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Theorem hvmapffval 36848
Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hvmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
hvmapffval  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    t, j, v, x, w, K
Allowed substitution hints:    H( x, v, t, j)    X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5871 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 hvmapval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5871 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5875 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
86fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
98sneqd 4044 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { ( 0g `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) }  =  { ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } )
107, 9difeq12d 3628 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  =  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } ) )
116fveq2d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) )
13 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
1413fveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1514fveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  { x } ) )
166fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( +g  `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
17 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  t  =  t )
186fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( .s `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
1918oveqd 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x )  =  ( j ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) x ) )
2016, 17, 19oveq123d 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  =  ( t ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <-> 
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2215, 21rexeqbidv 3078 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( E. t  e.  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <->  E. t  e.  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2312, 22riotaeqbidv 6258 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) )  =  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) )
247, 23mpteq12dv 4530 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) )
2510, 24mpteq12dv 4530 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )
264, 25mpteq12dv 4530 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap 36847 . . 3  |- HVMap  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) ) )
28 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
293, 28eqeltri 2551 . . . 4  |-  H  e. 
_V
3029mptex 6141 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5956 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   {csn 4032    |-> cmpt 4510   ` cfv 5593   iota_crio 6254  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707   LHypclh 35073   DVecHcdvh 36168   ocHcoch 36437  HVMapchvm 36846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-hvmap 36847
This theorem is referenced by:  hvmapfval  36849
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