Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmap1o Structured version   Unicode version

Theorem hvmap1o 35717
Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors  V to nonzero functionals with closed kernels  C. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmap1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hvmap1o.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hvmap1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hvmap1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hvmap1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hvmap1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
hvmap1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
hvmap1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
hvmap1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
hvmap1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
hvmap1o.m  |-  M  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hvmap1o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hvmap1o  |-  ( ph  ->  M : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, L    f, O    U, f    f, V
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    Q( f)    H( f)    K( f)    M( f)    W( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem hvmap1o
Dummy variables  v 
k  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmap1o.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hvmap1o.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 hvmap1o.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hvmap1o.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
6 eqid 2451 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
7 eqid 2451 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
9 hvmap1o.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 hvmap1o.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 hvmap1o.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 hvmap1o.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
13 hvmap1o.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 hvmap1o.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
15 eqid 2451 . . 3  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) )
16 hvmap1o.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16lcf1o 35505 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
18 hvmap1o.m . . . 4  |-  M  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
191, 3, 2, 4, 5, 6, 9, 7, 8, 18, 16hvmapfval 35713 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) ) )
20 f1oeq1 5733 . . 3  |-  ( M  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) )  ->  ( M : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  <->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( M : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } )  <->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) ) )
2217, 21mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  M : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {crab 2799    \ cdif 3426   {csn 3978    |-> cmpt 4451   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519   iota_crio 6153  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489  LFnlclfn 33011  LKerclk 33039  LDualcld 33077   HLchlt 33304   LHypclh 33937   DVecHcdvh 35032   ocHcoch 35301  HVMapchvm 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-riotaBAD 32913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-undef 6895  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-0g 14491  df-poset 15227  df-plt 15239  df-lub 15255  df-glb 15256  df-join 15257  df-meet 15258  df-p0 15320  df-p1 15321  df-lat 15327  df-clat 15389  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-lsm 16248  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lvec 17299  df-lsatoms 32930  df-lshyp 32931  df-lfl 33012  df-lkr 33040  df-ldual 33078  df-oposet 33130  df-ol 33132  df-oml 33133  df-covers 33220  df-ats 33221  df-atl 33252  df-cvlat 33276  df-hlat 33305  df-llines 33451  df-lplanes 33452  df-lvols 33453  df-lines 33454  df-psubsp 33456  df-pmap 33457  df-padd 33749  df-lhyp 33941  df-laut 33942  df-ldil 34057  df-ltrn 34058  df-trl 34112  df-tgrp 34696  df-tendo 34708  df-edring 34710  df-dveca 34956  df-disoa 34983  df-dvech 35033  df-dib 35093  df-dic 35127  df-dih 35183  df-doch 35302  df-djh 35349  df-hvmap 35711
This theorem is referenced by:  hvmapclN  35718  hvmap1o2  35719
  Copyright terms: Public domain W3C validator