HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr1i Structured version   Unicode version

Theorem hvsubdistr1i 26170
Description: Scalar multiplication distributive law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvdistr1.1  |-  A  e.  CC
hvdistr1.2  |-  B  e. 
~H
hvdistr1.3  |-  C  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr1i  |-  ( A  .h  ( B  -h  C ) )  =  ( ( A  .h  B )  -h  ( A  .h  C )
)

Proof of Theorem hvsubdistr1i
StepHypRef Expression
1 hvdistr1.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 hvdistr1.2 . 2  |-  B  e. 
~H
3 hvdistr1.3 . 2  |-  C  e. 
~H
4 hvsubdistr1 26167 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( B  -h  C ) )  =  ( ( A  .h  B )  -h  ( A  .h  C )
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1322 1  |-  ( A  .h  ( B  -h  C ) )  =  ( ( A  .h  B )  -h  ( A  .h  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   CCcc 9479   ~Hchil 26037    .h csm 26039    -h cmv 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hfvmul 26123  ax-hvmulass 26125  ax-hvdistr1 26126
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9798  df-neg 9799  df-hvsub 26089
This theorem is referenced by:  normpar2i  26274  lnophmlem2  27137
  Copyright terms: Public domain W3C validator