MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Unicode version

Theorem i1ff 22252
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 22250 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 462 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 1006 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    e. wcel 1823    \ cdif 3458   {csn 4016   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570   Fincfn 7509   RRcr 9480   0cc0 9481   volcvol 22044  MblFncmbf 22192   S.1citg1 22193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-sum 13594  df-itg1 22198
This theorem is referenced by:  i1fima  22254  i1fima2  22255  i1f0rn  22258  itg1val2  22260  itg1cl  22261  itg1ge0  22262  i1faddlem  22269  i1fmullem  22270  i1fadd  22271  i1fmul  22272  itg1addlem4  22275  itg1addlem5  22276  i1fmulclem  22278  i1fmulc  22279  itg1mulc  22280  i1fres  22281  i1fpos  22282  i1fposd  22283  i1fsub  22284  itg1sub  22285  itg10a  22286  itg1ge0a  22287  itg1lea  22288  itg1le  22289  itg1climres  22290  mbfi1fseqlem5  22295  mbfi1fseqlem6  22296  mbfi1flimlem  22298  mbfmullem2  22300  itg2itg1  22312  itg20  22313  itg2le  22315  itg2seq  22318  itg2uba  22319  itg2lea  22320  itg2mulclem  22322  itg2splitlem  22324  itg2split  22325  itg2monolem1  22326  itg2i1fseqle  22330  itg2i1fseq  22331  itg2addlem  22334  i1fibl  22383  itgitg1  22384  itg2addnclem  30309  itg2addnclem2  30310  itg2addnclem3  30311  itg2addnc  30312  ftc1anclem3  30335  ftc1anclem4  30336  ftc1anclem5  30337  ftc1anclem6  30338  ftc1anclem7  30339  ftc1anclem8  30340  ftc1anc  30341
  Copyright terms: Public domain W3C validator