Theorem hvmulcli 24553

Description: Closure inference for scalar multiplication. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmulcl.1	|- A e. CC
hvmulcl.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
hvmulcli	|- ( A .h B ) e. ~H

Proof of Theorem hvmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl.1	. 2 |- A e. CC
2		hvmulcl.2	. 2 |- B e. ~H
3		hvmulcl 24552	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( A .h B ) e. ~H )
4	1, 2, 3	mp2an 672	1 |- ( A .h B ) e. ~H

Syntax hints:   e. wcel 1758  (class class class)co 6192   CCcc 9383   ~Hchil 24458   .h csm 24460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631  ax-hfvmul 24544

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-fv 5526  df-ov 6195

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  24598  hvnegdii  24601  hvsubeq0i  24602  hvsubcan2i  24603  hvaddcani  24604  hvsubaddi  24605  normlem0  24648  normlem5  24653  normlem9  24657  bcseqi  24659  norm-iii-i  24678  norm3difi  24686  normpar2i  24695  polid2i  24696  polidi  24697  h1de2i  25093  pjsubii  25218  eigposi  25377  lnop0  25507  lnopunilem1  25551  lnophmlem2  25558  lnfn0i  25583