Theorem iaa 22588

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	|- _i e. AA

Proof of Theorem iaa

Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9563	. 2 |- _i e. CC
2		cnex 9585	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4		sqcl 12210	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6		ax-1cn 9562	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9		fconstmpt 5049	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 6551	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12		zsscn 10884	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13		1z 10906	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14		2nn0 10824	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15		plypow 22470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1324	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18		plyconst 22471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
19	12, 13, 18	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21		zaddcl 10915	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
22	21	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
23	17, 20, 22	plyadd 22482	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
24	11, 23	eqeltrrd 2556	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
25	24	trud 1388	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26		0cn 9600	. . . . 5 |- 0 e. CC
27		sq0i 12240	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
28	27	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29		0p1e1 10659	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
30	28, 29	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32	6	elexi 3128	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5957	. . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35		ax-1ne0 9573	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
36	34, 35	eqnetri 2763	. . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37		ne0p 22472	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
38	26, 36, 37	mp2an 672	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39		eldifsn 4158	. . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
40	25, 38, 39	mpbir2an 918	. . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41		oveq1 6302	. . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42		i2 12248	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
43	41, 42	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
44	43	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45		neg1cn 10651	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46		1pneg1e0 10656	. . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 9783	. . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
48	44, 47	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49	26	elexi 3128	. . . . 5 |- 0 e. _V
50	48, 31, 49	fvmpt 5957	. . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52		fveq1 5871	. . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
53	52	eqeq1d 2469	. . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
54	53	rspcev 3219	. . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
55	40, 51, 54	mp2an 672	. 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56		elaa 22579	. 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
57	1, 55, 56	mpbir2an 918	1 |- _i e. AA

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   C_ wss 3481   {csn 4033   |-> cmpt 4511   X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   oFcof 6533   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506   + caddc 9507   -ucneg 9818   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ^cexp 12146   0pc0p 21944  Polycply 22449   AAcaa 22577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-0p 21945  df-ply 22453  df-aa 22578

This theorem is referenced by: (None)