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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > i1fadd | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The sum of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
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i1fadd.1 |
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i1fadd.2 |
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Ref | Expression |
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i1fadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | readdcl 9640 |
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2 | 1 | adantl 473 |
. . 3
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3 | i1fadd.1 |
. . . 4
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4 | i1ff 22713 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | syl 17 |
. . 3
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6 | i1fadd.2 |
. . . 4
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7 | i1ff 22713 |
. . . 4
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8 | 6, 7 | syl 17 |
. . 3
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9 | reex 9648 |
. . . 4
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10 | 9 | a1i 11 |
. . 3
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11 | inidm 3632 |
. . 3
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12 | 2, 5, 8, 10, 10, 11 | off 6565 |
. 2
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13 | i1frn 22714 |
. . . . . 6
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14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . 5
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15 | i1frn 22714 |
. . . . . 6
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16 | 6, 15 | syl 17 |
. . . . 5
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17 | xpfi 7860 |
. . . . 5
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18 | 14, 16, 17 | syl2anc 673 |
. . . 4
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19 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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20 | ovex 6336 |
. . . . . 6
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21 | 19, 20 | fnmpt2i 6881 |
. . . . 5
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22 | dffn4 5812 |
. . . . 5
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23 | 21, 22 | mpbi 213 |
. . . 4
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24 | fofi 7878 |
. . . 4
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25 | 18, 23, 24 | sylancl 675 |
. . 3
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26 | eqid 2471 |
. . . . . . . . 9
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27 | rspceov 6347 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | mp3an3 1379 |
. . . . . . . 8
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29 | ovex 6336 |
. . . . . . . . 9
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30 | eqeq1 2475 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | 2rexbidv 2897 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 31 | elab 3173 |
. . . . . . . 8
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33 | 28, 32 | sylibr 217 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantl 473 |
. . . . . 6
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35 | ffn 5739 |
. . . . . . . 8
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36 | 5, 35 | syl 17 |
. . . . . . 7
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37 | dffn3 5748 |
. . . . . . 7
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38 | 36, 37 | sylib 201 |
. . . . . 6
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39 | ffn 5739 |
. . . . . . . 8
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40 | 8, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
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41 | dffn3 5748 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41 | sylib 201 |
. . . . . 6
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43 | 34, 38, 42, 10, 10, 11 | off 6565 |
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44 | frn 5747 |
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45 | 43, 44 | syl 17 |
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46 | 19 | rnmpt2 6425 |
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47 | 45, 46 | syl6sseqr 3465 |
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48 | ssfi 7810 |
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49 | 25, 47, 48 | syl2anc 673 |
. 2
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50 | frn 5747 |
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51 | 12, 50 | syl 17 |
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52 | 51 | ssdifssd 3560 |
. . . . . 6
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53 | 52 | sselda 3418 |
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54 | 53 | recnd 9687 |
. . . 4
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55 | 3, 6 | i1faddlem 22730 |
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56 | 54, 55 | syldan 478 |
. . 3
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57 | 16 | adantr 472 |
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58 | 3 | ad2antrr 740 |
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59 | i1fmbf 22712 |
. . . . . . . 8
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60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . 7
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61 | 5 | ad2antrr 740 |
. . . . . . 7
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62 | 12 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 62, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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64 | eldifi 3544 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 64 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . 9
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66 | 63, 65 | sseldd 3419 |
. . . . . . . 8
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67 | 8 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
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68 | frn 5747 |
. . . . . . . . . 10
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69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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70 | 69 | sselda 3418 |
. . . . . . . 8
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95 | mblvol 22562 |
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96 | 92, 95 | syl 17 |
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97 | simprr 774 |
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98 | 97 | oveq2d 6324 |
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99 | 54 | adantr 472 |
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100 | 99 | subid1d 9994 |
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101 | 98, 100 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . 13
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102 | 101 | sneqd 3971 |
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103 | 102 | imaeq2d 5174 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 103 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . 10
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105 | i1fima2sn 22717 |
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106 | 3, 105 | sylan 479 |
. . . . . . . . . . 11
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107 | 106 | adantr 472 |
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108 | 104, 107 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . 9
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109 | 96, 108 | eqeltrrd 2550 |
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110 | ovolsscl 22517 |
. . . . . . . 8
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111 | 91, 94, 109, 110 | syl3anc 1292 |
. . . . . . 7
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112 | 111 | expr 626 |
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113 | eldifsn 4088 |
. . . . . . . 8
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114 | inss2 3644 |
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128 | 124, 127 | eqeltrrd 2550 |
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129 | ovolsscl 22517 |
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130 | 115, 119, 128, 129 | syl3anc 1292 |
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131 | 113, 130 | sylan2br 484 |
. . . . . . 7
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132 | 131 | expr 626 |
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133 | 112, 132 | pm2.61dne 2729 |
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134 | 57, 133 | fsumrecl 13877 |
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135 | 56 | fveq2d 5883 |
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136 | 114, 118 | syl5ss 3429 |
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137 | 136, 133 | jca 541 |
. . . . . . 7
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138 | 137 | ralrimiva 2809 |
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139 | ovolfiniun 22532 |
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141 | 135, 140 | eqbrtrd 4416 |
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142 | ovollecl 22514 |
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. . 3
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144 | 87, 143 | eqeltrd 2549 |
. 2
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145 | 12, 49, 85, 144 | i1fd 22718 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-fal 1458 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-pm 7493 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xadd 11433 df-ioo 11664 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-fl 12061 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-clim 13629 df-sum 13830 df-xmet 19040 df-met 19041 df-ovol 22494 df-vol 22496 df-mbf 22656 df-itg1 22657 |
This theorem is referenced by: itg1addlem4 22736 i1fsub 22745 itg2splitlem 22785 itg2split 22786 itg2addlem 22795 itg2addnc 32060 ftc1anclem3 32083 ftc1anclem5 32085 ftc1anclem8 32088 |
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