MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Unicode version

Theorem i1ff 21818
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 21816 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 464 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 1008 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767    \ cdif 3473   {csn 4027   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   S.1citg1 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-sum 13468  df-itg1 21764
This theorem is referenced by:  i1fima  21820  i1fima2  21821  i1f0rn  21824  itg1val2  21826  itg1cl  21827  itg1ge0  21828  i1faddlem  21835  i1fmullem  21836  i1fadd  21837  i1fmul  21838  itg1addlem4  21841  itg1addlem5  21842  i1fmulclem  21844  i1fmulc  21845  itg1mulc  21846  i1fres  21847  i1fpos  21848  i1fposd  21849  i1fsub  21850  itg1sub  21851  itg10a  21852  itg1ge0a  21853  itg1lea  21854  itg1le  21855  itg1climres  21856  mbfi1fseqlem5  21861  mbfi1fseqlem6  21862  mbfi1flimlem  21864  mbfmullem2  21866  itg2itg1  21878  itg20  21879  itg2le  21881  itg2seq  21884  itg2uba  21885  itg2lea  21886  itg2mulclem  21888  itg2splitlem  21890  itg2split  21891  itg2monolem1  21892  itg2i1fseqle  21896  itg2i1fseq  21897  itg2addlem  21900  i1fibl  21949  itgitg1  21950  itg2addnclem  29643  itg2addnclem2  29644  itg2addnclem3  29645  itg2addnc  29646  ftc1anclem3  29669  ftc1anclem4  29670  ftc1anclem5  29671  ftc1anclem6  29672  ftc1anclem7  29673  ftc1anclem8  29674  ftc1anc  29675
  Copyright terms: Public domain W3C validator