Theorem htthlem 25960

Description: Lemma for htth 25961. The collection K, which consists of functions F ( z ) ( w ) = <. w | T ( z ) >. = <. T ( w ) | z >. for each z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 25897, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 25915, there is a uniform bound y on || F ( x ) || for all x in the unit ball. Then | T ( x ) | ^ 2 = <. T ( x ) | T ( x ) >. = F ( x ) ( T ( x ) ) <_ y | T ( x ) |, so | T ( x ) | <_ y and T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
htth.2	|- P = ( .iOLD ` U )
htth.3	|- L = ( U LnOp U )
htth.4	|- B = ( U BLnOp U )
htthlem.5	|- N = ( normCV ` U )
htthlem.6	|- U e. CHilOLD
htthlem.7	|- W = <. <. + , x. >. , abs >.
htthlem.8	|- ( ph -> T e. L )
htthlem.9	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
htthlem.10	|- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
htthlem.11	|- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )

Assertion

Ref	Expression
htthlem	|- ( ph -> T e. B )

Distinct variable groups:   y, w, F   x, w, z, K, y   w, N, x, y, z   w, P, z   w, W, x, y, z   ph, w, x, y, z   w, T, x, y, z   w, U, x, y, z   w, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w)   P( x, y)   F( x, z)   L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 |- ( ph -> T e. L )
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 |- U e. CHilOLD
3	2	hlnvi 25934	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( BaseSet ` U )
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( U LnOp U )
6	4, 4, 5	lnof 25796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> X )
7	3, 3, 6	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> T : X --> X )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : X --> X )
9	8	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T ` x ) e. X )
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
11	4, 10	nvcl 25688	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
12	3, 9, 11	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	8	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( T ` z ) e. X )
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( .iOLD ` U )
15		hlph 25931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CPreHil OLD )
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U e. CPreHil OLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = <. <. + , x. >. , abs >.
18		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
19		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) )
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 25897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` z ) e. X -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
21	13, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
23	21, 22	fmptd 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> ( U BLnOp W ) )
24		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> Fun F )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun F )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Fun F )
27		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. K -> w e. K )
28		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
29	27, 28	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. K -> w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
30		fvelima 5925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
31	26, 29, 30	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ w e. K ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
32	31	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w ) )
33		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( N ` z ) = ( N ` y ) )
34	33	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` y ) <_ 1 ) )
35	34	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) )
36		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( T ` z ) = ( T ` y ) )
37	36	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` y ) ) )
38	37	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
39	4	hlex 25940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X e. _V
40	39	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) e. _V
41	38, 22, 40	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
42	41	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) )
43		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( w P ( T ` y ) ) = ( x P ( T ` y ) ) )
44		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) )
45		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x P ( T ` y ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
47	42, 46	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
48	47	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
49		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
50		rsp2 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
52	51	impl 620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
53	52	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
54	48, 53	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( T ` x ) P y ) )
55	54	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) )
56		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> y e. X )
57	4, 14	dipcl 25751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
58	3, 57	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
59	9, 56, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
60	59	abscld 13278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) e. RR )
61	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
62	4, 10	nvcl 25688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
63	3, 62	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. X -> ( N ` y ) e. RR )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
65	61, 64	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
66	4, 10, 14, 16	sii 25895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	9, 56, 66	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
68		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
69	4, 10	nvge0 25703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
70	3, 9, 69	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
71	12, 70	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
73		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) <_ 1 )
74		lemul2a 10418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N ` y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) ) /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
75	64, 68, 72, 73, 74	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
76	61	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
77	76	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) = ( N ` ( T ` x ) ) )
78	75, 77	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
79	60, 65, 61, 67, 78	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
80	55, 79	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
81	35, 80	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
82		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( w ` x ) )
83	82	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( w ` x ) ) )
84	83	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
87	32, 86	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
88	87	ralrimiv 2869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
89		breq2 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
90	89	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
91	90	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
92	12, 88, 91	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
93	92	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
94		imassrn 5358	. . . . . . . . 9 |- ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) C_ ran F
95	28, 94	eqsstri 3529	. . . . . . . 8 |- K C_ ran F
96		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
97	23, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
98	95, 97	syl5ss 3510	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ ( U BLnOp W ) )
99		hlobn 25930	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CBan )
100	2, 99	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- U e. CBan
101	17	cnnv 25708	. . . . . . . 8 |- W e. NrmCVec
102	17	cnnvnm 25713	. . . . . . . . 9 |- abs = ( normCV ` W )
103		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
104	4, 102, 103	ubth 25915	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CBan /\ W e. NrmCVec /\ K C_ ( U BLnOp W ) ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
105	100, 101, 104	mp3an12 1314	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( U BLnOp W ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
106	98, 105	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
107	93, 106	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y )
108		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
109		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( N ` z ) = ( N ` x ) )
110	109	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` x ) <_ 1 ) )
111	110	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
112	108, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
113	22, 21	dmmptd 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = X )
114	113	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. X ) )
115	114	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom F )
116		funfvima 6148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
117	25, 116	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
118	115, 117	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
119	118	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
120	112, 119	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
121	120, 28	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. K )
122		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` w ) = ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
123	122	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y <-> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
124	123	rspcv 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. K -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
125	121, 124	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
126	12	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
127	126, 126	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
128	23	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
129	17	cnnvba 25710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = ( BaseSet ` W )
130	4, 129, 103, 18	nmblore 25827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
131	3, 101, 130	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
132	128, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
133	132	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
134	133, 126	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
135		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> y e. RR )
136	135, 126	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
137		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( T ` z ) = ( T ` x ) )
138	137	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` x ) ) )
139	138	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = x -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
140	39	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) e. _V
141	139, 22, 140	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
142	141	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
143	142	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) )
144		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( T ` x ) -> ( w P ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
145		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) )
146		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T ` x ) e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
148	9, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
149	143, 148	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
150	149	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
151	9	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( T ` x ) e. X )
152	4, 10, 14	ipidsq 25749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
153	3, 151, 152	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
154	150, 153	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
155	154	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) )
156		resqcl 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
157		sqge0 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> 0 <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
158	156, 157	absidd 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
159	126, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
160	126	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
161	160	sqvald 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
162	155, 159, 161	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
163	128	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
164	4, 10, 102, 103, 18, 3, 101	nmblolbi 25841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
165	163, 151, 164	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
166	162, 165	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
167	3, 151, 69	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
168		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y )
169	133, 135, 126, 167, 168	lemul1ad 10505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
170	127, 134, 136, 166, 169	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
171		lemul1 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ y <-> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
172	171	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
173	172	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
174	173	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
175	126, 135, 126, 174	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
176	170, 175	mpid 41	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
177		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 e. RR )
178	4, 129, 18	blof 25826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
179	3, 101, 178	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
180	128, 179	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
181	180	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
182	4, 129, 103	nmooge0 25808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) : X --> CC ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
183	3, 101, 182	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) : X --> CC -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
184	181, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
185	177, 133, 135, 184, 168	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ y )
186		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
187	185, 186	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
188		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
189		leloe 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
190	188, 126, 189	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
191	167, 190	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
192	176, 187, 191	mpjaod 381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y )
193	192	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
194	193	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
195	125, 194	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
196	195	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
197	196	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
198	197	ralrimdva 2875	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
199	198	reximdva 2932	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
200	107, 199	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
201		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD U ) = ( U normOpOLD U )
202	4, 4, 10, 10, 201, 3, 3	nmobndi 25816	. . . . 5 |- ( T : X --> X -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
203	8, 202	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
204	200, 203	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR )
205		ltpnf 11356	. . 3 |- ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
206	204, 205	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
207		htth.4	. . . 4 |- B = ( U BLnOp U )
208	201, 5, 207	isblo 25823	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) ) )
209	3, 3, 208	mp2an 672	. 2 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) )
210	1, 206, 209	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   2c2 10606   ^cexp 12168   abscabs 13078   NrmCVeccnv 25603   BaseSetcba 25605   norm_CVcnmcv 25609   .iOLDcdip 25736   LnOp clno 25781   normOpOLDcnmoo 25782   BLnOp cblo 25783   CPreHil OLDccphlo 25853   CBanccbn 25904   CHilOLDchlo 25927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-dc 8843  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-t1 19941  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-fcls 20567  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737  df-lno 25785  df-nmoo 25786  df-blo 25787  df-0o 25788  df-ph 25854  df-cbn 25905  df-hlo 25928

This theorem is referenced by:  htth  25961