Theorem hvsubdistr2 10549

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A - B) .h C) = ((A .h C) -h (B .h C)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvdistr2 10511	. . . 4 |- ((A e. CC /\ -uB e. CC /\ C e. ~H) -> ((A + -uB) .h C) = ((A .h C) +h (-uB .h C)))
2		negcl 6525	. . . 4 |- (B e. CC -> -uB e. CC)
3	1, 2	syl3an2 1131	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A + -uB) .h C) = ((A .h C) +h (-uB .h C)))
4		negsub 6540	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
5	4	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> (A + -uB) = (A - B))
6	5	opreq1d 4897	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A + -uB) .h C) = ((A - B) .h C))
7		mulm1 6638	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (-u1 x. B) = -uB)
8	7	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> ((-u1 x. B) .h C) = (-uB .h C))
9	8	adantr 425	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ C e. ~H) -> ((-u1 x. B) .h C) = (-uB .h C))
10		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
11	10	negcli 6526	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
12		ax-hvmulass 10509	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((-u1 x. B) .h C) = (-u1 .h (B .h C)))
13	11, 12	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ C e. ~H) -> ((-u1 x. B) .h C) = (-u1 .h (B .h C)))
14	9, 13	eqtr3d 1927	. . . . 5 |- ((B e. CC /\ C e. ~H) -> (-uB .h C) = (-u1 .h (B .h C)))
15	14	3adant1 894	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> (-uB .h C) = (-u1 .h (B .h C)))
16	15	opreq2d 4898	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A .h C) +h (-uB .h C)) = ((A .h C) +h (-u1 .h (B .h C))))
17	3, 6, 16	3eqtr3d 1934	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A - B) .h C) = ((A .h C) +h (-u1 .h (B .h C))))
18		hvmulcl 10515	. . . 4 |- ((A e. CC /\ C e. ~H) -> (A .h C) e. ~H)
19	18	3adant2 895	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> (A .h C) e. ~H)
20		hvmulcl 10515	. . . 4 |- ((B e. CC /\ C e. ~H) -> (B .h C) e. ~H)
21	20	3adant1 894	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> (B .h C) e. ~H)
22		hvsubval 10518	. . 3 |- (((A .h C) e. ~H /\ (B .h C) e. ~H) -> ((A .h C) -h (B .h C)) = ((A .h C) +h (-u1 .h (B .h C))))
23	19, 21, 22	syl11anc 524	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A .h C) -h (B .h C)) = ((A .h C) +h (-u1 .h (B .h C))))
24	17, 23	eqtr4d 1928	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. ~H) -> ((A - B) .h C) = ((A .h C) -h (B .h C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424

This theorem is referenced by:  hvmulcan2 10573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr2 10511

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain