Theorem hvsubval 10518

Description: Value of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubval	|- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Proof of Theorem hvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. 2 |- (A +h (-u1 .h B)) e. _V
2		opreq1 4889	. 2 |- (x = A -> (x +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h y)))
3		opreq2 4890	. . 3 |- (y = B -> (-u1 .h y) = (-u1 .h B))
4	3	opreq2d 4898	. 2 |- (y = B -> (A +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h B)))
5		df-hvsub 10472	. 2 |- -h = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))}
6	1, 2, 4, 5	oprabval2 4957	1 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  1c1 6387  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424

This theorem is referenced by:  hvsubcl 10519  hvsubvali 10522  hvsubid 10527  hvnegid 10528  hv2neg 10529  hvaddsubval 10534  hvsub4 10538  hvaddsub12 10539  hvpncan 10540  hvaddsubass 10542  hvsubdistr1 10548  hvsubdistr2 10549  hvsubcan 10574  hvsub0 10576  his2sub 10591  hhph 10678  shsubcl 10722  shsubclOLD 10723  shsel3 10912  honegsubi 11359  lnopsubi 11535  lnfnsubi 11612  superpos 11926  cdj1i 12005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain