MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima Structured version   Unicode version

Theorem i1fima 21820
Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem i1fima
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 21818 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
2 ffun 5731 . . 3  |-  ( F : RR --> RR  ->  Fun 
F )
3 inpreima 6006 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( A  i^i  ran 
F ) )  =  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F
) ) )
4 iunid 4380 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y }  =  ( A  i^i  ran 
F )
54imaeq2i 5333 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y } )  =  ( `' F " ( A  i^i  ran  F )
)
6 imaiun 6143 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y } )  =  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )
75, 6eqtr3i 2498 . . . 4  |-  ( `' F " ( A  i^i  ran  F )
)  =  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )
8 cnvimass 5355 . . . . . 6  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
9 cnvimarndm 5356 . . . . . 6  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
108, 9sseqtr4i 3537 . . . . 5  |-  ( `' F " A ) 
C_  ( `' F " ran  F )
11 df-ss 3490 . . . . 5  |-  ( ( `' F " A ) 
C_  ( `' F " ran  F )  <->  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F ) )  =  ( `' F " A ) )
1210, 11mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F ) )  =  ( `' F " A )
133, 7, 123eqtr3g 2531 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )  =  ( `' F " A ) )
141, 2, 133syl 20 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  =  ( `' F " A ) )
15 i1frn 21819 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
16 inss2 3719 . . . 4  |-  ( A  i^i  ran  F )  C_ 
ran  F
17 ssfi 7737 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ran  F )  C_  ran  F )  ->  ( A  i^i  ran 
F )  e.  Fin )
1815, 16, 17sylancl 662 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( A  i^i  ran  F
)  e.  Fin )
19 i1fmbf 21817 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e. MblFn )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  F  e. MblFn )
211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  F : RR
--> RR )
22 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
231, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  C_  RR )
2416, 23syl5ss 3515 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( A  i^i  ran  F
)  C_  RR )
2524sselda 3504 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  y  e.  RR )
26 mbfimasn 21776 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
2720, 21, 25, 26syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
2827ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
29 finiunmbl 21689 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  ran  F )  e.  Fin  /\  A. y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F
) ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
3018, 28, 29syl2anc 661 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
3114, 30eqeltrrd 2556 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   U_ciun 4325   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580   -->wf 5582   Fincfn 7513   RRcr 9487   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   S.1citg1 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764
This theorem is referenced by:  i1fima2  21821  itg1ge0  21828  i1fadd  21837  i1fmul  21838  itg1addlem2  21839  itg1addlem4  21841  itg1addlem5  21842  i1fmulc  21845  i1fres  21847  i1fpos  21848  itg1ge0a  21853  itg1climres  21856  itg2addnclem  29643  itg2addnclem2  29644  ftc1anclem3  29669  ftc1anclem6  29672
  Copyright terms: Public domain W3C validator