MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fposd Structured version   Unicode version

Theorem i1fposd 21303
Description: Deduction form of i1fposd 21303. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fposd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1 )
Assertion
Ref Expression
i1fposd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem i1fposd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ x
0
2 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
3 nffvmpt1 5799 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y )
41, 2, 3nfbr 4436 . . . . 5  |-  F/ x
0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y )
54, 3, 1nfif 3918 . . . 4  |-  F/_ x if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 )
6 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ y if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 )
7 fveq2 5791 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) )
87breq2d 4404 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y )  <->  0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ) )
98, 7ifbieq1d 3912 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  0 ) )
105, 6, 9cbvmpt 4482 . . 3  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 ) )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
12 i1fposd.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1 )
13 i1ff 21272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
15 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  A )  =  ( x  e.  RR  |->  A )
1615fmpt 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  A  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
1714, 16sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A  e.  RR )
1817r19.21bi 2912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
1915fvmpt2 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x )  =  A )
2011, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x )  =  A )
2120breq2d 4404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 x )  <->  0  <_  A ) )
2221, 20ifbieq1d 3912 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 x ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
2322mpteq2dva 4478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
2410, 23syl5eq 2504 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
25 eqid 2451 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )
2625i1fpos 21302 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2712, 26syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2824, 27eqeltrrd 2540 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   ifcif 3891   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518   RRcr 9384   0cc0 9385    <_ cle 9522   S.1citg1 21213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268  df-rest 14465  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-cmp 19108  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218
This theorem is referenced by:  i1fibl  21403  itgitg1  21404
  Copyright terms: Public domain W3C validator