HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcl Unicode version

Theorem hvmulcl 22469
Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvmulcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 22461 . 2  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
21fovcl 6134 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ~Hchil 22375    .h csm 22377
This theorem is referenced by:  hvmulcli  22470  hvsubf  22471  hvsubcl  22473  hv2neg  22483  hvaddsubval  22488  hvsub4  22492  hvaddsub12  22493  hvpncan  22494  hvaddsubass  22496  hvsubass  22499  hvsubdistr1  22504  hvsubdistr2  22505  hvaddeq0  22524  hvmulcan  22527  hvmulcan2  22528  hvsubcan  22529  his5  22541  his35  22543  hiassdi  22546  his2sub  22547  hilablo  22615  helch  22699  ocsh  22738  h1de2ci  23011  spansncol  23023  spanunsni  23034  mayete3i  23183  mayete3iOLD  23184  homcl  23202  homulcl  23215  unoplin  23376  hmoplin  23398  bramul  23402  bralnfn  23404  brafnmul  23407  kbop  23409  kbmul  23411  lnopmul  23423  lnopaddmuli  23429  lnopsubmuli  23431  lnopmulsubi  23432  0lnfn  23441  nmlnop0iALT  23451  lnopmi  23456  lnophsi  23457  lnopcoi  23459  lnopeq0i  23463  nmbdoplbi  23480  nmcexi  23482  nmcoplbi  23484  lnfnmuli  23500  lnfnaddmuli  23501  nmbdfnlbi  23505  nmcfnlbi  23508  nlelshi  23516  riesz3i  23518  cnlnadjlem2  23524  cnlnadjlem6  23528  adjlnop  23542  nmopcoi  23551  branmfn  23561  cnvbramul  23571  kbass2  23573  kbass5  23576  superpos  23810  cdj1i  23889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-hfvmul 22461
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043
  Copyright terms: Public domain W3C validator