HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Unicode version

Theorem hvsubid 25607
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 25587 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )
21oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
3 ax-1cn 9541 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 neg1cn 10630 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
5 ax-hvdistr2 25590 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A )  =  ( ( 1  .h  A
)  +h  ( -u
1  .h  A ) ) )
63, 4, 5mp3an12 1309 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 1  +  -u
1 )  .h  A
)  =  ( ( 1  .h  A )  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
7 hvsubval 25597 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  -h  A
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
87anidms 645 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  A ) ) )
92, 6, 83eqtr4rd 2514 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( ( 1  + 
-u 1 )  .h  A ) )
10 1pneg1e0 10635 . . . 4  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1110oveq1i 6287 . . 3  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  .h  A )  =  ( 0  .h  A )
129, 11syl6eq 2519 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  ( 0  .h  A
) )
13 ax-hvmul0 25591 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
1412, 13eqtrd 2503 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  -h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   -ucneg 9797   ~Hchil 25500    +h cva 25501    .h csm 25502   0hc0v 25505    -h cmv 25506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-hvmulid 25587  ax-hvdistr2 25590  ax-hvmul0 25591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798  df-neg 9799  df-hvsub 25552
This theorem is referenced by:  hvnegid  25608  hvsubeq0i  25644  hvaddsub4  25659  norm3difi  25728  5oalem1  26236  5oalem2  26237  5oalem3  26238  5oalem5  26240  3oalem2  26245  pjsslem  26261  ho0val  26333  lnop0  26549  0cnop  26562  pjclem4  26782  pj3si  26790
  Copyright terms: Public domain W3C validator