MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Unicode version

Theorem iaa 22588
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa  |-  _i  e.  AA

Proof of Theorem iaa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9563 . 2  |-  _i  e.  CC
2 cnex 9585 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
4 sqcl 12210 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
6 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6551 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) )
12 zsscn 10884 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
13 1z 10906 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
14 2nn0 10824 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
15 plypow 22470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plyconst 22471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( CC  X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
)
21 zaddcl 10915 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
2317, 20, 22plyadd 22482 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2524trud 1388 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
26 0cn 9600 . . . . 5  |-  0  e.  CC
27 sq0i 12240 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z ^ 2 )  =  0 )
2827oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
29 0p1e1 10659 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  1 )
31 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )
326elexi 3128 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5957 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  0
)  =  1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =  1
35 ax-1ne0 9573 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3634, 35eqnetri 2763 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =/=  0
37 ne0p 22472 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) ` 
0 )  =/=  0
)  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p )
3826, 36, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p
39 eldifsn 4158 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } )  <-> 
( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  =/=  0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 918 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )
41 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
42 i2 12248 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4341, 42syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  -u 1 )
4443oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
45 neg1cn 10651 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
46 1pneg1e0 10656 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
476, 45, 46addcomli 9783 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
4844, 47syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  0 )
4926elexi 3128 . . . . 5  |-  0  e.  _V
5048, 31, 49fvmpt 5957 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0
52 fveq1 5871 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( f `  _i )  =  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i ) )
5352eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( ( f `  _i )  =  0  <->  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 ) )
5453rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
)  /\  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )  ->  E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  _i )  =  0
)
5540, 51, 54mp2an 672 . 2  |-  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0
56 elaa 22579 . 2  |-  ( _i  e.  AA  <->  ( _i  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 918 1  |-  _i  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507   -ucneg 9818   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ^cexp 12146   0pc0p 21944  Polycply 22449   AAcaa 22577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-0p 21945  df-ply 22453  df-aa 22578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator