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Theorem hvmapffval 35408
Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hvmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
hvmapffval  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    t, j, v, x, w, K
Allowed substitution hints:    H( x, v, t, j)    X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2986 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 hvmapval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5698 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
86fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
98sneqd 3894 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { ( 0g `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) }  =  { ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } )
107, 9difeq12d 3480 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  =  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } ) )
116fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) )
13 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
1413fveq1d 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1514fveq1d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  { x } ) )
166fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( +g  `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
17 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  t  =  t )
186fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( .s `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
1918oveqd 6113 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x )  =  ( j ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) x ) )
2016, 17, 19oveq123d 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  =  ( t ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) )
2120eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <-> 
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2215, 21rexeqbidv 2937 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( E. t  e.  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <->  E. t  e.  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2312, 22riotaeqbidv 6060 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) )  =  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) )
247, 23mpteq12dv 4375 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) )
2510, 24mpteq12dv 4375 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )
264, 25mpteq12dv 4375 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap 35407 . . 3  |- HVMap  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) ) )
28 fvex 5706 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
293, 28eqeltri 2513 . . . 4  |-  H  e. 
_V
3029mptex 5953 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5779 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   {csn 3882    e. cmpt 4355   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383   LHypclh 33633   DVecHcdvh 34728   ocHcoch 34997  HVMapchvm 35406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-hvmap 35407
This theorem is referenced by:  hvmapfval  35409
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