MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem i1f1 22696
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
21i1f1lem 22695 . . . . 5  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
32simpli 464 . . . 4  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
4 0re 9668 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 1re 9667 . . . . 5  |-  1  e.  RR
6 prssi 4140 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 }  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 683 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  C_  RR
8 fss 5759 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
93, 7, 8mp2an 683 . . 3  |-  F : RR
--> RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
11 prfi 7871 . . 3  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
12 1ex 9663 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1312prid2 4093 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
14 c0ex 9662 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1514prid1 4092 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
1613, 15keepel 3959 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1817, 1fmptd 6068 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
19 frn 5757 . . . 4  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  ran 
F  C_  { 0 ,  1 } )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )
21 ssfi 7817 . . 3  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )  ->  ran  F  e.  Fin )
2211, 20, 21sylancr 674 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  e.  Fin )
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  F  C_ 
{ 0 ,  1 }
24 df-pr 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
2524equncomi 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
2623, 25sseqtri 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  C_  ( { 1 }  u.  { 0 } )
27 ssdif 3579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
F  C_  ( {
1 }  u.  {
0 } )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  {
0 } ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  (
( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
29 difun2 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  =  ( { 1 }  \  { 0 } )
30 difss 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  \  {
0 } )  C_  { 1 }
3129, 30eqsstri 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) 
C_  { 1 }
3228, 31sstri 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  { 1 }
3332sseli 3439 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  e.  {
1 } )
34 elsni 4004 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
3533, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  =  1 )
3635sneqd 3991 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  { y }  =  { 1 } )
3736imaeq2d 5186 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  ( `' F " { y } )  =  ( `' F " { 1 } ) )
382simpri 468 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
3938adantr 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
4037, 39sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  =  A )
41 simpll 765 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A  e.  dom  vol )
4240, 41eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
4340fveq2d 5891 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  =  ( vol `  A
) )
44 simplr 767 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
4543, 44eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  e.  RR )
4610, 22, 42, 45i1fd 22687 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    \ cdif 3412    u. cun 3413    C_ wss 3415   ifcif 3892   {csn 3979   {cpr 3981    |-> cmpt 4474   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   volcvol 22463   S.1citg1 22621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-xmet 19011  df-met 19012  df-ovol 22464  df-vol 22466  df-mbf 22625  df-itg1 22626
This theorem is referenced by:  itg11  22697  itg2const  22746  itg2addnclem  32037
  Copyright terms: Public domain W3C validator