Theorem i1f1 21166

Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
i1f1	|- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem i1f1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f1.1	. . . . . 6 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) )
2	1	i1f1lem 21165	. . . . 5 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A ) )
3	2	simpli 458	. . . 4 |- F : RR --> { 0 , 1 }
4		0re 9384	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		1re 9383	. . . . 5 |- 1 e. RR
6		prssi 4027	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . . 4 |- { 0 , 1 } C_ RR
8		fss 5565	. . . 4 |- ( ( F : RR --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ RR ) -> F : RR --> RR )
9	3, 7, 8	mp2an 672	. . 3 |- F : RR --> RR
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> RR )
11		prfi 7584	. . 3 |- { 0 , 1 } e. Fin
12		1ex 9379	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
13	12	prid2 3982	. . . . . . 7 |- 1 e. { 0 , 1 }
14		c0ex 9378	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	prid1 3981	. . . . . . 7 |- 0 e. { 0 , 1 }
16	13, 15	keepel 3855	. . . . . 6 |- if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 }
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , 1 , 0 ) e. { 0 , 1 } )
18	17, 1	fmptd 5865	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F : RR --> { 0 , 1 } )
19		frn 5563	. . . 4 |- ( F : RR --> { 0 , 1 } -> ran F C_ { 0 , 1 } )
20	18, 19	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F C_ { 0 , 1 } )
21		ssfi 7531	. . 3 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ran F C_ { 0 , 1 } ) -> ran F e. Fin )
22	11, 20, 21	sylancr 663	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ran F e. Fin )
23	3, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran F C_ { 0 , 1 }
24		df-pr 3878	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
25	24	equncomi 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } = ( { 1 } u. { 0 } )
26	23, 25	sseqtri 3386	. . . . . . . . . 10 |- ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } )
27		ssdif 3489	. . . . . . . . . 10 |- ( ran F C_ ( { 1 } u. { 0 } ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } )
29		difun2 3756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( { 1 } \ { 0 } )
30		difss 3481	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1 } \ { 0 } ) C_ { 1 }
31	29, 30	eqsstri 3384	. . . . . . . . 9 |- ( ( { 1 } u. { 0 } ) \ { 0 } ) C_ { 1 }
32	28, 31	sstri 3363	. . . . . . . 8 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ { 1 }
33	32	sseli 3350	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y e. { 1 } )
34		elsni 3900	. . . . . . 7 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> y = 1 )
36	35	sneqd 3887	. . . . 5 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> { y } = { 1 } )
37	36	imaeq2d 5167	. . . 4 |- ( y e. ( ran F \ { 0 } ) -> ( `' F " { y } ) = ( `' F " { 1 } ) )
38	2	simpri 462	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( `' F " { 1 } ) = A )
39	38	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( `' F " { 1 } ) = A )
40	37, 39	sylan9eqr 2495	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) = A )
41		simpll 753	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A e. dom vol )
42	40, 41	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { y } ) e. dom vol )
43	40	fveq2d 5693	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) = ( vol ` A ) )
44		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` A ) e. RR )
45	43, 44	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ y e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { y } ) ) e. RR )
46	10, 22, 42, 45	i1fd 21157	1 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> F e. dom S.1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   \ cdif 3323   u. cun 3324   C_ wss 3326   ifcif 3789   {csn 3875   {cpr 3877   e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   ran crn 4839   "cima 4841   -->wf 5412   ` cfv 5416   Fincfn 7308   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281   volcvol 20945   S.1citg1 21093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946  df-vol 20947  df-mbf 21097  df-itg1 21098

This theorem is referenced by:  itg11  21167  itg2const  21216  itg2addnclem  28440