Theorem htthlem1 9967

Description: Lemma for htthi 9979. Closure of values of an operator T on an auxiliary sequence of vectors f.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem1.1	|- X = (BaseSet` U)
htthlem1.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem1.u	|- U e. CHil
htthlem1.t	|- T e. L

Assertion

Ref	Expression
htthlem1	|- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)

Proof of Theorem htthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 4787	. 2 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
2		htthlem1.u	. . . . 5 |- U e. CHil
3	2	hlnvi 9941	. . . 4 |- U e. NrmCVec
4		htthlem1.t	. . . 4 |- T e. L
5		htthlem1.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
6		htthlem1.l	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
7	5, 5, 6	lnof 9755	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->X)
8	3, 3, 4, 7	mp3an 1191	. . 3 |- T:X-->X
9	8	ffvelrni 4788	. 2 |- ((f` k) e. X -> (T` (f` k)) e. X)
10	1, 9	syl 12	1 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NNcn 6449  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537   LnOp clno 9740  CHilchl 9934

This theorem is referenced by:  htthlem5 9971  htthlem9 9975  htthlem10 9976  htthlem12 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-lno 9744  df-bn 9865  df-hl 9935

Copyright terms: Public domain