Theorem htthlem 22373

Description: Lemma for htth 22374. The collection K, which consists of functions F ( z ) ( w ) = <. w | T ( z ) >. = <. T ( w ) | z >. for each z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 22310, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 22328, there is a uniform bound y on || F ( x ) || for all x in the unit ball. Then | T ( x ) | ^ 2 = <. T ( x ) | T ( x ) >. = F ( x ) ( T ( x ) ) <_ y | T ( x ) |, so | T ( x ) | <_ y and T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
htth.2	|- P = ( .i OLD ` U )
htth.3	|- L = ( U LnOp U )
htth.4	|- B = ( U BLnOp U )
htthlem.5	|- N = ( normCV ` U )
htthlem.6	|- U e. CHil OLD
htthlem.7	|- W = <. <. + , x. >. , abs >.
htthlem.8	|- ( ph -> T e. L )
htthlem.9	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
htthlem.10	|- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
htthlem.11	|- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )

Assertion

Ref	Expression
htthlem	|- ( ph -> T e. B )

Distinct variable groups:   y, w, F   x, w, z, K, y   w, N, x, y, z   w, P, z   w, W, x, y, z   ph, w, x, y, z   w, T, x, y, z   w, U, x, y, z   w, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w)   P( x, y)   F( x, z)   L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 |- ( ph -> T e. L )
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 |- U e. CHil OLD
3	2	hlnvi 22347	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( BaseSet ` U )
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( U LnOp U )
6	4, 4, 5	lnof 22209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> X )
7	3, 3, 6	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> T : X --> X )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : X --> X )
9	8	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T ` x ) e. X )
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
11	4, 10	nvcl 22101	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
12	3, 9, 11	sylancr 645	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	8	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( T ` z ) e. X )
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( .i OLD ` U )
15		hlph 22344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. CHil OLD -> U e. CPreHil OLD )
16	2, 15	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U e. CPreHil OLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = <. <. + , x. >. , abs >.
18		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
19		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) )
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 22310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` z ) e. X -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
21	13, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
23	21, 22	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> ( U BLnOp W ) )
24		ffun 5552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> Fun F )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun F )
26	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Fun F )
27		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. K -> w e. K )
28		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
29	27, 28	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. K -> w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
30		fvelima 5737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
31	26, 29, 30	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ w e. K ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
32	31	ex 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w ) )
33		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( N ` z ) = ( N ` y ) )
34	33	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` y ) <_ 1 ) )
35	34	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) )
36		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( T ` z ) = ( T ` y ) )
37	36	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` y ) ) )
38	37	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
39	4	hlex 22353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X e. _V
40	39	mptex 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) e. _V
41	38, 22, 40	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
42	41	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) )
43		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( w P ( T ` y ) ) = ( x P ( T ` y ) ) )
44		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) )
45		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x P ( T ` y ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
47	42, 46	sylan9eqr 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
48	47	ad2ant2lr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
49		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
50		rsp2 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
52	51	impl 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
53	52	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
54	48, 53	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( T ` x ) P y ) )
55	54	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) )
56		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> y e. X )
57	4, 14	dipcl 22164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
58	3, 57	mp3an1 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
59	9, 56, 58	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
60	59	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) e. RR )
61	12	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
62	4, 10	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
63	3, 62	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. X -> ( N ` y ) e. RR )
64	63	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
65	61, 64	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
66	4, 10, 14, 16	sii 22308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	9, 56, 66	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
68		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
70	4, 10	nvge0 22116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
71	3, 9, 70	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
72	12, 71	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
73	72	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
74		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) <_ 1 )
75		lemul2a 9821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N ` y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) ) /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
76	64, 69, 73, 74, 75	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
77	61	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
78	77	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) = ( N ` ( T ` x ) ) )
79	76, 78	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
80	60, 65, 61, 67, 79	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
81	55, 80	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
82	35, 81	sylan2b 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
83		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( w ` x ) )
84	83	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( w ` x ) ) )
85	84	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
86	82, 85	syl5ibcom 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
87	86	rexlimdva 2790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
88	32, 87	syld 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
89	88	ralrimiv 2748	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
90		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
91	90	ralbidv 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
92	91	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
93	12, 89, 92	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
94	93	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
95		imassrn 5175	. . . . . . . . 9 |- ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) C_ ran F
96	28, 95	eqsstri 3338	. . . . . . . 8 |- K C_ ran F
97		frn 5556	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
98	23, 97	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
99	96, 98	syl5ss 3319	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ ( U BLnOp W ) )
100		hlobn 22343	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CHil OLD -> U e. CBan )
101	2, 100	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- U e. CBan
102	17	cnnv 22121	. . . . . . . 8 |- W e. NrmCVec
103	17	cnnvnm 22126	. . . . . . . . 9 |- abs = ( normCV ` W )
104		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( U normOp OLD W ) = ( U normOp OLD W )
105	4, 103, 104	ubth 22328	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CBan /\ W e. NrmCVec /\ K C_ ( U BLnOp W ) ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y ) )
106	101, 102, 105	mp3an12 1269	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( U BLnOp W ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y ) )
107	99, 106	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y ) )
108	94, 107	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y )
109		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
110		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( N ` z ) = ( N ` x ) )
111	110	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` x ) <_ 1 ) )
112	111	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
113	109, 112	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
114		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> dom F = X )
115	23, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = X )
116	115	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. X ) )
117	116	biimpar 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom F )
118		funfvima 5932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
119	25, 118	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
120	117, 119	syldan 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
121	120	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
122	113, 121	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
123	122, 28	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. K )
124		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` w ) = ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) )
125	124	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y <-> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
126	125	rspcv 3008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. K -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
127	123, 126	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
128	12	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
129	128, 128	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
130	23	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
131	17	cnnvba 22123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = ( BaseSet ` W )
132	4, 131, 104, 18	nmblore 22240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
133	3, 102, 132	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
134	130, 133	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
135	134	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
136	135, 128	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
137		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> y e. RR )
138	137, 128	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
139		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( T ` z ) = ( T ` x ) )
140	139	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` x ) ) )
141	140	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = x -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
142	39	mptex 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) e. _V
143	141, 22, 142	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
144	143	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
145	144	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) )
146		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( T ` x ) -> ( w P ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
147		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) )
148		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) e. _V
149	146, 147, 148	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T ` x ) e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
150	9, 149	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
151	145, 150	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
152	151	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
153	9	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( T ` x ) e. X )
154	4, 10, 14	ipidsq 22162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
155	3, 153, 154	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
156	152, 155	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
157	156	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) )
158		resqcl 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
159		sqge0 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> 0 <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
160	158, 159	absidd 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
161	128, 160	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
162	128	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
163	162	sqvald 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
164	157, 161, 163	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
165	130	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
166	4, 10, 103, 104, 18, 3, 102	nmblolbi 22254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
167	165, 153, 166	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
168	164, 167	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
169	3, 153, 70	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
170		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y )
171	135, 137, 128, 169, 170	lemul1ad 9906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
172	129, 136, 138, 168, 171	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
173		lemul1 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ y <-> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
174	173	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
175	174	3expia 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
176	175	expdimp 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
177	128, 137, 128, 176	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
178	172, 177	mpid 39	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
179		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
180	179	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 e. RR )
181	4, 131, 18	blof 22239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
182	3, 102, 181	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
183	130, 182	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
184	183	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
185	4, 131, 104	nmooge0 22221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) : X --> CC ) -> 0 <_ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) )
186	3, 102, 185	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) : X --> CC -> 0 <_ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) )
187	184, 186	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) )
188	180, 135, 137, 187, 170	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ y )
189		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
190	188, 189	syl5ibcom 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
191		leloe 9117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
192	179, 128, 191	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
193	169, 192	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
194	178, 190, 193	mpjaod 371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y )
195	194	expr 599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
196	195	adantrr 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
197	127, 196	syld 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
198	197	expr 599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
199	198	com23 74	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
200	199	ralrimdva 2756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
201	200	reximdva 2778	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOp OLD W ) ` w ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
202	108, 201	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
203		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( U normOp OLD U ) = ( U normOp OLD U )
204	4, 4, 10, 10, 203, 3, 3	nmobndi 22229	. . . . 5 |- ( T : X --> X -> ( ( ( U normOp OLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
205	8, 204	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U normOp OLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
206	202, 205	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> ( ( U normOp OLD U ) ` T ) e. RR )
207		ltpnf 10677	. . 3 |- ( ( ( U normOp OLD U ) ` T ) e. RR -> ( ( U normOp OLD U ) ` T ) < +oo )
208	206, 207	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( U normOp OLD U ) ` T ) < +oo )
209		htth.4	. . . 4 |- B = ( U BLnOp U )
210	203, 5, 209	isblo 22236	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOp OLD U ) ` T ) < +oo ) ) )
211	3, 3, 210	mp2an 654	. 2 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOp OLD U ) ` T ) < +oo ) )
212	1, 208, 211	sylanbrc 646	1 |- ( ph -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   < clt 9076   <_ cle 9077   2c2 10005   ^cexp 11337   abscabs 11994   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   norm_CVcnmcv 22022   .i OLDcdip 22149   LnOp clno 22194   normOp OLDcnmoo 22195   BLnOp cblo 22196   CPreHil OLDccphlo 22266   CBanccbn 22317   CHil OLDchlo 22340

This theorem is referenced by:  htth  22374

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-dc 8282  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-t1 17332  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-fcls 17926  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hlo 22341