Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fadd Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: The sum of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9640 . . . 4
3 i1fadd.1 . . . 4
4 i1ff 22713 . . . 4
53, 4syl 17 . . 3
6 i1fadd.2 . . . 4
7 i1ff 22713 . . . 4
86, 7syl 17 . . 3
9 reex 9648 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 inidm 3632 . . 3
122, 5, 8, 10, 10, 11off 6565 . 2
13 i1frn 22714 . . . . . 6
143, 13syl 17 . . . . 5
15 i1frn 22714 . . . . . 6
166, 15syl 17 . . . . 5
17 xpfi 7860 . . . . 5
1814, 16, 17syl2anc 673 . . . 4
19 eqid 2471 . . . . . 6
20 ovex 6336 . . . . . 6
2119, 20fnmpt2i 6881 . . . . 5
22 dffn4 5812 . . . . 5
2321, 22mpbi 213 . . . 4
24 fofi 7878 . . . 4
2518, 23, 24sylancl 675 . . 3
26 eqid 2471 . . . . . . . . 9
27 rspceov 6347 . . . . . . . . 9
2826, 27mp3an3 1379 . . . . . . . 8
29 ovex 6336 . . . . . . . . 9
30 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
31302rexbidv 2897 . . . . . . . . 9
3229, 31elab 3173 . . . . . . . 8
3328, 32sylibr 217 . . . . . . 7
3433adantl 473 . . . . . 6
35 ffn 5739 . . . . . . . 8
365, 35syl 17 . . . . . . 7
37 dffn3 5748 . . . . . . 7
3836, 37sylib 201 . . . . . 6
39 ffn 5739 . . . . . . . 8
408, 39syl 17 . . . . . . 7
41 dffn3 5748 . . . . . . 7
4240, 41sylib 201 . . . . . 6
4334, 38, 42, 10, 10, 11off 6565 . . . . 5
44 frn 5747 . . . . 5
4543, 44syl 17 . . . 4
4619rnmpt2 6425 . . . 4
4745, 46syl6sseqr 3465 . . 3
48 ssfi 7810 . . 3
4925, 47, 48syl2anc 673 . 2
50 frn 5747 . . . . . . . 8
5112, 50syl 17 . . . . . . 7
5251ssdifssd 3560 . . . . . 6
5352sselda 3418 . . . . 5
5453recnd 9687 . . . 4
553, 6i1faddlem 22730 . . . 4
5654, 55syldan 478 . . 3
5716adantr 472 . . . 4
583ad2antrr 740 . . . . . . . 8
59 i1fmbf 22712 . . . . . . . 8 MblFn
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 MblFn
615ad2antrr 740 . . . . . . 7
6212ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
6362, 50syl 17 . . . . . . . . 9
64 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10
6564ad2antlr 741 . . . . . . . . 9
6663, 65sseldd 3419 . . . . . . . 8
678adantr 472 . . . . . . . . . 10
68 frn 5747 . . . . . . . . . 10
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9
7069sselda 3418 . . . . . . . 8
7166, 70resubcld 10068 . . . . . . 7
72 mbfimasn 22669 . . . . . . 7 MblFn
7360, 61, 71, 72syl3anc 1292 . . . . . 6
746ad2antrr 740 . . . . . . . 8
75 i1fmbf 22712 . . . . . . . 8 MblFn
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 MblFn
778ad2antrr 740 . . . . . . 7
78 mbfimasn 22669 . . . . . . 7 MblFn
7976, 77, 70, 78syl3anc 1292 . . . . . 6
80 inmbl 22574 . . . . . 6
8173, 79, 80syl2anc 673 . . . . 5
8281ralrimiva 2809 . . . 4
83 finiunmbl 22576 . . . 4
8457, 82, 83syl2anc 673 . . 3
8556, 84eqeltrd 2549 . 2
86 mblvol 22562 . . . 4
8785, 86syl 17 . . 3
88 mblss 22563 . . . . 5
8985, 88syl 17 . . . 4
90 inss1 3643 . . . . . . . . 9
9190a1i 11 . . . . . . . 8
9273adantrr 731 . . . . . . . . 9
93 mblss 22563 . . . . . . . . 9
9492, 93syl 17 . . . . . . . 8
95 mblvol 22562 . . . . . . . . . 10
9692, 95syl 17 . . . . . . . . 9
97 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
9954adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099subid1d 9994 . . . . . . . . . . . . . 14
10198, 100eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
102101sneqd 3971 . . . . . . . . . . . 12
103102imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . 11
104103fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
105 i1fima2sn 22717 . . . . . . . . . . . 12
1063, 105sylan 479 . . . . . . . . . . 11
107106adantr 472 . . . . . . . . . 10
108104, 107eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
10996, 108eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8
110 ovolsscl 22517 . . . . . . . 8
11191, 94, 109, 110syl3anc 1292 . . . . . . 7
112111expr 626 . . . . . 6
113 eldifsn 4088 . . . . . . . 8
114 inss2 3644 . . . . . . . . . 10
115114a1i 11 . . . . . . . . 9
116 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10
117 mblss 22563 . . . . . . . . . . 11
11879, 117syl 17 . . . . . . . . . 10
119116, 118sylan2 482 . . . . . . . . 9
120 i1fima 22715 . . . . . . . . . . . . 13
1216, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12
122121ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
123 mblvol 22562 . . . . . . . . . . 11
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10
1256adantr 472 . . . . . . . . . . 11
126 i1fima2sn 22717 . . . . . . . . . . 11
127125, 126sylan 479 . . . . . . . . . 10
128124, 127eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
129 ovolsscl 22517 . . . . . . . . 9
130115, 119, 128, 129syl3anc 1292 . . . . . . . 8
131113, 130sylan2br 484 . . . . . . 7
132131expr 626 . . . . . 6
133112, 132pm2.61dne 2729 . . . . 5
13457, 133fsumrecl 13877 . . . 4
13556fveq2d 5883 . . . . 5
136114, 118syl5ss 3429 . . . . . . . 8
137136, 133jca 541 . . . . . . 7
138137ralrimiva 2809 . . . . . 6
139 ovolfiniun 22532 . . . . . 6
14057, 138, 139syl2anc 673 . . . . 5
141135, 140eqbrtrd 4416 . . . 4
142 ovollecl 22514 . . . 4
14389, 134, 141, 142syl3anc 1292 . . 3
14487, 143eqeltrd 2549 . 2
14512, 49, 85, 144i1fd 22718 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  csn 3959  ciun 4269   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cof 6548  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cle 9694   cmin 9880  csu 13829  covol 22491  cvol 22493  MblFncmbf 22651  citg1 22652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657 This theorem is referenced by:  itg1addlem4  22736  i1fsub  22745  itg2splitlem  22785  itg2split  22786  itg2addlem  22795  itg2addnc  32060  ftc1anclem3  32083  ftc1anclem5  32085  ftc1anclem8  32088
 Copyright terms: Public domain W3C validator