Theorem htthlem9 9975

Description: Lemma for htthi 9979.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (BaseSet` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem9	|- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))

Distinct variable groups:   v,u,x,y   C,k   D,k   k,F   f,k,N   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   U,k,u,v   f,X,k,m,u,v,w,x,y

Proof of Theorem htthlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
2		htthlem3.l	. . . 4 |- L = (U LnOp U)
3		htthlem3.u	. . . 4 |- U e. CHil
4		htthlem3.t	. . . 4 |- T e. L
5	1, 2, 3, 4	htthlem1 9967	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)
6	3	hlnvi 9941	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7		htthlem3.n	. . . . . . 7 |- N = (norm` U)
8	1, 7	nvcl 9619	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
9	6, 8	mpan 759	. . . . 5 |- ((T` (f` k)) e. X -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
10		resqcl 7866	. . . . 5 |- ((N` (T` (f` k))) e. RR -> ((N` (T` (f` k)))^2) e. RR)
11	9, 10	syl 12	. . . 4 |- ((T` (f` k)) e. X -> ((N` (T` (f` k)))^2) e. RR)
12		sqge0 7878	. . . . 5 |- ((N` (T` (f` k))) e. RR -> 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2))
13	9, 12	syl 12	. . . 4 |- ((T` (f` k)) e. X -> 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2))
14		absid 8113	. . . 4 |- ((((N` (T` (f` k)))^2) e. RR /\ 0 <_ ((N` (T` (f` k)))^2)) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
15	11, 13, 14	syl11anc 524	. . 3 |- ((T` (f` k)) e. X -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
16	5, 15	syl 12	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = ((N` (T` (f` k)))^2))
17		htthlem3.p	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
18		htthlem3.b	. . . . . . . 8 |- B = (U BLnOp U)
19		htthlem3.a	. . . . . . . 8 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
20		htthlem3.f	. . . . . . . 8 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
21		htthlem3.c	. . . . . . . 8 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
22		htthlem3.d	. . . . . . . 8 |- D = (U BLnOp C)
23		htthlem3.o	. . . . . . . 8 |- O = (UnormOpC)
24	1, 17, 2, 18, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 7, 23	htthlem4 9970	. . . . . . 7 |- (((T` (f` k)) e. X /\ k e. NN) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (T` (f` k)))P(f` k)))
25	24	adantrl 430	. . . . . 6 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (T` (f` k)))P(f` k)))
26	19	htthlem2 9968	. . . . . . 7 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f` k) e. X) -> ((T` (T` (f` k)))P(f` k)) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
27		ffvelrn 4787	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
28	26, 27	sylan2 500	. . . . . 6 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((T` (T` (f` k)))P(f` k)) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
29	25, 28	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (((T` (f` k)) e. X /\ (f:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
30	5, 29	mpancom 769	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k)` (T` (f` k))) = ((T` (f` k))P(T` (f` k))))
31	1, 7, 17	ipid 9702	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
32	6, 31	mpan 759	. . . . 5 |- ((T` (f` k)) e. X -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
33	5, 32	syl 12	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((T` (f` k))P(T` (f` k))) = ((N` (T` (f` k)))^2))
34	30, 33	eqtr2d 1926	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = ((F` k)` (T` (f` k))))
35	34	fveq2d 4685	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (abs` ((N` (T` (f` k)))^2)) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))
36	16, 35	eqtr3d 1927	1 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k)))^2) = (abs` ((F` k)` (T` (f` k)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  2c2 7145  ^cexp 7811  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541  .icip 9688   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741   BLnOp cblo 9742  CHilchl 9934

This theorem is referenced by:  htthlem10 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689  df-lno 9744  df-bn 9865  df-hl 9935

Copyright terms: Public domain