Theorem iaa 21925

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	|- _i e. AA

Proof of Theorem iaa

Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9453	. 2 |- _i e. CC
2		cnex 9475	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4		sqcl 12046	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6		ax-1cn 9452	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9		fconstmpt 4991	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 6447	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12		zsscn 10766	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13		1z 10788	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14		2nn0 10708	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15		plypow 21807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1315	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18		plyconst 21808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
19	12, 13, 18	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21		zaddcl 10797	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
22	21	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
23	17, 20, 22	plyadd 21819	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
24	11, 23	eqeltrrd 2543	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
25	24	trud 1379	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26		0cn 9490	. . . . 5 |- 0 e. CC
27		sq0i 12076	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
28	27	oveq1d 6216	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29		0p1e1 10545	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
30	28, 29	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32	6	elexi 3088	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5884	. . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35		ax-1ne0 9463	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
36	34, 35	eqnetri 2748	. . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37		ne0p 21809	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
38	26, 36, 37	mp2an 672	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39		eldifsn 4109	. . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
40	25, 38, 39	mpbir2an 911	. . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41		oveq1 6208	. . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42		i2 12084	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
43	41, 42	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
44	43	oveq1d 6216	. . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45		neg1cn 10537	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46		1pneg1e0 10542	. . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 9673	. . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
48	44, 47	syl6eq 2511	. . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49	26	elexi 3088	. . . . 5 |- 0 e. _V
50	48, 31, 49	fvmpt 5884	. . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52		fveq1 5799	. . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
53	52	eqeq1d 2456	. . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
54	53	rspcev 3179	. . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
55	40, 51, 54	mp2an 672	. 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56		elaa 21916	. 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
57	1, 55, 56	mpbir2an 911	1 |- _i e. AA

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   \ cdif 3434   C_ wss 3437   {csn 3986   |-> cmpt 4459   X. cxp 4947   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   oFcof 6429   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395   _ici 9396   + caddc 9397   -ucneg 9708   2c2 10483   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ^cexp 11983   0pc0p 21281  Polycply 21786   AAcaa 21914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-0p 21282  df-ply 21790  df-aa 21915

This theorem is referenced by: (None)