MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Unicode version

Theorem iaa 22699
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa  |-  _i  e.  AA

Proof of Theorem iaa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9554 . 2  |-  _i  e.  CC
2 cnex 9576 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  CC  e.  _V )
4 sqcl 12212 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  (
z ^ 2 )  e.  CC )
6 ax-1cn 9553 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) ) )
9 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
113, 5, 7, 8, 10offval2 6541 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) )
12 zsscn 10879 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
13 1z 10901 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
14 2nn0 10819 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
15 plypow 22580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1612, 13, 14, 15mp3an 1325 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
18 plyconst 22581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( CC  X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ ) )
1912, 13, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  X.  {
1 } )  e.  (Poly `  ZZ )
)
21 zaddcl 10911 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ZZ )
2317, 20, 22plyadd 22592 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z ^
2 ) )  oF  +  ( CC 
X.  { 1 } ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2411, 23eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
2524trud 1392 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )
26 0cn 9591 . . . . 5  |-  0  e.  CC
27 sq0i 12242 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z ^ 2 )  =  0 )
2827oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
29 0p1e1 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3028, 29syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  1 )
31 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )
32 1ex 9594 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  0
)  =  1 )
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =  1
35 ax-1ne0 9564 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
3634, 35eqnetri 2739 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  0 )  =/=  0
37 ne0p 22582 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) ` 
0 )  =/=  0
)  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p )
3826, 36, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  =/=  0p
39 eldifsn 4140 . . . 4  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } )  <-> 
( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  =/=  0p ) )
4025, 38, 39mpbir2an 920 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )
41 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  ( _i ^
2 ) )
42 i2 12250 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4341, 42syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( z  =  _i  ->  (
z ^ 2 )  =  -u 1 )
4443oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
45 neg1cn 10646 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
46 1pneg1e0 10651 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
476, 45, 46addcomli 9775 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
4844, 47syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( z  =  _i  ->  (
( z ^ 2 )  +  1 )  =  0 )
49 c0ex 9593 . . . . 5  |-  0  e.  _V
5048, 31, 49fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )
511, 50ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0
52 fveq1 5855 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( f `  _i )  =  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i ) )
5352eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) )  -> 
( ( f `  _i )  =  0  <->  ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 ) )
5453rspcev 3196 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( ( z ^
2 )  +  1 ) )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
)  /\  ( (
z  e.  CC  |->  ( ( z ^ 2 )  +  1 ) ) `  _i )  =  0 )  ->  E. f  e.  (
(Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  _i )  =  0
)
5540, 51, 54mp2an 672 . 2  |-  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0
56 elaa 22690 . 2  |-  ( _i  e.  AA  <->  ( _i  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 _i )  =  0 ) )
571, 55, 56mpbir2an 920 1  |-  _i  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383   T. wtru 1384    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498   -ucneg 9811   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ^cexp 12148   0pc0p 22054  Polycply 22559   AAcaa 22688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-0p 22055  df-ply 22563  df-aa 22689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator