Theorem i1f1 22696

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
i1f1	|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )
2	1	i1f1lem 22695	. . . . 5 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )
3	2	simpli 464	. . . 4 |- F : RR --> { 0 , 1 }
4		0re 9668	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		1re 9667	. . . . 5 |- 1 e. RR
6		prssi 4140	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
7	4, 5, 6	mp2an 683	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ RR
8		fss 5759	. . . 4 |- ( ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ RR ) -> F : RR --> RR )
9	3, 7, 8	mp2an 683	. . 3 |- F : RR --> RR
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> RR )
11		prfi 7871	. . 3 |- { 0 , 1 } e. Fin
12		1ex 9663	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
13	12	prid2 4093	. . . . . . 7 |- 1 e. { 0 , 1 }
14		c0ex 9662	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	prid1 4092	. . . . . . 7 |- 0 e. { 0 , 1 }
16	13, 15	keepel 3959	. . . . . 6 |- if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
18	17, 1	fmptd 6068	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> { 0 , 1 } )
19		frn 5757	. . . 4 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } -> ran F C_ { 0 , 1 } )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F C_ { 0 , 1 } )
21		ssfi 7817	. . 3 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ran F C_ { 0 , 1 } ) -> ran F e. Fin )
22	11, 20, 21	sylancr 674	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F e. Fin )
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran F C_ { 0 , 1 }
24		df-pr 3982	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
25	24	equncomi 3591	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } = ( { 1 } u. { 0 } )
26	23, 25	sseqtri 3475	. . . . . . . . . 10 |- ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } )
27		ssdif 3579	. . . . . . . . . 10 |- ( ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } )
29		difun2 3858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( { 1 } \ { 0 } )
30		difss 3571	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1 } \ { 0 } ) C_ { 1 }
31	29, 30	eqsstri 3473	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) C_ { 1 }
32	28, 31	sstri 3452	. . . . . . . 8 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ { 1 }
33	32	sseli 3439	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y e. { 1 } )
34		elsni 4004	. . . . . . 7 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y = 1 )
36	35	sneqd 3991	. . . . 5 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> { y } = { 1 } )
37	36	imaeq2d 5186	. . . 4 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> ( `' F " { y } ) = ( `' F " { 1 } ) )
38	2	simpri 468	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A )
39	38	adantr 471	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( `' F " { 1 } ) = A )
40	37, 39	sylan9eqr 2517	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) = A )
41		simpll 765	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A e. dom vol )
42	40, 41	eqeltrd 2539	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) e. dom vol )
43	40	fveq2d 5891	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) = ( vol ` A ) )
44		simplr 767	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` A ) e. RR )
45	43, 44	eqeltrd 2539	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) e. RR )
46	10, 22, 42, 45	i1fd 22687	1 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   \ cdif 3412   u. cun 3413   C_ wss 3415   ifcif 3892   {csn 3979   {cpr 3981   |-> cmpt 4474   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   volcvol 22463   S.1citg1 22621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-xmet 19011  df-met 19012  df-ovol 22464  df-vol 22466  df-mbf 22625  df-itg1 22626

This theorem is referenced by:  itg11  22697  itg2const  22746  itg2addnclem  32037