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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > i1fadd | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The sum of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
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i1fadd.1 |
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i1fadd.2 |
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Ref | Expression |
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i1fadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | readdcl 9619 |
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2 | 1 | adantl 468 |
. . 3
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3 | i1fadd.1 |
. . . 4
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4 | i1ff 22627 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | syl 17 |
. . 3
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6 | i1fadd.2 |
. . . 4
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7 | i1ff 22627 |
. . . 4
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8 | 6, 7 | syl 17 |
. . 3
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9 | reex 9627 |
. . . 4
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10 | 9 | a1i 11 |
. . 3
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11 | inidm 3640 |
. . 3
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12 | 2, 5, 8, 10, 10, 11 | off 6543 |
. 2
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13 | i1frn 22628 |
. . . . . 6
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14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . 5
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15 | i1frn 22628 |
. . . . . 6
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16 | 6, 15 | syl 17 |
. . . . 5
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17 | xpfi 7839 |
. . . . 5
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18 | 14, 16, 17 | syl2anc 666 |
. . . 4
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19 | eqid 2450 |
. . . . . 6
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20 | ovex 6316 |
. . . . . 6
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21 | 19, 20 | fnmpt2i 6859 |
. . . . 5
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22 | dffn4 5797 |
. . . . 5
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23 | 21, 22 | mpbi 212 |
. . . 4
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24 | fofi 7857 |
. . . 4
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25 | 18, 23, 24 | sylancl 667 |
. . 3
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26 | eqid 2450 |
. . . . . . . . 9
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27 | rspceov 6327 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | mp3an3 1352 |
. . . . . . . 8
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29 | ovex 6316 |
. . . . . . . . 9
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30 | eqeq1 2454 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | 2rexbidv 2907 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 31 | elab 3184 |
. . . . . . . 8
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33 | 28, 32 | sylibr 216 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 468 |
. . . . . 6
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35 | ffn 5726 |
. . . . . . . 8
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36 | 5, 35 | syl 17 |
. . . . . . 7
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37 | dffn3 5734 |
. . . . . . 7
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38 | 36, 37 | sylib 200 |
. . . . . 6
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39 | ffn 5726 |
. . . . . . . 8
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40 | 8, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
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41 | dffn3 5734 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41 | sylib 200 |
. . . . . 6
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43 | 34, 38, 42, 10, 10, 11 | off 6543 |
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44 | frn 5733 |
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45 | 43, 44 | syl 17 |
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46 | 19 | rnmpt2 6403 |
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47 | 45, 46 | syl6sseqr 3478 |
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48 | ssfi 7789 |
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49 | 25, 47, 48 | syl2anc 666 |
. 2
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50 | frn 5733 |
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51 | 12, 50 | syl 17 |
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52 | 51 | ssdifssd 3570 |
. . . . . 6
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53 | 52 | sselda 3431 |
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54 | 53 | recnd 9666 |
. . . 4
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55 | 3, 6 | i1faddlem 22644 |
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56 | 54, 55 | syldan 473 |
. . 3
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57 | 16 | adantr 467 |
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58 | 3 | ad2antrr 731 |
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59 | i1fmbf 22626 |
. . . . . . . 8
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60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . 7
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61 | 5 | ad2antrr 731 |
. . . . . . 7
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62 | 12 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 62, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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64 | eldifi 3554 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 64 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . 9
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66 | 63, 65 | sseldd 3432 |
. . . . . . . 8
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67 | 8 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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68 | frn 5733 |
. . . . . . . . . 10
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69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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70 | 69 | sselda 3431 |
. . . . . . . 8
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98 | 97 | oveq2d 6304 |
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99 | 54 | adantr 467 |
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100 | 99 | subid1d 9972 |
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101 | 98, 100 | eqtrd 2484 |
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102 | 101 | sneqd 3979 |
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103 | 102 | imaeq2d 5167 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 103 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . 10
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105 | i1fima2sn 22631 |
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106 | 3, 105 | sylan 474 |
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107 | 106 | adantr 467 |
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108 | 104, 107 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . . 9
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109 | 96, 108 | eqeltrrd 2529 |
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110 | ovolsscl 22432 |
. . . . . . . 8
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112 | 111 | expr 619 |
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113 | eldifsn 4096 |
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114 | inss2 3652 |
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128 | 124, 127 | eqeltrrd 2529 |
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129 | ovolsscl 22432 |
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130 | 115, 119, 128, 129 | syl3anc 1267 |
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131 | 113, 130 | sylan2br 479 |
. . . . . . 7
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132 | 131 | expr 619 |
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133 | 112, 132 | pm2.61dne 2709 |
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134 | 57, 133 | fsumrecl 13793 |
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135 | 56 | fveq2d 5867 |
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136 | 114, 118 | syl5ss 3442 |
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137 | 136, 133 | jca 535 |
. . . . . . 7
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138 | 137 | ralrimiva 2801 |
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139 | ovolfiniun 22447 |
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141 | 135, 140 | eqbrtrd 4422 |
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142 | ovollecl 22429 |
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143 | 89, 134, 141, 142 | syl3anc 1267 |
. . 3
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144 | 87, 143 | eqeltrd 2528 |
. 2
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145 | 12, 49, 85, 144 | i1fd 22632 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-inf2 8143 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 ax-pre-sup 9614 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-fal 1449 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-se 4793 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-isom 5590 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-of 6528 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-2o 7180 df-oadd 7183 df-er 7360 df-map 7471 df-pm 7472 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-fin 7570 df-sup 7953 df-inf 7954 df-oi 8022 df-card 8370 df-cda 8595 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-div 10267 df-nn 10607 df-2 10665 df-3 10666 df-n0 10867 df-z 10935 df-uz 11157 df-q 11262 df-rp 11300 df-xadd 11407 df-ioo 11636 df-ico 11638 df-icc 11639 df-fz 11782 df-fzo 11913 df-fl 12025 df-seq 12211 df-exp 12270 df-hash 12513 df-cj 13155 df-re 13156 df-im 13157 df-sqrt 13291 df-abs 13292 df-clim 13545 df-sum 13746 df-xmet 18956 df-met 18957 df-ovol 22409 df-vol 22411 df-mbf 22570 df-itg1 22571 |
This theorem is referenced by: itg1addlem4 22650 i1fsub 22659 itg2splitlem 22699 itg2split 22700 itg2addlem 22709 itg2addnc 31989 ftc1anclem3 32012 ftc1anclem5 32014 ftc1anclem8 32017 |
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