Theorem hvnegdii 10561

Description: Distribution of negative over subtraction.

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	|- A e. ~H
hvnegdi.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	|- (-u1 .h (A -h B)) = (B -h A)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 |- A e. ~H
2		hvnegdi.2	. . . 4 |- B e. ~H
3	1, 2	hvsubvali 10522	. . 3 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
4	3	opreq2i 4893	. 2 |- (-u1 .h (A -h B)) = (-u1 .h (A +h (-u1 .h B)))
5		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
6	5	negcli 6526	. . 3 |- -u1 e. CC
7	6, 2	hvmulcli 10516	. . 3 |- (-u1 .h B) e. ~H
8	6, 1, 7	hvdistr1i 10550	. 2 |- (-u1 .h (A +h (-u1 .h B))) = ((-u1 .h A) +h (-u1 .h (-u1 .h B)))
9	5, 5	mul2negi 6610	. . . . . . 7 |- (-u1 x. -u1) = (1 x. 1)
10	5	mulid1i 6485	. . . . . . 7 |- (1 x. 1) = 1
11	9, 10	eqtri 1908	. . . . . 6 |- (-u1 x. -u1) = 1
12	11	opreq1i 4892	. . . . 5 |- ((-u1 x. -u1) .h B) = (1 .h B)
13	6, 6, 2	hvmulassi 10545	. . . . 5 |- ((-u1 x. -u1) .h B) = (-u1 .h (-u1 .h B))
14		ax-hvmulid 10508	. . . . . 6 |- (B e. ~H -> (1 .h B) = B)
15	2, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1 .h B) = B
16	12, 13, 15	3eqtr3i 1918	. . . 4 |- (-u1 .h (-u1 .h B)) = B
17	16	opreq1i 4892	. . 3 |- ((-u1 .h (-u1 .h B)) +h (-u1 .h A)) = (B +h (-u1 .h A))
18	6, 1	hvmulcli 10516	. . . 4 |- (-u1 .h A) e. ~H
19	6, 7	hvmulcli 10516	. . . 4 |- (-u1 .h (-u1 .h B)) e. ~H
20	18, 19	hvcomi 10521	. . 3 |- ((-u1 .h A) +h (-u1 .h (-u1 .h B))) = ((-u1 .h (-u1 .h B)) +h (-u1 .h A))
21	2, 1	hvsubvali 10522	. . 3 |- (B -h A) = (B +h (-u1 .h A))
22	17, 20, 21	3eqtr4i 1921	. 2 |- ((-u1 .h A) +h (-u1 .h (-u1 .h B))) = (B -h A)
23	4, 8, 22	3eqtri 1912	1 |- (-u1 .h (A -h B)) = (B -h A)

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  1c1 6387   x. cmul 6391  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424

This theorem is referenced by:  hvnegdi 10566  hisubcomi 10603  normsubi 10641  normpar2i 10656  pjsslem 11259  pjcji 11264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hvcom 10503  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472

Copyright terms: Public domain