MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Structured version   Unicode version

Theorem i1fpos 21310
Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1fpos  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
32biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
4 i1ff 21280 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
54ffvelrnda 5945 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
65biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ) )
7 elrege0 11502 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
94adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
10 ffn 5660 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
11 elpreima 5925 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
129, 10, 113syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( 0 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
133, 8, 123bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ) )
1413ifbid 3912 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( `' F "
( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1514mpteq2dva 4479 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
161, 15syl5eq 2504 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
17 i1fima 21282 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) )  e.  dom  vol )
18 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1918i1fres 21309 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( `' F "
( 0 [,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2017, 19mpdan 668 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2116, 20eqeltrd 2539 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3892   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   "cima 4944    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   +oocpnf 9519    <_ cle 9523   [,)cico 11406   volcvol 21072   S.1citg1 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-cmp 19115  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226
This theorem is referenced by:  i1fposd  21311  i1fibl  21411  itg2addnclem  28584  ftc1anclem5  28612
  Copyright terms: Public domain W3C validator