MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Structured version   Unicode version

Theorem i1f1lem 21964
Description: Lemma for i1f1 21965 and itg11 21966. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1lem  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9603 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
21prid2 4142 . . . . 5  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
3 c0ex 9602 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
43prid1 4141 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
52, 4keepel 4013 . . . 4  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
65rgenw 2828 . . 3  |-  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 }
7 i1f1.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
87fmpt 6053 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }  <->  F : RR
--> { 0 ,  1 } )
96, 8mpbi 208 . 2  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1110, 7fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
12 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  F  Fn  RR )
13 elpreima 6008 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
15 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
1615elsnc 4057 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  { 1 }  <-> 
( F `  y
)  =  1 )
17 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1817ifbid 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 ) )
191, 3ifex 4014 . . . . . . . . . 10  |-  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  _V
2018, 7, 19fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 ) )
2120eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 ) )
22 0ne1 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =/=  1
23 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
2423eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  0  =  1 ) )
2524necon3bbid 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( -.  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  =  1  <->  0  =/=  1 ) )
2622, 25mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  A  ->  -.  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
2726con4i 130 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
y  e.  A )
28 iftrue 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
2927, 28impbii 188 . . . . . . . 8  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  y  e.  A )
3021, 29syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  y  e.  A ) )
3116, 30syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  e.  { 1 }  <->  y  e.  A
) )
3231pm5.32i 637 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) )
3314, 32syl6bb 261 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
34 mblss 21810 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3534sseld 3508 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  -> 
y  e.  RR ) )
3635pm4.71rd 635 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
3733, 36bitr4d 256 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  y  e.  A ) )
3837eqrdv 2464 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
399, 38pm3.2i 455 1  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   ifcif 3945   {csn 4033   {cpr 4035    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   volcvol 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-ovol 21744  df-vol 21745
This theorem is referenced by:  i1f1  21965  itg11  21966
  Copyright terms: Public domain W3C validator