Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Unicode version

Theorem i1fmul 21971
 Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
i1fmul

Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9589 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 i1fadd.1 . . . 4
4 i1ff 21951 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3
6 i1fadd.2 . . . 4
7 i1ff 21951 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 reex 9595 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 inidm 3712 . . 3
122, 5, 8, 10, 10, 11off 6549 . 2
13 i1frn 21952 . . . . . 6
143, 13syl 16 . . . . 5
15 i1frn 21952 . . . . . 6
166, 15syl 16 . . . . 5
17 xpfi 7803 . . . . 5
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
19 eqid 2467 . . . . . 6
20 ovex 6320 . . . . . 6
2119, 20fnmpt2i 6864 . . . . 5
22 dffn4 5807 . . . . 5
2321, 22mpbi 208 . . . 4
24 fofi 7818 . . . 4
2518, 23, 24sylancl 662 . . 3
26 eqid 2467 . . . . . . . . 9
27 rspceov 6332 . . . . . . . . 9
2826, 27mp3an3 1313 . . . . . . . 8
29 ovex 6320 . . . . . . . . 9
30 eqeq1 2471 . . . . . . . . . 10
31302rexbidv 2985 . . . . . . . . 9
3229, 31elab 3255 . . . . . . . 8
3328, 32sylibr 212 . . . . . . 7
3433adantl 466 . . . . . 6
35 ffn 5737 . . . . . . . 8
365, 35syl 16 . . . . . . 7
37 dffn3 5744 . . . . . . 7
3836, 37sylib 196 . . . . . 6
39 ffn 5737 . . . . . . . 8
408, 39syl 16 . . . . . . 7
41 dffn3 5744 . . . . . . 7
4240, 41sylib 196 . . . . . 6
4334, 38, 42, 10, 10, 11off 6549 . . . . 5
44 frn 5743 . . . . 5
4543, 44syl 16 . . . 4
4619rnmpt2 6407 . . . 4
4745, 46syl6sseqr 3556 . . 3
48 ssfi 7752 . . 3
4925, 47, 48syl2anc 661 . 2
50 frn 5743 . . . . . . . 8
5112, 50syl 16 . . . . . . 7
52 ax-resscn 9561 . . . . . . 7
5351, 52syl6ss 3521 . . . . . 6
5453ssdifd 3645 . . . . 5
5554sselda 3509 . . . 4
563, 6i1fmullem 21969 . . . 4
5755, 56syldan 470 . . 3
58 difss 3636 . . . . . 6
59 ssfi 7752 . . . . . 6
6016, 58, 59sylancl 662 . . . . 5
61 i1fima 21953 . . . . . . . 8
623, 61syl 16 . . . . . . 7
63 i1fima 21953 . . . . . . . 8
646, 63syl 16 . . . . . . 7
65 inmbl 21820 . . . . . . 7
6662, 64, 65syl2anc 661 . . . . . 6
6766ralrimivw 2882 . . . . 5
68 finiunmbl 21822 . . . . 5
6960, 67, 68syl2anc 661 . . . 4
7069adantr 465 . . 3
7157, 70eqeltrd 2555 . 2
72 mblvol 21809 . . . 4
7371, 72syl 16 . . 3
74 mblss 21810 . . . . 5
7571, 74syl 16 . . . 4
7660adantr 465 . . . . 5
77 inss2 3724 . . . . . . 7
7877a1i 11 . . . . . 6
7964ad2antrr 725 . . . . . . 7
80 mblss 21810 . . . . . . 7
8179, 80syl 16 . . . . . 6
82 mblvol 21809 . . . . . . . 8
8379, 82syl 16 . . . . . . 7
846adantr 465 . . . . . . . 8
85 i1fima2sn 21955 . . . . . . . 8
8684, 85sylan 471 . . . . . . 7
8783, 86eqeltrrd 2556 . . . . . 6
88 ovolsscl 21765 . . . . . 6
8978, 81, 87, 88syl3anc 1228 . . . . 5
9076, 89fsumrecl 13536 . . . 4
9157fveq2d 5876 . . . . 5
92 mblss 21810 . . . . . . . . . 10
9366, 92syl 16 . . . . . . . . 9
9493ad2antrr 725 . . . . . . . 8
9594, 89jca 532 . . . . . . 7
9695ralrimiva 2881 . . . . . 6
97 ovolfiniun 21780 . . . . . 6
9876, 96, 97syl2anc 661 . . . . 5
9991, 98eqbrtrd 4473 . . . 4
100 ovollecl 21762 . . . 4
10175, 90, 99, 100syl3anc 1228 . . 3
10273, 101eqeltrd 2555 . 2
10312, 49, 71, 102i1fd 21956 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   cdif 3478   cin 3480   wss 3481  csn 4033  ciun 4331   class class class wbr 4453   cxp 5003  ccnv 5004   cdm 5005   crn 5006  cima 5008   wfn 5589  wf 5590  wfo 5592  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cof 6533  cfn 7528  cc 9502  cr 9503  cc0 9504   cmul 9509   cle 9641   cdiv 10218  csu 13488  covol 21742  cvol 21743  citg1 21892 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-xmet 18282  df-met 18283  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897 This theorem is referenced by:  mbfmullem2  21999  ftc1anclem3  30019
 Copyright terms: Public domain W3C validator