MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iaa 23281
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa  |-  _i  e.  AA

Proof of Theorem iaa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9598 . 2  |-  _i  e.  CC
2 cnex 9620 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
4 sqcl 12337 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
6 ax-1cn 9597 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 4878 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6548 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) )
12 zsscn 10945 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
13 1z 10967 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
14 2nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
15 plypow 23159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1364 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plyconst 23160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( CC  X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
)
21 zaddcl 10977 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
2221adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
2317, 20, 22plyadd 23171 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2524trud 1453 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
26 0cn 9635 . . . . 5  |-  0  e.  CC
27 sq0i 12367 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z ^ 2 )  =  0 )
2827oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
29 0p1e1 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  1 )
31 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )
32 1ex 9638 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  0
)  =  1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =  1
35 ax-1ne0 9608 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3634, 35eqnetri 2694 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =/=  0
37 ne0p 23161 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) ` 
0 )  =/=  0
)  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p )
3826, 36, 37mp2an 678 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p
39 eldifsn 4097 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } )  <-> 
( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  =/=  0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 931 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )
41 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
42 i2 12375 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4341, 42syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  -u 1 )
4443oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
45 neg1cn 10713 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
46 1pneg1e0 10718 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
476, 45, 46addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
4844, 47syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  0 )
49 c0ex 9637 . . . . 5  |-  0  e.  _V
5048, 31, 49fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0
52 fveq1 5864 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( f `  _i )  =  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i ) )
5352eqeq1d 2453 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( ( f `  _i )  =  0  <->  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 ) )
5453rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
)  /\  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )  ->  E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  _i )  =  0
)
5540, 51, 54mp2an 678 . 2  |-  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0
56 elaa 23269 . 2  |-  ( _i  e.  AA  <->  ( _i  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 931 1  |-  _i  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541    + caddc 9542   -ucneg 9861   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12272   0pc0p 22627  Polycply 23138   AAcaa 23267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142  df-aa 23268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator