
86 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
886replimd 13012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
8988fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
9087, 89eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
9144adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
92 absmul 13109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
9382, 31, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
94 absi 13101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  _i )  =  1
9594oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
9632recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
9796mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
9895, 97syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
9993, 98eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
10099oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
10191, 100eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
10285, 90, 1013brtr4d 4467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
103102ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
104 0le0 10632 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
105104a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
106 iffalse 3935 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
107105, 106, 503brtr4d 4467 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
108103, 107pm2.61d1 159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
109108ralrimivw 2858 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
110 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
111 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
11219, 15, 79, 110, 111ofrfval2 6542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )
114 itg2le 22124 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
11517, 81, 113, 114syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )
116 itg2lecl 22123 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11717, 72, 115, 116syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1187, 9iblpos 22177 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1191, 117, 118mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523    oRcofr 6524   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   Recre 12912   Imcim 12913   abscabs 13049  MblFncmbf 22001   S.2citg2 22003   L^1cibl 22004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cmp 19865  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-ibl 22009  df-0p 22055
This theorem is referenced by:  itgabsnc  30060  ftc1cnnclem  30064  ftc1anclem2  30067  ftc1anclem4  30069  ftc1anclem5  30070  ftc2nc  30075
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