HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcl Structured version   Unicode version

Theorem hvmulcl 25606
Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvmulcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 25598 . 2  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
21fovcl 6389 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   ~Hchil 25512    .h csm 25514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-hfvmul 25598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285
This theorem is referenced by:  hvmulcli  25607  hvsubf  25608  hvsubcl  25610  hv2neg  25621  hvaddsubval  25626  hvsub4  25630  hvaddsub12  25631  hvpncan  25632  hvaddsubass  25634  hvsubass  25637  hvsubdistr1  25642  hvsubdistr2  25643  hvaddeq0  25662  hvmulcan  25665  hvmulcan2  25666  hvsubcan  25667  his5  25679  his35  25681  hiassdi  25684  his2sub  25685  hilablo  25753  helch  25837  ocsh  25877  h1de2ci  26150  spansncol  26162  spanunsni  26173  mayete3i  26322  mayete3iOLD  26323  homcl  26341  homulcl  26354  unoplin  26515  hmoplin  26537  bramul  26541  bralnfn  26543  brafnmul  26546  kbop  26548  kbmul  26550  lnopmul  26562  lnopaddmuli  26568  lnopsubmuli  26570  lnopmulsubi  26571  0lnfn  26580  nmlnop0iALT  26590  lnopmi  26595  lnophsi  26596  lnopcoi  26598  lnopeq0i  26602  nmbdoplbi  26619  nmcexi  26621  nmcoplbi  26623  lnfnmuli  26639  lnfnaddmuli  26640  nmbdfnlbi  26644  nmcfnlbi  26647  nlelshi  26655  riesz3i  26657  cnlnadjlem2  26663  cnlnadjlem6  26667  adjlnop  26681  nmopcoi  26690  branmfn  26700  cnvbramul  26710  kbass2  26712  kbass5  26715  superpos  26949  cdj1i  27028
  Copyright terms: Public domain W3C validator