Theorem iaa 23281

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	|- _i e. AA

Proof of Theorem iaa

Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9598	. 2 |- _i e. CC
2		cnex 9620	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4		sqcl 12337	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6		ax-1cn 9597	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9		fconstmpt 4878	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 6548	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12		zsscn 10945	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13		1z 10967	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14		2nn0 10886	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15		plypow 23159	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1364	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18		plyconst 23160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
19	12, 13, 18	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21		zaddcl 10977	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
22	21	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
23	17, 20, 22	plyadd 23171	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
24	11, 23	eqeltrrd 2530	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
25	24	trud 1453	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26		0cn 9635	. . . . 5 |- 0 e. CC
27		sq0i 12367	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
28	27	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29		0p1e1 10721	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
30	28, 29	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32		1ex 9638	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5948	. . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35		ax-1ne0 9608	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
36	34, 35	eqnetri 2694	. . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37		ne0p 23161	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
38	26, 36, 37	mp2an 678	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39		eldifsn 4097	. . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
40	25, 38, 39	mpbir2an 931	. . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41		oveq1 6297	. . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42		i2 12375	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
43	41, 42	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
44	43	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45		neg1cn 10713	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46		1pneg1e0 10718	. . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 9825	. . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
48	44, 47	syl6eq 2501	. . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49		c0ex 9637	. . . . 5 |- 0 e. _V
50	48, 31, 49	fvmpt 5948	. . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52		fveq1 5864	. . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
53	52	eqeq1d 2453	. . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
54	53	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
55	40, 51, 54	mp2an 678	. 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56		elaa 23269	. 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
57	1, 55, 56	mpbir2an 931	1 |- _i e. AA

Syntax hints:   /\ wa 371   = wceq 1444   T. wtru 1445   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   oFcof 6529   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540   _ici 9541   + caddc 9542   -ucneg 9861   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12272   0pc0p 22627  Polycply 23138   AAcaa 23267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142  df-aa 23268

This theorem is referenced by: (None)