HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem hvsubcl 25610
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 25609 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
2 neg1cn 10635 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3 hvmulcl 25606 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
42, 3mpan 670 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  ~H )
5 hvaddcl 25605 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
64, 5sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  ~H )
71, 6eqeltrd 2555 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489   -ucneg 9802   ~Hchil 25512    +h cva 25513    .h csm 25514    -h cmv 25518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-hfvadd 25593  ax-hfvmul 25598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-hvsub 25564
This theorem is referenced by:  hvsubcli  25614  hvmulcan  25665  hvsubcan2  25668  hvaddsub4  25671  his2sub2  25686  hi2eq  25698  hial2eq  25699  hhph  25771  pjhthlem1  25985  pjhthlem2  25986  chscllem2  26232  5oalem2  26249  5oalem3  26250  5oalem5  26252  3oalem2  26257  hodcl  26342  hosubcli  26364  unopf1o  26511  lnopeq0i  26602  lnconi  26628  riesz3i  26657  riesz4i  26658  hmopidmpji  26747  pjclem4  26794  pj3si  26802  cdj1i  27028
  Copyright terms: Public domain W3C validator