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Theorem iblabslem 21264
Description: Lemma for iblabs 21265. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblabs.3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabs.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
iblabs.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabslem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabslem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabs.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L^1 )
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 21227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 995 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 21075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 20973 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 20981 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
12 iftrue 3794 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
1312adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
143recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1514abscld 12918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3476 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3796 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )
22 absf 12821 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
2423feqmptd 5741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
25 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2614, 21, 24, 25fmptco 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
2712mpteq2ia 4371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
2826, 27syl6reqr 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) ) ) )
29 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
3014, 29fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
31 ax-resscn 9335 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
32 ssid 3372 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
33 cncfss 20434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3431, 32, 33mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
35 abscncf 20436 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3634, 35sselii 3350 . . . . . . 7  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
38 cncombf 21095 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
396, 30, 37, 38syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
4028, 39eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
419, 11, 16, 20, 40mbfss 21083 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
421, 41syl5eqel 2525 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
43 reex 9369 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
45 ifan 3832 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
46 0re 9382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
483, 46, 47sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
49 max1 11153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
5046, 3, 49sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
51 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
5248, 50, 51sylanbrc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
53 0e0icopnf 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5552, 54ifclda 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
5645, 55syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5756adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
58 ifan 3832 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
593renegcld 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
60 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6159, 46, 60sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
62 max1 11153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
6346, 59, 62sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
64 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
6561, 63, 64sylanbrc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6665, 54ifclda 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6758, 66syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6867adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
69 eqidd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
70 eqidd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
7144, 57, 68, 69, 70offval2 6335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
7245, 58oveq12i 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
73 max0add 12795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
743, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
75 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
7675adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
77 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
7877adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
7976, 78oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
8074, 79, 133eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
82 00id 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
83 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
84 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
8583, 84oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
8682, 85, 193eqtr4a 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8781, 86pm2.61d1 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8872, 87syl5eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8988mpteq2dv 4376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9071, 89eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9190, 1syl6reqr 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
9291fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
9356adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9445, 83syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
9518, 94syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
96 ibar 501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
9796ifbid 3808 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
9897mpteq2ia 4371 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
993, 6mbfpos 21088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
10098, 99syl5eqelr 2526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1019, 11, 93, 95, 100mbfss 21083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
102 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10357, 102fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1045simp2d 996 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10567adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10658, 84syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
10718, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
108 ibar 501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  -u ( F `
 B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) ) )
109108ifbid 3808 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
110109mpteq2ia 4371 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
1113, 6mbfneg 21087 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  B ) )  e. MblFn
)
11259, 111mbfpos 21088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
113110, 112syl5eqelr 2526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1149, 11, 105, 107, 113mbfss 21083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
115 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
11668, 115fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
1175simp3d 997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
118101, 103, 104, 114, 116, 117itg2add 21196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
11992, 118eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
120104, 117readdcld 9409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
121119, 120eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
12242, 121jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   +oocpnf 9411    <_ cle 9415   -ucneg 9592   [,)cico 11298   abscabs 12719   -cn->ccncf 20411   volcvol 20906  MblFncmbf 21053   S.2citg2 21055   L^1cibl 21056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-0p 21107
This theorem is referenced by:  iblabs  21265
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