MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fibl Structured version   Unicode version

Theorem i1fibl 21421
Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fibl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L^1 )

Proof of Theorem i1fibl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 21290 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
21feqmptd 5856 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
3 i1fmbf 21289 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e. MblFn )
42, 3eqeltrrd 2543 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn )
5 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
65biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ) )
76ifbid 3922 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
87mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
98fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1110i1fpos 21320 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
12 0re 9500 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
131ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
14 max1 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1615ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
17 reex 9487 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
1912a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
20 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
21 c0ex 9494 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
2220, 21ifex 3969 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
24 fconstmpt 4993 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
26 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2718, 19, 23, 25, 26ofrfval2 6450 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2816, 27mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
29 ax-resscn 9453 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  C_  CC )
3122, 10fnmpti 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3330, 320pledm 21287 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3428, 33mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
35 itg2itg1 21350 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3611, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
379, 36eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
38 itg1cl 21299 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3911, 38syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
415biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  -u ( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ) )
4241ifbid 3922 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
-u ( F `  x ) ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
4342mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
45 neg1rr 10540 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
47 fconstmpt 4993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u
1 )
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { -u
1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u 1 ) )
4918, 46, 13, 48, 2offval2 6449 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) ) ) )
5013recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5150mulm1d 9910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) )  =  -u ( F `  x ) )
5251mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  (
-u 1  x.  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5349, 52eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
54 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
5545a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  -u
1  e.  RR )
5654, 55i1fmulc 21317 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  e.  dom  S.1 )
5753, 56eqeltrrd 2543 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
5857i1fposd 21321 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
5913renegcld 9889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( F `  x )  e.  RR )
60 max1 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6112, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6261ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
63 negex 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6463, 21ifex 3969 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
66 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6718, 19, 65, 25, 66ofrfval2 6450 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6862, 67mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
69 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
7064, 69fnmpti 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
7170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
7230, 710pledm 21287 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7368, 72mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
74 itg2itg1 21350 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7558, 73, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7644, 75eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
77 itg1cl 21299 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7858, 77syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7976, 78eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8013iblrelem 21404 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1  <-> 
( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
814, 40, 79, 80mpbir3and 1171 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
822, 81eqeltrd 2542 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   ifcif 3902   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431    oRcofr 6432   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    <_ cle 9533   -ucneg 9710  MblFncmbf 21230   S.1citg1 21231   S.2citg2 21232   L^1cibl 21233   0pc0p 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cmp 19125  df-ovol 21083  df-vol 21084  df-mbf 21235  df-itg1 21236  df-itg2 21237  df-ibl 21238  df-0p 21284
This theorem is referenced by:  itgitg1  21422  ftc1anclem4  28638
  Copyright terms: Public domain W3C validator