MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Unicode version

Theorem ibl0 22063
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 22094, this does not require  A to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9588 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mbfconst 21912 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
4 elfzelz 11694 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
54ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
6 ax-icn 9551 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
7 ine0 9995 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
8 expclz 12167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 expne0i 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
108, 9div0d 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
116, 7, 10mp3an12 1313 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5857 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 12961 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615itgvallem3 22062 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
17 0re 9596 . . . 4  |-  0  e.  RR
1816, 17syl6eqel 2537 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1918ralrimiva 2855 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
20 eqidd 2442 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
21 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) )
22 c0ex 9590 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2322fconst 5758 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
24 fdm 5722 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2523, 24mp1i 12 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2622fvconst2 6108 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
2820, 21, 25, 27isibl 22042 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
293, 19, 28mpbir2and 920 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   ifcif 3923   {csn 4011   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492    X. cxp 4984   dom cdm 4986   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   _ici 9494    <_ cle 9629    / cdiv 10209   3c3 10589   ZZcz 10867   ...cfz 11678   ^cexp 12142   Recre 12906   volcvol 21745  MblFncmbf 21893   S.2citg2 21895   L^1cibl 21896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-disj 4405  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xadd 11325  df-ioo 11539  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-clim 13287  df-sum 13485  df-xmet 18283  df-met 18284  df-ovol 21746  df-vol 21747  df-mbf 21898  df-itg1 21899  df-itg2 21900  df-ibl 21901  df-0p 21947
This theorem is referenced by:  itgge0  22087  itgfsum  22103  bddiblnc  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator