HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvpncan2 Structured version   Unicode version

Theorem hvpncan2 24457
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvpncan2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A
)  =  B )

Proof of Theorem hvpncan2
StepHypRef Expression
1 ax-hvcom 24418 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( B  +h  A
)  =  ( A  +h  B ) )
21oveq1d 6121 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  -h  A
)  =  ( ( A  +h  B )  -h  A ) )
3 hvpncan 24456 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( B  +h  A )  -h  A
)  =  B )
42, 3eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A
)  =  B )
54ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6106   ~Hchil 24336    +h cva 24337    -h cmv 24342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-hfvadd 24417  ax-hvcom 24418  ax-hvass 24419  ax-hvaddid 24421  ax-hfvmul 24422  ax-hvmulid 24423  ax-hvdistr2 24426  ax-hvmul0 24427
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-ltxr 9438  df-sub 9612  df-neg 9613  df-hvsub 24388
This theorem is referenced by:  hvpncan3  24459  sumspansn  25067  spansncvi  25070  mayete3i  25146  mayete3iOLD  25147
  Copyright terms: Public domain W3C validator