Theorem iblabslem 21310

Description: Lemma for iblabs 21311. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabs.3	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabs.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabs.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabslem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabslem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.3	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabs.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabs.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 21273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1000	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 21121	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 21019	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 21027	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12		iftrue 3802	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
13	12	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
14	3	recnd 9417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
15	14	abscld 12927	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3484	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 3804	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		eqidd 2444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) ) )
22		absf 12830	. . . . . . . . 9 |- abs : CC --> RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> abs : CC --> RR )
24	23	feqmptd 5749	. . . . . . 7 |- ( ph -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
25		fveq2 5696	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` B ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
26	14, 21, 24, 25	fmptco 5881	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
27	12	mpteq2ia 4379	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
28	26, 27	syl6reqr 2494	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) )
29		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
30	14, 29	fmptd 5872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC )
31		ax-resscn 9344	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
32		ssid 3380	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
33		cncfss 20480	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
34	31, 32, 33	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
35		abscncf 20482	. . . . . . . 8 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
36	34, 35	sselii 3358	. . . . . . 7 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
38		cncombf 21141	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
39	6, 30, 37, 38	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
40	28, 39	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
41	9, 11, 16, 20, 40	mbfss 21129	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
42	1, 41	syl5eqel 2527	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
43		reex 9378	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
45		ifan 3840	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
46		0re 9391	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
47		ifcl 3836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
48	3, 46, 47	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
49		max1 11162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
50	46, 3, 49	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
51		elrege0 11397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
52	48, 50, 51	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
53		0e0icopnf 11400	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
55	52, 54	ifclda 3826	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
56	45, 55	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
58		ifan 3840	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
59	3	renegcld 9780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
60		ifcl 3836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
61	59, 46, 60	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
62		max1 11162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
63	46, 59, 62	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
64		elrege0 11397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
65	61, 63, 64	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66	65, 54	ifclda 3826	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	58, 66	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
68	67	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
69		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
70		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
71	44, 57, 68, 69, 70	offval2 6341	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
72	45, 58	oveq12i 6108	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
73		max0add 12804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
74	3, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
75		iftrue 3802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
76	75	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
77		iftrue 3802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
78	77	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
79	76, 78	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
80	74, 79, 13	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
82		00id 9549	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
83		iffalse 3804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
84		iffalse 3804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
85	83, 84	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
86	82, 85, 19	3eqtr4a 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
87	81, 86	pm2.61d1 159	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
88	72, 87	syl5eq 2487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
89	88	mpteq2dv 4384	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
90	71, 89	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
91	90, 1	syl6reqr 2494	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
92	91	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
93	56	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	45, 83	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
95	18, 94	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
96		ibar 504	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
97	96	ifbid 3816	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
98	97	mpteq2ia 4379	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
99	3, 6	mbfpos 21134	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
100	98, 99	syl5eqelr 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
101	9, 11, 93, 95, 100	mbfss 21129	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
102		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
103	57, 102	fmptd 5872	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
104	5	simp2d 1001	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
105	67	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
106	58, 84	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
107	18, 106	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
108		ibar 504	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ -u ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) ) )
109	108	ifbid 3816	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
110	109	mpteq2ia 4379	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
111	3, 6	mbfneg 21133	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u ( F ` B ) ) e. MblFn )
112	59, 111	mbfpos 21134	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
113	110, 112	syl5eqelr 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
114	9, 11, 105, 107, 113	mbfss 21129	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
115		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
116	68, 115	fmptd 5872	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
117	5	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
118	101, 103, 104, 114, 116, 117	itg2add 21242	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
119	92, 118	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
120	104, 117	readdcld 9418	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
121	119, 120	eqeltrd 2517	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
122	42, 121	jca 532	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   dom cdm 4845   o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   oFcof 6323   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   + caddc 9290   +oocpnf 9420   <_ cle 9424   -ucneg 9601   [,)cico 11307   abscabs 12728   -cn->ccncf 20457   volcvol 20952  MblFncmbf 21099   S.2citg2 21101   L^1cibl 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-0p 21153

This theorem is referenced by:  iblabs  21311