Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Unicode version

Theorem i1fres 22237
 Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside .) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1
Assertion
Ref Expression
i1fres
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 22208 . . . . . . . 8
21adantr 465 . . . . . . 7
3 ffn 5737 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 fnfvelrn 6029 . . . . . 6
64, 5sylan 471 . . . . 5
7 i1f0rn 22214 . . . . . 6
87ad2antrr 725 . . . . 5
96, 8ifcld 3987 . . . 4
10 i1fres.1 . . . 4
119, 10fmptd 6056 . . 3
12 frn 5743 . . . 4
132, 12syl 16 . . 3
1411, 13fssd 5746 . 2
15 i1frn 22209 . . . 4
1615adantr 465 . . 3
17 frn 5743 . . . 4
1811, 17syl 16 . . 3
19 ssfi 7759 . . 3
2016, 18, 19syl2anc 661 . 2
21 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22ifbieq1d 3967 . . . . . . . . . . . . 13
24 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
25 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25ifex 4013 . . . . . . . . . . . . 13
2723, 10, 26fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2928eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
30 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
3231necomd 2728 . . . . . . . . . . . . 13
33 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . 14
3433neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12
3635necon4bd 2679 . . . . . . . . . . 11
3736pm4.71rd 635 . . . . . . . . . 10
3829, 37bitrd 253 . . . . . . . . 9
39 iftrue 3950 . . . . . . . . . . 11
4039eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
4140pm5.32i 637 . . . . . . . . 9
4238, 41syl6bb 261 . . . . . . . 8
4342pm5.32da 641 . . . . . . 7
44 an12 797 . . . . . . 7
4543, 44syl6bb 261 . . . . . 6
46 ffn 5737 . . . . . . . . 9
4711, 46syl 16 . . . . . . . 8
4847adantr 465 . . . . . . 7
49 fniniseg 6009 . . . . . . 7
5048, 49syl 16 . . . . . 6
514adantr 465 . . . . . . . 8
52 fniniseg 6009 . . . . . . . 8
5351, 52syl 16 . . . . . . 7
5453anbi2d 703 . . . . . 6
5545, 50, 543bitr4d 285 . . . . 5
56 elin 3683 . . . . 5
5755, 56syl6bbr 263 . . . 4
5857eqrdv 2454 . . 3
59 simplr 755 . . . 4
60 i1fima 22210 . . . . 5
6160ad2antrr 725 . . . 4
62 inmbl 22077 . . . 4
6359, 61, 62syl2anc 661 . . 3
6458, 63eqeltrd 2545 . 2
6558fveq2d 5876 . . . 4
66 mblvol 22066 . . . . 5
6763, 66syl 16 . . . 4
6865, 67eqtrd 2498 . . 3
69 inss2 3715 . . . . 5
7069a1i 11 . . . 4
71 mblss 22067 . . . . 5
7261, 71syl 16 . . . 4
73 mblvol 22066 . . . . . 6
7461, 73syl 16 . . . . 5
75 i1fima2sn 22212 . . . . . 6
7675adantlr 714 . . . . 5
7774, 76eqeltrrd 2546 . . . 4
78 ovolsscl 22022 . . . 4
7970, 72, 77, 78syl3anc 1228 . . 3
8068, 79eqeltrd 2545 . 2
8114, 20, 64, 80i1fd 22213 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652   cdif 3468   cin 3470   wss 3471  cif 3944  csn 4032   cmpt 4515  ccnv 5007   cdm 5008   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  cfn 7535  cr 9508  cc0 9509  covol 21999  cvol 22000  citg1 22149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cmp 20013  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154 This theorem is referenced by:  i1fpos  22238  itg1climres  22246  itg2uba  22275  itg2splitlem  22280  itg2monolem1  22282  ftc1anclem5  30256  ftc1anclem7  30258
 Copyright terms: Public domain W3C validator