Theorem iblabslem 22727

Description: Lemma for iblabs 22728. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabs.3	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabs.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabs.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabslem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabslem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.3	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabs.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabs.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 22690	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1017	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 22536	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 22427	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 22436	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12		iftrue 3860	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
13	12	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
14	3	recnd 9620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
15	14	abscld 13441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrd 2506	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3531	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 3863	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		eqidd 2429	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) ) )
22		absf 13344	. . . . . . . . 9 |- abs : CC --> RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> abs : CC --> RR )
24	23	feqmptd 5878	. . . . . . 7 |- ( ph -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
25		fveq2 5825	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` B ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
26	14, 21, 24, 25	fmptco 6015	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
27	12	mpteq2ia 4449	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
28	26, 27	syl6reqr 2481	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) )
29		eqid 2428	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
30	14, 29	fmptd 6005	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC )
31		ax-resscn 9547	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
32		ssid 3426	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
33		cncfss 21873	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
34	31, 32, 33	mp2an 676	. . . . . . . 8 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
35		abscncf 21875	. . . . . . . 8 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
36	34, 35	sselii 3404	. . . . . . 7 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
38		cncombf 22556	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
39	6, 30, 37, 38	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
40	28, 39	eqeltrd 2506	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
41	9, 11, 16, 20, 40	mbfss 22544	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
42	1, 41	syl5eqel 2510	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
43		reex 9581	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
45		ifan 3900	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
46		0re 9594	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
47		ifcl 3896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
48	3, 46, 47	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
49		max1 11431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
50	46, 3, 49	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
51		elrege0 11689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
52	48, 50, 51	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
53		0e0icopnf 11693	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
55	52, 54	ifclda 3886	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
56	45, 55	syl5eqel 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
57	56	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
58		ifan 3900	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
59	3	renegcld 9997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
60		ifcl 3896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
61	59, 46, 60	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
62		max1 11431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
63	46, 59, 62	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
64		elrege0 11689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
65	61, 63, 64	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
66	65, 54	ifclda 3886	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	58, 66	syl5eqel 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
68	67	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
69		eqidd 2429	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
70		eqidd 2429	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
71	44, 57, 68, 69, 70	offval2 6506	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
72	45, 58	oveq12i 6261	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
73		max0add 13317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
74	3, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
75		iftrue 3860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
76	75	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
77		iftrue 3860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
78	77	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
79	76, 78	oveq12d 6267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
80	74, 79, 13	3eqtr4d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
81	80	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
82		00id 9759	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
83		iffalse 3863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
84		iffalse 3863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
85	83, 84	oveq12d 6267	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
86	82, 85, 19	3eqtr4a 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
87	81, 86	pm2.61d1 162	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
88	72, 87	syl5eq 2474	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
89	88	mpteq2dv 4454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
90	71, 89	eqtrd 2462	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
91	90, 1	syl6reqr 2481	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
92	91	fveq2d 5829	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
93	56	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	45, 83	syl5eq 2474	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
95	18, 94	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
96		ibar 506	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
97	96	ifbid 3876	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
98	97	mpteq2ia 4449	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
99	3, 6	mbfpos 22549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
100	98, 99	syl5eqelr 2511	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
101	9, 11, 93, 95, 100	mbfss 22544	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
102		eqid 2428	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
103	57, 102	fmptd 6005	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
104	5	simp2d 1018	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
105	67	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
106	58, 84	syl5eq 2474	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
107	18, 106	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
108		ibar 506	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ -u ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) ) )
109	108	ifbid 3876	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
110	109	mpteq2ia 4449	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
111	3, 6	mbfneg 22548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u ( F ` B ) ) e. MblFn )
112	59, 111	mbfpos 22549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
113	110, 112	syl5eqelr 2511	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
114	9, 11, 105, 107, 113	mbfss 22544	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
115		eqid 2428	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
116	68, 115	fmptd 6005	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
117	5	simp3d 1019	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
118	101, 103, 104, 114, 116, 117	itg2add 22659	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
119	92, 118	eqtrd 2462	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
120	104, 117	readdcld 9621	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
121	119, 120	eqeltrd 2506	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
122	42, 121	jca 534	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   C_ wss 3379   ifcif 3854   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   o. ccom 4800   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   oFcof 6487   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   + caddc 9493   +oocpnf 9623   <_ cle 9627   -ucneg 9812   [,)cico 11588   abscabs 13241   -cn->ccncf 21850   volcvol 22357  MblFncmbf 22514   S.2citg2 22516   L^1cibl 22517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-0p 22570

This theorem is referenced by:  iblabs  22728