MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima Structured version   Unicode version

Theorem i1fima 22170
Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem i1fima
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 22168 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
2 ffun 5641 . . 3  |-  ( F : RR --> RR  ->  Fun 
F )
3 inpreima 5916 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( A  i^i  ran 
F ) )  =  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F
) ) )
4 iunid 4298 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y }  =  ( A  i^i  ran 
F )
54imaeq2i 5247 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y } )  =  ( `' F " ( A  i^i  ran  F )
)
6 imaiun 6058 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) { y } )  =  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )
75, 6eqtr3i 2413 . . . 4  |-  ( `' F " ( A  i^i  ran  F )
)  =  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )
8 cnvimass 5269 . . . . . 6  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
9 cnvimarndm 5270 . . . . . 6  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
108, 9sseqtr4i 3450 . . . . 5  |-  ( `' F " A ) 
C_  ( `' F " ran  F )
11 df-ss 3403 . . . . 5  |-  ( ( `' F " A ) 
C_  ( `' F " ran  F )  <->  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F ) )  =  ( `' F " A ) )
1210, 11mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( `' F " A )  i^i  ( `' F " ran  F ) )  =  ( `' F " A )
133, 7, 123eqtr3g 2446 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F ) ( `' F " { y } )  =  ( `' F " A ) )
141, 2, 133syl 20 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  =  ( `' F " A ) )
15 i1frn 22169 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
16 inss2 3633 . . . 4  |-  ( A  i^i  ran  F )  C_ 
ran  F
17 ssfi 7656 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ran  F )  C_  ran  F )  ->  ( A  i^i  ran 
F )  e.  Fin )
1815, 16, 17sylancl 660 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( A  i^i  ran  F
)  e.  Fin )
19 i1fmbf 22167 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e. MblFn )
2019adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  F  e. MblFn )
211adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  F : RR
--> RR )
22 frn 5645 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
231, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  C_  RR )
2416, 23syl5ss 3428 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( A  i^i  ran  F
)  C_  RR )
2524sselda 3417 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  y  e.  RR )
26 mbfimasn 22126 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
2720, 21, 25, 26syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  ( A  i^i  ran  F )
)  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
2827ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
29 finiunmbl 22039 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  ran  F )  e.  Fin  /\  A. y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F
) ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
3018, 28, 29syl2anc 659 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  U_ y  e.  ( A  i^i  ran  F )
( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
3114, 30eqeltrrd 2471 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    i^i cin 3388    C_ wss 3389   {csn 3944   U_ciun 4243   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916   Fun wfun 5490   -->wf 5492   Fincfn 7435   RRcr 9402   volcvol 21960  MblFncmbf 22108   S.1citg1 22109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-xmet 18525  df-met 18526  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114
This theorem is referenced by:  i1fima2  22171  itg1ge0  22178  i1fadd  22187  i1fmul  22188  itg1addlem2  22189  itg1addlem4  22191  itg1addlem5  22192  i1fmulc  22195  i1fres  22197  i1fpos  22198  itg1ge0a  22203  itg1climres  22206  itg2addnclem  30232  itg2addnclem2  30233  ftc1anclem3  30258  ftc1anclem6  30261
  Copyright terms: Public domain W3C validator