MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fibl Structured version   Unicode version

Theorem i1fibl 22506
Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fibl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L^1 )

Proof of Theorem i1fibl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 22375 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
21feqmptd 5902 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
3 i1fmbf 22374 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e. MblFn )
42, 3eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn )
5 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
65biantrurd 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ) )
76ifbid 3907 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
87mpteq2dva 4481 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
98fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1110i1fpos 22405 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
12 0re 9626 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
131ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
14 max1 11439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1615ralrimiva 2818 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
17 reex 9613 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
1912a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
20 fvex 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
21 c0ex 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
2220, 21ifex 3953 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
24 fconstmpt 4867 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
26 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2718, 19, 23, 25, 26ofrfval2 6539 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2816, 27mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
29 ax-resscn 9579 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  C_  CC )
3122, 10fnmpti 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3330, 320pledm 22372 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3428, 33mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
35 itg2itg1 22435 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3611, 34, 35syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
379, 36eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
38 itg1cl 22384 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3911, 38syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
415biantrurd 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  -u ( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ) )
4241ifbid 3907 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
-u ( F `  x ) ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
4342mpteq2dva 4481 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
45 neg1rr 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
47 fconstmpt 4867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u
1 )
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { -u
1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u 1 ) )
4918, 46, 13, 48, 2offval2 6538 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) ) ) )
5013recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5150mulm1d 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) )  =  -u ( F `  x ) )
5251mpteq2dva 4481 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  (
-u 1  x.  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5349, 52eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
54 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
5545a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  -u
1  e.  RR )
5654, 55i1fmulc 22402 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  F )  e.  dom  S.1 )
5753, 56eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
5857i1fposd 22406 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
5913renegcld 10027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( F `  x )  e.  RR )
60 max1 11439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6112, 59, 60sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6261ralrimiva 2818 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
63 negex 9854 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6463, 21ifex 3953 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
66 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6718, 19, 65, 25, 66ofrfval2 6539 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6862, 67mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
69 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
7064, 69fnmpti 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
7170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
7230, 710pledm 22372 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7368, 72mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
74 itg2itg1 22435 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7558, 73, 74syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7644, 75eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
77 itg1cl 22384 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7858, 77syl 17 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7976, 78eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8013iblrelem 22489 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1  <-> 
( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
814, 40, 79, 80mpbir3and 1180 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
822, 81eqeltrd 2490 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823    Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    oRcofr 6520   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527    <_ cle 9659   -ucneg 9842  MblFncmbf 22315   S.1citg1 22316   S.2citg2 22317   L^1cibl 22318   0pc0p 22368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-0p 22369
This theorem is referenced by:  itgitg1  22507  ftc1anclem4  31466
  Copyright terms: Public domain W3C validator