Theorem htthlem 26651

Description: Lemma for htth 26652. The collection K, which consists of functions F ( z ) ( w ) = <. w | T ( z ) >. = <. T ( w ) | z >. for each z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 26578, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 26596, there is a uniform bound y on || F ( x ) || for all x in the unit ball. Then | T ( x ) | ^ 2 = <. T ( x ) | T ( x ) >. = F ( x ) ( T ( x ) ) <_ y | T ( x ) |, so | T ( x ) | <_ y and T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
htth.2	|- P = ( .iOLD ` U )
htth.3	|- L = ( U LnOp U )
htth.4	|- B = ( U BLnOp U )
htthlem.5	|- N = ( normCV ` U )
htthlem.6	|- U e. CHilOLD
htthlem.7	|- W = <. <. + , x. >. , abs >.
htthlem.8	|- ( ph -> T e. L )
htthlem.9	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
htthlem.10	|- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
htthlem.11	|- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )

Assertion

Ref	Expression
htthlem	|- ( ph -> T e. B )

Distinct variable groups:   y, w, F   x, w, z, K, y   w, N, x, y, z   w, P, z   w, W, x, y, z   ph, w, x, y, z   w, T, x, y, z   w, U, x, y, z   w, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w)   P( x, y)   F( x, z)   L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 |- ( ph -> T e. L )
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 |- U e. CHilOLD
3	2	hlnvi 26625	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( BaseSet ` U )
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( U LnOp U )
6	4, 4, 5	lnof 26477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> X )
7	3, 3, 6	mp3an12 1380	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> T : X --> X )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : X --> X )
9	8	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T ` x ) e. X )
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
11	4, 10	nvcl 26369	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
12	3, 9, 11	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	8	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( T ` z ) e. X )
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( .iOLD ` U )
15		hlph 26622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CPreHil OLD )
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U e. CPreHil OLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = <. <. + , x. >. , abs >.
18		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
19		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) )
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 26578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` z ) e. X -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
23	21, 22	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> ( U BLnOp W ) )
24		ffun 5742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> Fun F )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun F )
26	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Fun F )
27		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. K -> w e. K )
28		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
29	27, 28	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. K -> w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
30		fvelima 5931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
31	26, 29, 30	syl2an 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ w e. K ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
32	31	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w ) )
33		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( N ` z ) = ( N ` y ) )
34	33	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` y ) <_ 1 ) )
35	34	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) )
36		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( T ` z ) = ( T ` y ) )
37	36	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` y ) ) )
38	37	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
39	4	hlex 26631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X e. _V
40	39	mptex 6152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) e. _V
41	38, 22, 40	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
42	41	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) )
43		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( w P ( T ` y ) ) = ( x P ( T ` y ) ) )
44		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) )
45		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x P ( T ` y ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
47	42, 46	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
48	47	ad2ant2lr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
49		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
50		rsp2 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
52	51	impl 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
53	52	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
54	48, 53	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( T ` x ) P y ) )
55	54	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) )
56		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> y e. X )
57	4, 14	dipcl 26432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
58	3, 57	mp3an1 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
59	9, 56, 58	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
60	59	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) e. RR )
61	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
62	4, 10	nvcl 26369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
63	3, 62	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. X -> ( N ` y ) e. RR )
64	63	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
65	61, 64	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
66	4, 10, 14, 16	sii 26576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	9, 56, 66	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
68		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
69	4, 10	nvge0 26384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
70	3, 9, 69	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
71	12, 70	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
72	71	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
73		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) <_ 1 )
74		lemul2a 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N ` y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) ) /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
75	64, 68, 72, 73, 74	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
76	61	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
77	76	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) = ( N ` ( T ` x ) ) )
78	75, 77	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
79	60, 65, 61, 67, 78	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
80	55, 79	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
81	35, 80	sylan2b 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
82		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( w ` x ) )
83	82	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( w ` x ) ) )
84	83	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibcom 228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
87	32, 86	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
88	87	ralrimiv 2808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
89		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
90	89	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
91	90	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
92	12, 88, 91	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
93	92	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
94		imassrn 5185	. . . . . . . . 9 |- ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) C_ ran F
95	28, 94	eqsstri 3448	. . . . . . . 8 |- K C_ ran F
96		frn 5747	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
97	23, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
98	95, 97	syl5ss 3429	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ ( U BLnOp W ) )
99		hlobn 26621	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CBan )
100	2, 99	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- U e. CBan
101	17	cnnv 26389	. . . . . . . 8 |- W e. NrmCVec
102	17	cnnvnm 26394	. . . . . . . . 9 |- abs = ( normCV ` W )
103		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
104	4, 102, 103	ubth 26596	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CBan /\ W e. NrmCVec /\ K C_ ( U BLnOp W ) ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
105	100, 101, 104	mp3an12 1380	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( U BLnOp W ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
106	98, 105	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
107	93, 106	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y )
108		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
109		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( N ` z ) = ( N ` x ) )
110	109	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` x ) <_ 1 ) )
111	110	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
112	108, 111	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
113	22, 21	dmmptd 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = X )
114	113	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. X ) )
115	114	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom F )
116		funfvima 6157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
117	25, 116	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
118	115, 117	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
119	118	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
120	112, 119	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
121	120, 28	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. K )
122		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` w ) = ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
123	122	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y <-> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
124	123	rspcv 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. K -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
125	121, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
126	12	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
127	126, 126	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
128	23	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
129	17	cnnvba 26391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = ( BaseSet ` W )
130	4, 129, 103, 18	nmblore 26508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
131	3, 101, 130	mp3an12 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
133	132	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
134	133, 126	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
135		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> y e. RR )
136	135, 126	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
137		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( T ` z ) = ( T ` x ) )
138	137	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` x ) ) )
139	138	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = x -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
140	39	mptex 6152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) e. _V
141	139, 22, 140	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
142	141	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
143	142	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) )
144		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( T ` x ) -> ( w P ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
145		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) )
146		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T ` x ) e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
148	9, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
149	143, 148	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
150	149	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
151	9	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( T ` x ) e. X )
152	4, 10, 14	ipidsq 26430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
153	3, 151, 152	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
154	150, 153	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
155	154	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) )
156		resqcl 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
157		sqge0 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> 0 <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
158	156, 157	absidd 13561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
159	126, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
160	126	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
161	160	sqvald 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
162	155, 159, 161	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
163	128	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
164	4, 10, 102, 103, 18, 3, 101	nmblolbi 26522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
165	163, 151, 164	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
166	162, 165	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
167	3, 151, 69	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
168		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y )
169	133, 135, 126, 167, 168	lemul1ad 10568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
170	127, 134, 136, 166, 169	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
171		lemul1 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ y <-> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
172	171	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
173	172	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
174	173	expdimp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
175	126, 135, 126, 174	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
176	170, 175	mpid 41	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
177		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 e. RR )
178	4, 129, 18	blof 26507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
179	3, 101, 178	mp3an12 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
180	128, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
181	180	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
182	4, 129, 103	nmooge0 26489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) : X --> CC ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
183	3, 101, 182	mp3an12 1380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) : X --> CC -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
184	181, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
185	177, 133, 135, 184, 168	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ y )
186		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
187	185, 186	syl5ibcom 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
188		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
189		leloe 9738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
190	188, 126, 189	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
191	167, 190	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
192	176, 187, 191	mpjaod 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y )
193	192	expr 626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
194	193	adantrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
195	125, 194	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
196	195	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
197	196	com23 80	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
198	197	ralrimdva 2812	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
199	198	reximdva 2858	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
200	107, 199	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
201		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD U ) = ( U normOpOLD U )
202	4, 4, 10, 10, 201, 3, 3	nmobndi 26497	. . . . 5 |- ( T : X --> X -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
203	8, 202	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
204	200, 203	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR )
205		ltpnf 11445	. . 3 |- ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
206	204, 205	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
207		htth.4	. . . 4 |- B = ( U BLnOp U )
208	201, 5, 207	isblo 26504	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) ) )
209	3, 3, 208	mp2an 686	. 2 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) )
210	1, 206, 209	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   2c2 10681   ^cexp 12310   abscabs 13374   NrmCVeccnv 26284   BaseSetcba 26286   norm_CVcnmcv 26290   .iOLDcdip 26417   LnOp clno 26462   normOpOLDcnmoo 26463   BLnOp cblo 26464   CPreHil OLDccphlo 26534   CBanccbn 26585   CHilOLDchlo 26618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-dc 8894  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-fcls 21034  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-dip 26418  df-lno 26466  df-nmoo 26467  df-blo 26468  df-0o 26469  df-ph 26535  df-cbn 26586  df-hlo 26619

This theorem is referenced by:  htth  26652