Theorem i1f1 21829

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
i1f1	|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )
2	1	i1f1lem 21828	. . . . 5 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )
3	2	simpli 458	. . . 4 |- F : RR --> { 0 , 1 }
4		0re 9592	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		1re 9591	. . . . 5 |- 1 e. RR
6		prssi 4183	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ RR
8		fss 5737	. . . 4 |- ( ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ RR ) -> F : RR --> RR )
9	3, 7, 8	mp2an 672	. . 3 |- F : RR --> RR
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> RR )
11		prfi 7791	. . 3 |- { 0 , 1 } e. Fin
12		1ex 9587	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
13	12	prid2 4136	. . . . . . 7 |- 1 e. { 0 , 1 }
14		c0ex 9586	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	prid1 4135	. . . . . . 7 |- 0 e. { 0 , 1 }
16	13, 15	keepel 4007	. . . . . 6 |- if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
18	17, 1	fmptd 6043	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> { 0 , 1 } )
19		frn 5735	. . . 4 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } -> ran F C_ { 0 , 1 } )
20	18, 19	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F C_ { 0 , 1 } )
21		ssfi 7737	. . 3 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ran F C_ { 0 , 1 } ) -> ran F e. Fin )
22	11, 20, 21	sylancr 663	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F e. Fin )
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran F C_ { 0 , 1 }
24		df-pr 4030	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
25	24	equncomi 3650	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } = ( { 1 } u. { 0 } )
26	23, 25	sseqtri 3536	. . . . . . . . . 10 |- ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } )
27		ssdif 3639	. . . . . . . . . 10 |- ( ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } )
29		difun2 3906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( { 1 } \ { 0 } )
30		difss 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1 } \ { 0 } ) C_ { 1 }
31	29, 30	eqsstri 3534	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) C_ { 1 }
32	28, 31	sstri 3513	. . . . . . . 8 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ { 1 }
33	32	sseli 3500	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y e. { 1 } )
34		elsni 4052	. . . . . . 7 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y = 1 )
36	35	sneqd 4039	. . . . 5 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> { y } = { 1 } )
37	36	imaeq2d 5335	. . . 4 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> ( `' F " { y } ) = ( `' F " { 1 } ) )
38	2	simpri 462	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A )
39	38	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( `' F " { 1 } ) = A )
40	37, 39	sylan9eqr 2530	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) = A )
41		simpll 753	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A e. dom vol )
42	40, 41	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) e. dom vol )
43	40	fveq2d 5868	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) = ( vol ` A ) )
44		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` A ) e. RR )
45	43, 44	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) e. RR )
46	10, 22, 42, 45	i1fd 21820	1 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   volcvol 21607   S.1citg1 21756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-xmet 18180  df-met 18181  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761

This theorem is referenced by:  itg11  21830  itg2const  21879  itg2addnclem  29641