MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Unicode version

Theorem i1f1 21166
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
21i1f1lem 21165 . . . . 5  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
32simpli 458 . . . 4  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
4 0re 9384 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 1re 9383 . . . . 5  |-  1  e.  RR
6 prssi 4027 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 }  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 672 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  C_  RR
8 fss 5565 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
93, 7, 8mp2an 672 . . 3  |-  F : RR
--> RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
11 prfi 7584 . . 3  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
12 1ex 9379 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1312prid2 3982 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
14 c0ex 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1514prid1 3981 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
1613, 15keepel 3855 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1817, 1fmptd 5865 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
19 frn 5563 . . . 4  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  ran 
F  C_  { 0 ,  1 } )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )
21 ssfi 7531 . . 3  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )  ->  ran  F  e.  Fin )
2211, 20, 21sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  e.  Fin )
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  F  C_ 
{ 0 ,  1 }
24 df-pr 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
2524equncomi 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
2623, 25sseqtri 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  C_  ( { 1 }  u.  { 0 } )
27 ssdif 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
F  C_  ( {
1 }  u.  {
0 } )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  {
0 } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  (
( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
29 difun2 3756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  =  ( { 1 }  \  { 0 } )
30 difss 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  \  {
0 } )  C_  { 1 }
3129, 30eqsstri 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) 
C_  { 1 }
3228, 31sstri 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  { 1 }
3332sseli 3350 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  e.  {
1 } )
34 elsni 3900 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  =  1 )
3635sneqd 3887 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  { y }  =  { 1 } )
3736imaeq2d 5167 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  ( `' F " { y } )  =  ( `' F " { 1 } ) )
382simpri 462 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
3938adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
4037, 39sylan9eqr 2495 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  =  A )
41 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A  e.  dom  vol )
4240, 41eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
4340fveq2d 5693 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  =  ( vol `  A
) )
44 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
4543, 44eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  e.  RR )
4610, 22, 42, 45i1fd 21157 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3323    u. cun 3324    C_ wss 3326   ifcif 3789   {csn 3875   {cpr 3877    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   ran crn 4839   "cima 4841   -->wf 5412   ` cfv 5416   Fincfn 7308   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281   volcvol 20945   S.1citg1 21093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946  df-vol 20947  df-mbf 21097  df-itg1 21098
This theorem is referenced by:  itg11  21167  itg2const  21216  itg2addnclem  28440
  Copyright terms: Public domain W3C validator