Theorem hvsubcl 10519

Description: Closure of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubcl	|- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A -h B) e. ~H)

Proof of Theorem hvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 10518	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
2		hvaddcl 10514	. . 3 |- ((A e. ~H /\ (-u1 .h B) e. ~H) -> (A +h (-u1 .h B)) e. ~H)
3		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
4	3	negcli 6526	. . . 4 |- -u1 e. CC
5		hvmulcl 10515	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ B e. ~H) -> (-u1 .h B) e. ~H)
6	4, 5	mpan 759	. . 3 |- (B e. ~H -> (-u1 .h B) e. ~H)
7	2, 6	sylan2 500	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A +h (-u1 .h B)) e. ~H)
8	1, 7	eqeltrd 1971	1 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> (A -h B) e. ~H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424

This theorem is referenced by:  hvsubcli 10523  hvmulcan 10571  hvmulcanOLD 10572  hvsubcan2 10575  hvaddsub4 10578  his2sub2 10592  hi2eq 10604  hial2eq 10605  hhph 10678  hcau2 10688  chocunii 10805  occllem6 10811  projlem8 10826  projlem10 10828  projlem12 10830  projlem13 10831  projlem15 10833  projlem24 10842  projlem25 10843  projlem26 10844  projlem28 10846  hodcl 11158  osumlem2 11214  osumlem3 11215  osumlem4 11216  5oalem2 11235  5oalem3 11236  5oalem5 11238  3oalem2 11243  hosubcli 11332  unopf1o 11477  lnopeq0i 11569  lnopconi 11600  lnfnconi 11627  riesz3i 11632  riesz4i 11633  hmopidmchi 11723  hmopidmpji 11724  pjclem4 11772  pj3si 11780  cdj1i 12005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hfvadd 10502  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain