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Theorem htthlem 26570
Description: Lemma for htth 26571. The collection  K, which consists of functions  F ( z ) ( w )  =  <. w  |  T
( z ) >.  =  <. T ( w )  |  z >. for each  z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 26497, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 26515, there is a uniform bound  y on  ||  F ( x )  || for all  x in the unit ball. Then  |  T (
x )  |  ^
2  =  <. T ( x )  |  T
( x ) >.  =  F ( x ) (  T ( x ) )  <_  y  |  T ( x )  |, so  |  T ( x )  |  <_  y and 
T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
htthlem.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
htthlem.6  |-  U  e. 
CHilOLD
htthlem.7  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
htthlem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
htthlem.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
htthlem.10  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
htthlem.11  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
Assertion
Ref Expression
htthlem  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    y, w, F    x, w, z, K, y    w, N, x, y, z    w, P, z    w, W, x, y, z    ph, w, x, y, z    w, T, x, y, z    w, U, x, y, z    w, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w)    P( x, y)    F( x, z)    L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
CHilOLD
32hlnvi 26544 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
64, 4, 5lnof 26396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> X )
73, 3, 6mp3an12 1354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> X )
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : X --> X )
98ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  e.  X )
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
114, 10nvcl 26288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
123, 9, 11sylancr 669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
138ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z )  e.  X )
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
15 hlph 26541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CPreHil OLD )
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
18 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
19 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z
) ) )
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 26497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  z )  e.  X  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
2321, 22fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( U 
BLnOp  W ) )
24 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  Fun  F )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Fun  F )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  K )
28 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
2927, 28syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )
30 fvelima 5917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3126, 29, 30syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  w  e.  K )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3231ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w ) )
33 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( N `  z )  =  ( N `  y ) )
3433breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  y )  <_  1
) )
3534elrab 3196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )
36 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  ( T `  z )  =  ( T `  y ) )
3736oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  y
) ) )
3837mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  y  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) )
394hlex 26550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X  e. 
_V
4039mptex 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  e.  _V
4138, 22, 40fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) ) )
4241fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `
 x ) )
43 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
w P ( T `
 y ) )  =  ( x P ( T `  y
) ) )
44 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) )
45 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x P ( T `  y ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4742, 46sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( F `  y ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4847ad2ant2lr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( x P ( T `
 y ) ) )
49 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
50 rsp2 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) ) )
5251impl 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )
5352adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5448, 53eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5554fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  =  ( abs `  ( ( T `  x ) P y ) ) )
56 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
y  e.  X )
574, 14dipcl 26351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P y )  e.  CC )
583, 57mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) P y )  e.  CC )
599, 56, 58syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( T `
 x ) P y )  e.  CC )
6059abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  e.  RR )
6112adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
624, 10nvcl 26288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
633, 62mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  X  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6463ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6561, 64remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  e.  RR )
664, 10, 14, 16sii 26495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
679, 56, 66syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
68 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
694, 10nvge0 26303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
703, 9, 69sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
7112, 70jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N `  ( T `  x )
) ) )
73 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  <_  1
)
74 lemul2a 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 y ) )  <_  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 ) )
7564, 68, 72, 73, 74syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  (
( N `  ( T `  x )
)  x.  1 ) )
7661recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  CC )
7776mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 )  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )
7875, 77breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
7960, 65, 61, 67, 78letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8055, 79eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8135, 80sylan2b 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  <_ 
( N `  ( T `  x )
) )
82 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( w `  x ) )
8382fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  =  ( abs `  (
w `  x )
) )
8483breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) )  <->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8581, 84syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8685rexlimdva 2879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8732, 86syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8887ralrimiv 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
89 breq2 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9089ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9190rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9212, 88, 91syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9392ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  z )
94 imassrn 5179 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } )  C_  ran  F
9528, 94eqsstri 3462 . . . . . . . 8  |-  K  C_  ran  F
96 frn 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  ran  F 
C_  ( U  BLnOp  W ) )
9723, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( U  BLnOp  W ) )
9895, 97syl5ss 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )
99 hlobn 26540 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CBan )
1002, 99ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
CBan
10117cnnv 26308 . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
10217cnnvnm 26313 . . . . . . . . 9  |-  abs  =  ( normCV `  W )
103 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
1044, 102, 103ubth 26515 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
105100, 101, 104mp3an12 1354 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y ) )
10698, 105syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
10793, 106mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y )
108 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e.  X  /\  ( N `
 x )  <_ 
1 ) )
109 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  z )  =  ( N `  x ) )
110109breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  x )  <_  1
) )
111110elrab 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )
112108, 111sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
11322, 21dmmptd 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
114113eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  X ) )
115114biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  F )
116 funfvima 6140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } ) ) )
11725, 116sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
118115, 117syldan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
119118ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
120112, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) )
121120, 28syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  K
)
122 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  w )  =  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
123122breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
)
124123rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  e.  K  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  <_ 
y ) )
125121, 124syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
12612ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  RR )
127126, 126remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
12823ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12917cnnvba 26310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  ( BaseSet `  W )
1304, 129, 103, 18nmblore 26427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
1313, 101, 130mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
133132ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
134133, 126remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
135 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
136135, 126remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
137 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  ( T `  z )  =  ( T `  x ) )
138137oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  x
) ) )
139138mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) )
14039mptex 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  e.  _V
141139, 22, 140fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
142141adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
143142fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) `  ( T `  x ) ) )
144 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( T `  x )  ->  (
w P ( T `
 x ) )  =  ( ( T `
 x ) P ( T `  x
) ) )
145 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) )
146 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  e. 
_V
147144, 145, 146fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T `  x )  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
1489, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
149143, 148eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
150149ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( T `  x
) P ( T `
 x ) ) )
1519ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( T `  x )  e.  X
)
1524, 10, 14ipidsq 26349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P ( T `
 x ) )  =  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )
1533, 151, 152sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
154150, 153eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )
155154fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( abs `  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
156 resqcl 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  (
( N `  ( T `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
157 sqge0 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
158156, 157absidd 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
159126, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) )
160126recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  CC )
161160sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
162155, 159, 1613eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
163128ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)
1644, 10, 102, 103, 18, 3, 101nmblolbi 26441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x ) `  ( T `  x ) ) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
165163, 151, 164syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
166162, 165eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
1673, 151, 69sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( N `  ( T `
 x ) ) )
168 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
169133, 135, 126, 167, 168lemul1ad 10546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
170127, 134, 136, 166, 169letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
171 lemul1 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  y  <->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) ) )
172171biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  y )
)
1731723expia 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  ( T `  x )
) )  ->  (
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
174173expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
175126, 135, 126, 174syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
176170, 175mpid 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
177 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  e.  RR )
1784, 129, 18blof 26426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1793, 101, 178mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
180128, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
181180ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1824, 129, 103nmooge0 26408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x ) : X --> CC )  ->  0  <_ 
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
) )
1833, 101, 182mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x ) : X --> CC  ->  0  <_  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
184181, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) ) )
185177, 133, 135, 184, 168letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  y )
186 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
187185, 186syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
188 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
189 leloe 9720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
190188, 126, 189sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
191167, 190mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) )
192176, 187, 191mpjaod 383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
)
193192expr 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
194193adantrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
195125, 194syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  y )
)
196195expr 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
197196com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
198197ralrimdva 2806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) ) )
199198reximdva 2862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
200107, 199mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
201 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD U )  =  ( U normOpOLD U
)
2024, 4, 10, 10, 201, 3, 3nmobndi 26416 . . . . 5  |-  ( T : X --> X  -> 
( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
2038, 202syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
204200, 203mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  e.  RR )
205 ltpnf 11422 . . 3  |-  ( ( ( U normOpOLD U
) `  T )  e.  RR  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T )  < +oo )
206204, 205syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  < +oo )
207 htth.4 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
208201, 5, 207isblo 26423 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) ) )
2093, 3, 208mp2an 678 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) )
2101, 206, 209sylanbrc 670 1  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676   2c2 10659   ^cexp 12272   abscabs 13297   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   normCVcnmcv 26209   .iOLDcdip 26336    LnOp clno 26381   normOpOLDcnmoo 26382    BLnOp cblo 26383   CPreHil OLDccphlo 26453   CBanccbn 26504   CHilOLDchlo 26537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-dc 8876  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-lm 20245  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-dip 26337  df-lno 26385  df-nmoo 26386  df-blo 26387  df-0o 26388  df-ph 26454  df-cbn 26505  df-hlo 26538
This theorem is referenced by:  htth  26571
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