Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmap1o Structured version   Unicode version

Theorem hvmap1o 37887
Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors  V to nonzero functionals with closed kernels  C. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmap1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hvmap1o.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
hvmap1o.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hvmap1o.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hvmap1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hvmap1o.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
hvmap1o.l  |-  L  =  (LKer `  U )
hvmap1o.d  |-  D  =  (LDual `  U )
hvmap1o.q  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
hvmap1o.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
hvmap1o.m  |-  M  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hvmap1o.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hvmap1o  |-  ( ph  ->  M : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, L    f, O    U, f    f, V
Allowed substitution hints:    ph( f)    C( f)    D( f)    Q( f)    H( f)    K( f)    M( f)    W( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem hvmap1o
Dummy variables  v 
k  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmap1o.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hvmap1o.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 hvmap1o.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hvmap1o.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
7 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
9 hvmap1o.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 hvmap1o.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 hvmap1o.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
12 hvmap1o.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
13 hvmap1o.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  D
)
14 hvmap1o.c . . 3  |-  C  =  { f  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) }
15 eqid 2454 . . 3  |-  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) )
16 hvmap1o.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16lcf1o 37675 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
18 hvmap1o.m . . . 4  |-  M  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
191, 3, 2, 4, 5, 6, 9, 7, 8, 18, 16hvmapfval 37883 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  (
iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U
) ) E. w  e.  ( O `  {
x } ) v  =  ( w ( +g  `  U ) ( k ( .s
`  U ) x ) ) ) ) ) )
20 f1oeq1 5789 . . 3  |-  ( M  =  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) )  ->  ( M : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C 
\  { Q }
)  <->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( M : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } )  <->  ( x  e.  ( V  \  {  .0.  } )  |->  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) E. w  e.  ( O `
 { x }
) v  =  ( w ( +g  `  U
) ( k ( .s `  U ) x ) ) ) ) ) : ( V  \  {  .0.  } ) -1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) ) )
2217, 21mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  M : ( V 
\  {  .0.  }
)
-1-1-onto-> ( C  \  { Q } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808    \ cdif 3458   {csn 4016    |-> cmpt 4497   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929  LFnlclfn 35179  LKerclk 35207  LDualcld 35245   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202   ocHcoch 37471  HVMapchvm 37880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-lshyp 35099  df-lfl 35180  df-lkr 35208  df-ldual 35246  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tgrp 36866  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dveca 37126  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472  df-djh 37519  df-hvmap 37881
This theorem is referenced by:  hvmapclN  37888  hvmap1o2  37889
  Copyright terms: Public domain W3C validator