MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Unicode version

Theorem ibl0 21382
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 21413, this does not require  A to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9481 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mbfconst 21231 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
4 elfzelz 11556 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
54ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
6 ax-icn 9444 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
7 ine0 9883 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
8 expclz 11993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 expne0i 11999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
108, 9div0d 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
116, 7, 10mp3an12 1305 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5795 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 12745 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615itgvallem3 21381 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
17 0re 9489 . . . 4  |-  0  e.  RR
1816, 17syl6eqel 2547 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1918ralrimiva 2822 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
20 eqidd 2452 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
21 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) )
22 c0ex 9483 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2322fconst 5696 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
24 fdm 5663 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2523, 24mp1i 12 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2622fvconst2 6034 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
2820, 21, 25, 27isibl 21361 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
293, 19, 28mpbir2and 913 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   ifcif 3891   {csn 3977   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450    X. cxp 4938   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   _ici 9387    <_ cle 9522    / cdiv 10096   3c3 10475   ZZcz 10749   ...cfz 11540   ^cexp 11968   Recre 12690   volcvol 21065  MblFncmbf 21212   S.2citg2 21214   L^1cibl 21215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-ofr 6423  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xadd 11193  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268  df-xmet 17921  df-met 17922  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218  df-itg2 21219  df-ibl 21220  df-0p 21266
This theorem is referenced by:  itgge0  21406  itgfsum  21422  bddiblnc  28602
  Copyright terms: Public domain W3C validator