MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Unicode version

Theorem iaa 21925
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa  |-  _i  e.  AA

Proof of Theorem iaa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9453 . 2  |-  _i  e.  CC
2 cnex 9475 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
4 sqcl 12046 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
6 ax-1cn 9452 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 4991 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6447 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) )
12 zsscn 10766 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
13 1z 10788 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
14 2nn0 10708 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
15 plypow 21807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1315 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plyconst 21808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( CC  X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
)
21 zaddcl 10797 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
2317, 20, 22plyadd 21819 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2524trud 1379 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
26 0cn 9490 . . . . 5  |-  0  e.  CC
27 sq0i 12076 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z ^ 2 )  =  0 )
2827oveq1d 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
29 0p1e1 10545 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  1 )
31 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )
326elexi 3088 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5884 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  0
)  =  1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =  1
35 ax-1ne0 9463 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3634, 35eqnetri 2748 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =/=  0
37 ne0p 21809 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) ` 
0 )  =/=  0
)  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p )
3826, 36, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p
39 eldifsn 4109 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } )  <-> 
( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  =/=  0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 911 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )
41 oveq1 6208 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
42 i2 12084 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4341, 42syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  -u 1 )
4443oveq1d 6216 . . . . . 6  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
45 neg1cn 10537 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
46 1pneg1e0 10542 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
476, 45, 46addcomli 9673 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
4844, 47syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  0 )
4926elexi 3088 . . . . 5  |-  0  e.  _V
5048, 31, 49fvmpt 5884 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0
52 fveq1 5799 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( f `  _i )  =  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i ) )
5352eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( ( f `  _i )  =  0  <->  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 ) )
5453rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
)  /\  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )  ->  E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  _i )  =  0
)
5540, 51, 54mp2an 672 . 2  |-  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0
56 elaa 21916 . 2  |-  ( _i  e.  AA  <->  ( _i  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 911 1  |-  _i  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    C_ wss 3437   {csn 3986    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    oFcof 6429   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395   _ici 9396    + caddc 9397   -ucneg 9708   2c2 10483   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ^cexp 11983   0pc0p 21281  Polycply 21786   AAcaa 21914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-0p 21282  df-ply 21790  df-aa 21915
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator