HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Unicode version

Theorem hvsubid 26343
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 26323 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )
21oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
3 ax-1cn 9579 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 neg1cn 10679 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
5 ax-hvdistr2 26326 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A )  =  ( ( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) ) )
63, 4, 5mp3an12 1316 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  +  -u
1 )  .h  A
)  =  ( ( 1  .h  A )  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
7 hvsubval 26333 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  -h  A
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
87anidms 643 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
92, 6, 83eqtr4rd 2454 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A ) )
10 1pneg1e0 10684 . . . 4  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1110oveq1i 6287 . . 3  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  .h  A )  =  ( 0  .h  A )
129, 11syl6eq 2459 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( 0  .h  A
) )
13 ax-hvmul0 26327 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
1412, 13eqtrd 2443 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   -ucneg 9841   ~Hchil 26236    +h cva 26237    .h csm 26238   0hc0v 26241    -h cmv 26242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-hvmulid 26323  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-neg 9843  df-hvsub 26288
This theorem is referenced by:  hvnegid  26344  hvsubeq0i  26380  hvaddsub4  26395  norm3difi  26464  5oalem1  26972  5oalem2  26973  5oalem3  26974  5oalem5  26976  3oalem2  26981  pjsslem  26997  ho0val  27068  lnop0  27284  0cnop  27297  pjclem4  27517  pj3si  27525
  Copyright terms: Public domain W3C validator