Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Unicode version

Theorem i1fres 21847
 Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside .) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1
Assertion
Ref Expression
i1fres
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 21818 . . . . . . . 8
21adantr 465 . . . . . . 7
3 ffn 5729 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 fnfvelrn 6016 . . . . . 6
64, 5sylan 471 . . . . 5
7 i1f0rn 21824 . . . . . 6
87ad2antrr 725 . . . . 5
9 ifcl 3981 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 661 . . . 4
11 i1fres.1 . . . 4
1210, 11fmptd 6043 . . 3
13 frn 5735 . . . 4
142, 13syl 16 . . 3
15 fss 5737 . . 3
1612, 14, 15syl2anc 661 . 2
17 i1frn 21819 . . . 4
19 frn 5735 . . . 4
2012, 19syl 16 . . 3
21 ssfi 7737 . . 3
2218, 20, 21syl2anc 661 . 2
23 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
24 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . . . 13
26 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
27 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27ifex 4008 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 11, 28fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
3029adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3130eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10
32 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
3433necomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13
35 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . 14
3635neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . 13
3734, 36syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12
3837necon4bd 2689 . . . . . . . . . . 11
3938pm4.71rd 635 . . . . . . . . . 10
4031, 39bitrd 253 . . . . . . . . 9
41 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11
4241eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10
4342pm5.32i 637 . . . . . . . . 9
4440, 43syl6bb 261 . . . . . . . 8
4544pm5.32da 641 . . . . . . 7
46 an12 795 . . . . . . 7
4745, 46syl6bb 261 . . . . . 6
48 ffn 5729 . . . . . . . . 9
4912, 48syl 16 . . . . . . . 8
5049adantr 465 . . . . . . 7
51 fniniseg 6000 . . . . . . 7
5250, 51syl 16 . . . . . 6
534adantr 465 . . . . . . . 8
54 fniniseg 6000 . . . . . . . 8
5553, 54syl 16 . . . . . . 7
5655anbi2d 703 . . . . . 6
5747, 52, 563bitr4d 285 . . . . 5
58 elin 3687 . . . . 5
5957, 58syl6bbr 263 . . . 4
6059eqrdv 2464 . . 3
61 simplr 754 . . . 4
62 i1fima 21820 . . . . 5
6362ad2antrr 725 . . . 4
64 inmbl 21687 . . . 4
6561, 63, 64syl2anc 661 . . 3
6660, 65eqeltrd 2555 . 2
6760fveq2d 5868 . . . 4
68 mblvol 21676 . . . . 5
6965, 68syl 16 . . . 4
7067, 69eqtrd 2508 . . 3
71 inss2 3719 . . . . 5
7271a1i 11 . . . 4
73 mblss 21677 . . . . 5
7463, 73syl 16 . . . 4
75 mblvol 21676 . . . . . 6
7663, 75syl 16 . . . . 5
77 i1fima2sn 21822 . . . . . 6
7877adantlr 714 . . . . 5
7976, 78eqeltrrd 2556 . . . 4
80 ovolsscl 21632 . . . 4
8172, 74, 79, 80syl3anc 1228 . . 3
8270, 81eqeltrd 2555 . 2
8316, 22, 66, 82i1fd 21823 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  cif 3939  csn 4027   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  cfn 7513  cr 9487  cc0 9488  covol 21609  cvol 21610  citg1 21759 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764 This theorem is referenced by:  i1fpos  21848  itg1climres  21856  itg2uba  21885  itg2splitlem  21890  itg2monolem1  21892  ftc1anclem5  29671  ftc1anclem7  29673
 Copyright terms: Public domain W3C validator