MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Unicode version

Theorem i1ff 21256
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 21254 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 464 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 1000 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1757    \ cdif 3409   {csn 3961   `'ccnv 4923   dom cdm 4924   ran crn 4925   "cima 4927   -->wf 5498   ` cfv 5502   Fincfn 7396   RRcr 9368   0cc0 9369   volcvol 21049  MblFncmbf 21196   S.1citg1 21197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-fv 5510  df-sum 13252  df-itg1 21202
This theorem is referenced by:  i1fima  21258  i1fima2  21259  i1f0rn  21262  itg1val2  21264  itg1cl  21265  itg1ge0  21266  i1faddlem  21273  i1fmullem  21274  i1fadd  21275  i1fmul  21276  itg1addlem4  21279  itg1addlem5  21280  i1fmulclem  21282  i1fmulc  21283  itg1mulc  21284  i1fres  21285  i1fpos  21286  i1fposd  21287  i1fsub  21288  itg1sub  21289  itg10a  21290  itg1ge0a  21291  itg1lea  21292  itg1le  21293  itg1climres  21294  mbfi1fseqlem5  21299  mbfi1fseqlem6  21300  mbfi1flimlem  21302  mbfmullem2  21304  itg2itg1  21316  itg20  21317  itg2le  21319  itg2seq  21322  itg2uba  21323  itg2lea  21324  itg2mulclem  21326  itg2splitlem  21328  itg2split  21329  itg2monolem1  21330  itg2i1fseqle  21334  itg2i1fseq  21335  itg2addlem  21338  i1fibl  21387  itgitg1  21388  itg2addnclem  28567  itg2addnclem2  28568  itg2addnclem3  28569  itg2addnc  28570  ftc1anclem3  28593  ftc1anclem4  28594  ftc1anclem5  28595  ftc1anclem6  28596  ftc1anclem7  28597  ftc1anclem8  28598  ftc1anc  28599
  Copyright terms: Public domain W3C validator