MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima2sn Structured version   Unicode version

Theorem i1fima2sn 21157
Description: Preimage of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima2sn  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  A  e.  ( B 
\  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { A } ) )  e.  RR )

Proof of Theorem i1fima2sn
StepHypRef Expression
1 eldifn 3478 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  \  { 0 } )  ->  -.  A  e.  { 0 } )
2 elsni 3901 . . . 4  |-  ( 0  e.  { A }  ->  0  =  A )
3 snidg 3902 . . . 4  |-  ( 0  e.  { A }  ->  0  e.  { 0 } )
42, 3eqeltrrd 2517 . . 3  |-  ( 0  e.  { A }  ->  A  e.  { 0 } )
51, 4nsyl 121 . 2  |-  ( A  e.  ( B  \  { 0 } )  ->  -.  0  e.  { A } )
6 i1fima2 21156 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  { A } )  ->  ( vol `  ( `' F " { A } ) )  e.  RR )
75, 6sylan2 474 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  A  e.  ( B 
\  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { A } ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    \ cdif 3324   {csn 3876   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   ` cfv 5417   RRcr 9280   0cc0 9281   volcvol 20946   S.1citg1 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xadd 11089  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-xmet 17809  df-met 17810  df-ovol 20947  df-vol 20948  df-mbf 21098  df-itg1 21099
This theorem is referenced by:  itg1val2  21161  itg1cl  21162  itg1ge0  21163  i1fadd  21172  i1fmul  21173  itg1addlem2  21174  i1fmulc  21180  itg1mulc  21181  i1fres  21182  itg1ge0a  21188  itg1climres  21191
  Copyright terms: Public domain W3C validator