Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmapfval Structured version   Unicode version

Theorem hvmapfval 36849
 Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmapval.h
hvmapval.u
hvmapval.o
hvmapval.v
hvmapval.p
hvmapval.t
hvmapval.z
hvmapval.s Scalar
hvmapval.r
hvmapval.m HVMap
hvmapval.k
Assertion
Ref Expression
hvmapfval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem hvmapfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmapval.k . 2
2 hvmapval.m . . . 4 HVMap
3 hvmapval.h . . . . . 6
43hvmapffval 36848 . . . . 5 HVMap Scalar
54fveq1d 5873 . . . 4 HVMap Scalar
62, 5syl5eq 2520 . . 3 Scalar
7 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
8 hvmapval.u . . . . . . . . 9
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . . 8
109fveq2d 5875 . . . . . . 7
11 hvmapval.v . . . . . . 7
1210, 11syl6eqr 2526 . . . . . 6
139fveq2d 5875 . . . . . . . 8
14 hvmapval.z . . . . . . . 8
1513, 14syl6eqr 2526 . . . . . . 7
1615sneqd 4044 . . . . . 6
1712, 16difeq12d 3628 . . . . 5
189fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
19 hvmapval.s . . . . . . . . . 10 Scalar
2018, 19syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9 Scalar
2120fveq2d 5875 . . . . . . . 8 Scalar
22 hvmapval.r . . . . . . . 8
2321, 22syl6eqr 2526 . . . . . . 7 Scalar
24 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
25 hvmapval.o . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9
2726fveq1d 5873 . . . . . . . 8
289fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
29 hvmapval.p . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10
31 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
329fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
33 hvmapval.t . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11
3534oveqd 6311 . . . . . . . . . 10
3630, 31, 35oveq123d 6315 . . . . . . . . 9
3736eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
3827, 37rexeqbidv 3078 . . . . . . 7
3923, 38riotaeqbidv 6258 . . . . . 6 Scalar
4012, 39mpteq12dv 4530 . . . . 5 Scalar
4117, 40mpteq12dv 4530 . . . 4 Scalar
42 eqid 2467 . . . 4 Scalar Scalar
43 fvex 5881 . . . . . . 7
4411, 43eqeltri 2551 . . . . . 6
45 difexg 4600 . . . . . 6
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5
4746mptex 6141 . . . 4
4841, 42, 47fvmpt 5956 . . 3 Scalar
496, 48sylan9eq 2528 . 2
501, 49syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  cvv 3118   cdif 3478  csn 4032   cmpt 4510  cfv 5593  crio 6254  (class class class)co 6294  cbs 14502   cplusg 14567  Scalarcsca 14570  cvsca 14571  c0g 14707  clh 35073  cdvh 36168  coch 36437  HVMapchvm 36846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-hvmap 36847 This theorem is referenced by:  hvmapval  36850  hvmap1o  36853  hvmaplkr  36858
 Copyright terms: Public domain W3C validator