Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Unicode version

Theorem i1fmulclem 22567
 Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2
i1fmulc.3
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9619 . . . . . . . . . 10
21a1i 11 . . . . . . . . 9
3 i1fmulc.3 . . . . . . . . 9
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . . 11
5 i1ff 22541 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
7 ffn 5737 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9
9 eqidd 2421 . . . . . . . . 9
102, 3, 8, 9ofc1 6559 . . . . . . . 8
1110adantlr 719 . . . . . . 7
1211adantlr 719 . . . . . 6
1312eqeq1d 2422 . . . . 5
14 eqcom 2429 . . . . . 6
15 simplr 760 . . . . . . . 8
1615recnd 9658 . . . . . . 7
173ad3antrrr 734 . . . . . . . 8
1817recnd 9658 . . . . . . 7
196ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
2019ffvelrnda 6028 . . . . . . . 8
2120recnd 9658 . . . . . . 7
22 simpllr 767 . . . . . . 7
2316, 18, 21, 22divmuld 10394 . . . . . 6
2414, 23syl5bb 260 . . . . 5
2513, 24bitr4d 259 . . . 4
2625pm5.32da 645 . . 3
27 remulcl 9613 . . . . . . . 8
2827adantl 467 . . . . . . 7
29 fconstg 5778 . . . . . . . . 9
303, 29syl 17 . . . . . . . 8
313snssd 4139 . . . . . . . 8
3230, 31fssd 5746 . . . . . . 7
33 inidm 3668 . . . . . . 7
3428, 32, 6, 2, 2, 33off 6551 . . . . . 6
3534ad2antrr 730 . . . . 5
36 ffn 5737 . . . . 5
3735, 36syl 17 . . . 4
38 fniniseg 6009 . . . 4
3937, 38syl 17 . . 3
4019, 7syl 17 . . . 4
41 fniniseg 6009 . . . 4
4240, 41syl 17 . . 3
4326, 39, 423bitr4d 288 . 2
4443eqrdv 2417 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  cvv 3078  csn 3993   cxp 4843  ccnv 4844   cdm 4845  cima 4848   wfn 5587  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296   cof 6534  cr 9527  cc0 9528   cmul 9533   cdiv 10258  citg1 22480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-sum 13720  df-itg1 22485 This theorem is referenced by:  i1fmulc  22568  itg1mulc  22569
 Copyright terms: Public domain W3C validator