MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem iaa 23360
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa |- _i e. AA
Proof of Theorem iaa
Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9616 . 2 |- _i e. CC
2 cnex 9638 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4 sqcl 12375 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
54adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6 ax-1cn 9615 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
76a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8 eqidd 2472 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 4883 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
109a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6567 . . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12 zsscn 10969 . . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13 1z 10991 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14 2nn0 10910 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15 plypow 23238 . . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1390 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18 plyconst 23239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 686 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21 zaddcl 11001 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
2221adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
2317, 20, 22plyadd 23250 . . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2550 . . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
2524trud 1461 . . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26 0cn 9653 . . . . 5 |- 0 e. CC
27 sq0i 12405 . . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
2827oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29 0p1e1 10743 . . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
3028, 29syl6eq 2521 . . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31 eqid 2471 . . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32 1ex 9656 . . . . . . . 8 |- 1 e. _V
3330, 31, 32fvmpt 5963 . . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35 ax-1ne0 9626 . . . . . 6 |- 1 =/= 0
3634, 35eqnetri 2713 . . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37 ne0p 23240 . . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
3826, 36, 37mp2an 686 . . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39 eldifsn 4088 . . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 934 . . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41 oveq1 6315 . . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42 i2 12413 . . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
4341, 42syl6eq 2521 . . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
4443oveq1d 6323 . . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45 neg1cn 10735 . . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46 1pneg1e0 10740 . . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
476, 45, 46addcomli 9843 . . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
4844, 47syl6eq 2521 . . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49 c0ex 9655 . . . . 5 |- 0 e. _V
5048, 31, 49fvmpt 5963 . . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52 fveq1 5878 . . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
5352eqeq1d 2473 . . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
5453rspcev 3136 . . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
5540, 51, 54mp2an 686 . 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56 elaa 23348 . 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 934 1 |- _i e. AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 376   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559   + caddc 9560   -ucneg 9881   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   0pc0p 22706  Polycply 23217   AAcaa 23346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-aa 23347
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator