Theorem iaa 22699

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	|- _i e. AA

Proof of Theorem iaa

Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9554	. 2 |- _i e. CC
2		cnex 9576	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC e. _V )
4		sqcl 12212	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( z ^ 2 ) e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> ( z ^ 2 ) e. CC )
6		ax-1cn 9553	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
8		eqidd 2444	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) = ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) )
9		fconstmpt 5033	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 6541	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) )
12		zsscn 10879	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
13		1z 10901	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
14		2nn0 10819	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
15		plypow 22580	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1325	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
18		plyconst 22581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
19	12, 13, 18	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC X. { 1 } ) e. (Poly ` ZZ ) )
21		zaddcl 10911	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + y ) e. ZZ )
22	21	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
23	17, 20, 22	plyadd 22592	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( z e. CC |-> ( z ^ 2 ) ) oF + ( CC X. { 1 } ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
24	11, 23	eqeltrrd 2532	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
25	24	trud 1392	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ )
26		0cn 9591	. . . . 5 |- 0 e. CC
27		sq0i 12242	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z ^ 2 ) = 0 )
28	27	oveq1d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
29		0p1e1 10654	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
30	28, 29	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 1 )
31		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) )
32		1ex 9594	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5941	. . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1 )
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) = 1
35		ax-1ne0 9564	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
36	34, 35	eqnetri 2739	. . . . 5 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0
37		ne0p 22582	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` 0 ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p )
38	26, 36, 37	mp2an 672	. . . 4 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p
39		eldifsn 4140	. . . 4 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) =/= 0p ) )
40	25, 38, 39	mpbir2an 920	. . 3 |- ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } )
41		oveq1 6288	. . . . . . . 8 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = ( _i ^ 2 ) )
42		i2 12250	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
43	41, 42	syl6eq 2500	. . . . . . 7 |- ( z = _i -> ( z ^ 2 ) = -u 1 )
44	43	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
45		neg1cn 10646	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
46		1pneg1e0 10651	. . . . . . 7 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 9775	. . . . . 6 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
48	44, 47	syl6eq 2500	. . . . 5 |- ( z = _i -> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) = 0 )
49		c0ex 9593	. . . . 5 |- 0 e. _V
50	48, 31, 49	fvmpt 5941	. . . 4 |- ( _i e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 )
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0
52		fveq1 5855	. . . . 5 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( f ` _i ) = ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) )
53	52	eqeq1d 2445	. . . 4 |- ( f = ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) -> ( ( f ` _i ) = 0 <-> ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) )
54	53	rspcev 3196	. . 3 |- ( ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( z e. CC |-> ( ( z ^ 2 ) + 1 ) ) ` _i ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 )
55	40, 51, 54	mp2an 672	. 2 |- E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0
56		elaa 22690	. 2 |- ( _i e. AA <-> ( _i e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` _i ) = 0 ) )
57	1, 55, 56	mpbir2an 920	1 |- _i e. AA

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1383   T. wtru 1384   e. wcel 1804   =/= wne 2638   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4014   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   oFcof 6523   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497   + caddc 9498   -ucneg 9811   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ^cexp 12148   0pc0p 22054  Polycply 22559   AAcaa 22688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-0p 22055  df-ply 22563  df-aa 22689

This theorem is referenced by: (None)