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Theorem htthlem 26405
Description: Lemma for htth 26406. The collection  K, which consists of functions  F ( z ) ( w )  =  <. w  |  T
( z ) >.  =  <. T ( w )  |  z >. for each  z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 26342, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 26360, there is a uniform bound  y on  ||  F ( x )  || for all  x in the unit ball. Then  |  T (
x )  |  ^
2  =  <. T ( x )  |  T
( x ) >.  =  F ( x ) (  T ( x ) )  <_  y  |  T ( x )  |, so  |  T ( x )  |  <_  y and 
T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
htthlem.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
htthlem.6  |-  U  e. 
CHilOLD
htthlem.7  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
htthlem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
htthlem.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
htthlem.10  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
htthlem.11  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
Assertion
Ref Expression
htthlem  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    y, w, F    x, w, z, K, y    w, N, x, y, z    w, P, z    w, W, x, y, z    ph, w, x, y, z    w, T, x, y, z    w, U, x, y, z    w, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w)    P( x, y)    F( x, z)    L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
CHilOLD
32hlnvi 26379 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
64, 4, 5lnof 26241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> X )
73, 3, 6mp3an12 1350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> X )
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : X --> X )
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  e.  X )
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
114, 10nvcl 26133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
123, 9, 11sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
138ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z )  e.  X )
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
15 hlph 26376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CPreHil OLD )
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
18 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
19 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z
) ) )
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 26342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  z )  e.  X  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( U 
BLnOp  W ) )
24 ffun 5748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  Fun  F )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2625adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Fun  F )
27 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  K )
28 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
2927, 28syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )
30 fvelima 5933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3126, 29, 30syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  w  e.  K )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3231ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w ) )
33 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( N `  z )  =  ( N `  y ) )
3433breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  y )  <_  1
) )
3534elrab 3235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  ( T `  z )  =  ( T `  y ) )
3736oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  y
) ) )
3837mpteq2dv 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  y  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) )
394hlex 26385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X  e. 
_V
4039mptex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  e.  _V
4138, 22, 40fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) ) )
4241fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `
 x ) )
43 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
w P ( T `
 y ) )  =  ( x P ( T `  y
) ) )
44 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) )
45 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x P ( T `  y ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4742, 46sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( F `  y ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4847ad2ant2lr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( x P ( T `
 y ) ) )
49 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
50 rsp2 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) ) )
5251impl 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )
5352adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5448, 53eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5554fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  =  ( abs `  ( ( T `  x ) P y ) ) )
56 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
y  e.  X )
574, 14dipcl 26196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P y )  e.  CC )
583, 57mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) P y )  e.  CC )
599, 56, 58syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( T `
 x ) P y )  e.  CC )
6059abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  e.  RR )
6112adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
624, 10nvcl 26133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
633, 62mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  X  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6463ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6561, 64remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  e.  RR )
664, 10, 14, 16sii 26340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
679, 56, 66syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
68 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
694, 10nvge0 26148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
703, 9, 69sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
7112, 70jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N `  ( T `  x )
) ) )
73 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  <_  1
)
74 lemul2a 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 y ) )  <_  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 ) )
7564, 68, 72, 73, 74syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  (
( N `  ( T `  x )
)  x.  1 ) )
7661recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  CC )
7776mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 )  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )
7875, 77breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
7960, 65, 61, 67, 78letrd 9791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8055, 79eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8135, 80sylan2b 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  <_ 
( N `  ( T `  x )
) )
82 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( w `  x ) )
8382fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  =  ( abs `  (
w `  x )
) )
8483breq1d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) )  <->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8581, 84syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8685rexlimdva 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8732, 86syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8887ralrimiv 2844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
89 breq2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9089ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9190rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9212, 88, 91syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9392ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  z )
94 imassrn 5199 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } )  C_  ran  F
9528, 94eqsstri 3500 . . . . . . . 8  |-  K  C_  ran  F
96 frn 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  ran  F 
C_  ( U  BLnOp  W ) )
9723, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( U  BLnOp  W ) )
9895, 97syl5ss 3481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )
99 hlobn 26375 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CBan )
1002, 99ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
CBan
10117cnnv 26153 . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
10217cnnvnm 26158 . . . . . . . . 9  |-  abs  =  ( normCV `  W )
103 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
1044, 102, 103ubth 26360 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
105100, 101, 104mp3an12 1350 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y ) )
10698, 105syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
10793, 106mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y )
108 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e.  X  /\  ( N `
 x )  <_ 
1 ) )
109 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  z )  =  ( N `  x ) )
110109breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  x )  <_  1
) )
111110elrab 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )
112108, 111sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
11322, 21dmmptd 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
114113eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  X ) )
115114biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  F )
116 funfvima 6155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } ) ) )
11725, 116sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
118115, 117syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
119118ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
120112, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) )
121120, 28syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  K
)
122 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  w )  =  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
123122breq1d 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
)
124123rspcv 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  e.  K  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  <_ 
y ) )
125121, 124syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
12612ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  RR )
127126, 126remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
12823ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12917cnnvba 26155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  ( BaseSet `  W )
1304, 129, 103, 18nmblore 26272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
1313, 101, 130mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
133132ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
134133, 126remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
135 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
136135, 126remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
137 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  ( T `  z )  =  ( T `  x ) )
138137oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  x
) ) )
139138mpteq2dv 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) )
14039mptex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  e.  _V
141139, 22, 140fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
142141adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
143142fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) `  ( T `  x ) ) )
144 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( T `  x )  ->  (
w P ( T `
 x ) )  =  ( ( T `
 x ) P ( T `  x
) ) )
145 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) )
146 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  e. 
_V
147144, 145, 146fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T `  x )  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
1489, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
149143, 148eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
150149ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( T `  x
) P ( T `
 x ) ) )
1519ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( T `  x )  e.  X
)
1524, 10, 14ipidsq 26194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P ( T `
 x ) )  =  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )
1533, 151, 152sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
154150, 153eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )
155154fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( abs `  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
156 resqcl 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  (
( N `  ( T `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
157 sqge0 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
158156, 157absidd 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
159126, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) )
160126recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  CC )
161160sqvald 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
162155, 159, 1613eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
163128ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)
1644, 10, 102, 103, 18, 3, 101nmblolbi 26286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x ) `  ( T `  x ) ) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
165163, 151, 164syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
166162, 165eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
1673, 151, 69sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( N `  ( T `
 x ) ) )
168 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
169133, 135, 126, 167, 168lemul1ad 10546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
170127, 134, 136, 166, 169letrd 9791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
171 lemul1 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  y  <->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) ) )
172171biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  y )
)
1731723expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  ( T `  x )
) )  ->  (
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
174173expdimp 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
175126, 135, 126, 174syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
176170, 175mpid 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
177 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  e.  RR )
1784, 129, 18blof 26271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1793, 101, 178mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
180128, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
181180ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1824, 129, 103nmooge0 26253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x ) : X --> CC )  ->  0  <_ 
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
) )
1833, 101, 182mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x ) : X --> CC  ->  0  <_  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
184181, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) ) )
185177, 133, 135, 184, 168letrd 9791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  y )
186 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
187185, 186syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
188 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
189 leloe 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
190188, 126, 189sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
191167, 190mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) )
192176, 187, 191mpjaod 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
)
193192expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
194193adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
195125, 194syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  y )
)
196195expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
197196com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
198197ralrimdva 2850 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) ) )
199198reximdva 2907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
200107, 199mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
201 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD U )  =  ( U normOpOLD U
)
2024, 4, 10, 10, 201, 3, 3nmobndi 26261 . . . . 5  |-  ( T : X --> X  -> 
( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
2038, 202syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
204200, 203mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  e.  RR )
205 ltpnf 11422 . . 3  |-  ( ( ( U normOpOLD U
) `  T )  e.  RR  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T )  < +oo )
206204, 205syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  < +oo )
207 htth.4 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
208201, 5, 207isblo 26268 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) ) )
2093, 3, 208mp2an 676 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) )
2101, 206, 209sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    C_ wss 3442   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671    < clt 9674    <_ cle 9675   2c2 10659   ^cexp 12269   abscabs 13276   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   normCVcnmcv 26054   .iOLDcdip 26181    LnOp clno 26226   normOpOLDcnmoo 26227    BLnOp cblo 26228   CPreHil OLDccphlo 26298   CBanccbn 26349   CHilOLDchlo 26372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-dc 8874  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-t1 20261  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-fcls 20887  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-lno 26230  df-nmoo 26231  df-blo 26232  df-0o 26233  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hlo 26373
This theorem is referenced by:  htth  26406
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