Theorem htthlem 26405

Description: Lemma for htth 26406. The collection K, which consists of functions F ( z ) ( w ) = <. w | T ( z ) >. = <. T ( w ) | z >. for each z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 26342, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 26360, there is a uniform bound y on || F ( x ) || for all x in the unit ball. Then | T ( x ) | ^ 2 = <. T ( x ) | T ( x ) >. = F ( x ) ( T ( x ) ) <_ y | T ( x ) |, so | T ( x ) | <_ y and T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
htth.2	|- P = ( .iOLD ` U )
htth.3	|- L = ( U LnOp U )
htth.4	|- B = ( U BLnOp U )
htthlem.5	|- N = ( normCV ` U )
htthlem.6	|- U e. CHilOLD
htthlem.7	|- W = <. <. + , x. >. , abs >.
htthlem.8	|- ( ph -> T e. L )
htthlem.9	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
htthlem.10	|- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
htthlem.11	|- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )

Assertion

Ref	Expression
htthlem	|- ( ph -> T e. B )

Distinct variable groups:   y, w, F   x, w, z, K, y   w, N, x, y, z   w, P, z   w, W, x, y, z   ph, w, x, y, z   w, T, x, y, z   w, U, x, y, z   w, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w)   P( x, y)   F( x, z)   L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 |- ( ph -> T e. L )
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 |- U e. CHilOLD
3	2	hlnvi 26379	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( BaseSet ` U )
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( U LnOp U )
6	4, 4, 5	lnof 26241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> X )
7	3, 3, 6	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> T : X --> X )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : X --> X )
9	8	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T ` x ) e. X )
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
11	4, 10	nvcl 26133	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
12	3, 9, 11	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	8	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( T ` z ) e. X )
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( .iOLD ` U )
15		hlph 26376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CPreHil OLD )
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U e. CPreHil OLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = <. <. + , x. >. , abs >.
18		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
19		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) )
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 26342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` z ) e. X -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
23	21, 22	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> ( U BLnOp W ) )
24		ffun 5748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> Fun F )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun F )
26	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Fun F )
27		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. K -> w e. K )
28		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
29	27, 28	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. K -> w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
30		fvelima 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
31	26, 29, 30	syl2an 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ w e. K ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
32	31	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w ) )
33		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( N ` z ) = ( N ` y ) )
34	33	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` y ) <_ 1 ) )
35	34	elrab 3235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) )
36		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( T ` z ) = ( T ` y ) )
37	36	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` y ) ) )
38	37	mpteq2dv 4513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
39	4	hlex 26385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X e. _V
40	39	mptex 6151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) e. _V
41	38, 22, 40	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
42	41	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) )
43		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( w P ( T ` y ) ) = ( x P ( T ` y ) ) )
44		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) )
45		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x P ( T ` y ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
47	42, 46	sylan9eqr 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
48	47	ad2ant2lr 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
49		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
50		rsp2 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
52	51	impl 624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
53	52	adantrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
54	48, 53	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( T ` x ) P y ) )
55	54	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) )
56		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> y e. X )
57	4, 14	dipcl 26196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
58	3, 57	mp3an1 1347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
59	9, 56, 58	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
60	59	abscld 13476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) e. RR )
61	12	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
62	4, 10	nvcl 26133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
63	3, 62	mpan 674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. X -> ( N ` y ) e. RR )
64	63	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
65	61, 64	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
66	4, 10, 14, 16	sii 26340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	9, 56, 66	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
68		1red 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
69	4, 10	nvge0 26148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
70	3, 9, 69	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
71	12, 70	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
73		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) <_ 1 )
74		lemul2a 10459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N ` y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) ) /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
75	64, 68, 72, 73, 74	syl31anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
76	61	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
77	76	mulid1d 9659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) = ( N ` ( T ` x ) ) )
78	75, 77	breqtrd 4450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
79	60, 65, 61, 67, 78	letrd 9791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
80	55, 79	eqbrtrd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
81	35, 80	sylan2b 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
82		fveq1 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( w ` x ) )
83	82	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( w ` x ) ) )
84	83	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
87	32, 86	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
88	87	ralrimiv 2844	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
89		breq2 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
90	89	ralbidv 2871	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
91	90	rspcev 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
92	12, 88, 91	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
93	92	ralrimiva 2846	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
94		imassrn 5199	. . . . . . . . 9 |- ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) C_ ran F
95	28, 94	eqsstri 3500	. . . . . . . 8 |- K C_ ran F
96		frn 5752	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
97	23, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
98	95, 97	syl5ss 3481	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ ( U BLnOp W ) )
99		hlobn 26375	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CBan )
100	2, 99	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- U e. CBan
101	17	cnnv 26153	. . . . . . . 8 |- W e. NrmCVec
102	17	cnnvnm 26158	. . . . . . . . 9 |- abs = ( normCV ` W )
103		eqid 2429	. . . . . . . . 9 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
104	4, 102, 103	ubth 26360	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CBan /\ W e. NrmCVec /\ K C_ ( U BLnOp W ) ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
105	100, 101, 104	mp3an12 1350	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( U BLnOp W ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
106	98, 105	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
107	93, 106	mpbid 213	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y )
108		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
109		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( N ` z ) = ( N ` x ) )
110	109	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` x ) <_ 1 ) )
111	110	elrab 3235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
112	108, 111	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
113	22, 21	dmmptd 5726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = X )
114	113	eleq2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. X ) )
115	114	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom F )
116		funfvima 6155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
117	25, 116	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
118	115, 117	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
119	118	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
120	112, 119	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
121	120, 28	syl6eleqr 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. K )
122		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` w ) = ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
123	122	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y <-> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
124	123	rspcv 3184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. K -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
125	121, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
126	12	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
127	126, 126	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
128	23	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
129	17	cnnvba 26155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = ( BaseSet ` W )
130	4, 129, 103, 18	nmblore 26272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
131	3, 101, 130	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
133	132	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
134	133, 126	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
135		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> y e. RR )
136	135, 126	remulcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
137		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( T ` z ) = ( T ` x ) )
138	137	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` x ) ) )
139	138	mpteq2dv 4513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = x -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
140	39	mptex 6151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) e. _V
141	139, 22, 140	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
142	141	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
143	142	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) )
144		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( T ` x ) -> ( w P ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
145		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) )
146		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T ` x ) e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
148	9, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
149	143, 148	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
150	149	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
151	9	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( T ` x ) e. X )
152	4, 10, 14	ipidsq 26194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
153	3, 151, 152	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
154	150, 153	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
155	154	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) )
156		resqcl 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
157		sqge0 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> 0 <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
158	156, 157	absidd 13463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
159	126, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
160	126	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
161	160	sqvald 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
162	155, 159, 161	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
163	128	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
164	4, 10, 102, 103, 18, 3, 101	nmblolbi 26286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
165	163, 151, 164	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
166	162, 165	eqbrtrrd 4448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
167	3, 151, 69	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
168		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y )
169	133, 135, 126, 167, 168	lemul1ad 10546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
170	127, 134, 136, 166, 169	letrd 9791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
171		lemul1 10456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ y <-> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
172	171	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
173	172	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
174	173	expdimp 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
175	126, 135, 126, 174	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
176	170, 175	mpid 42	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
177		0red 9643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 e. RR )
178	4, 129, 18	blof 26271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
179	3, 101, 178	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
180	128, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
181	180	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
182	4, 129, 103	nmooge0 26253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) : X --> CC ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
183	3, 101, 182	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) : X --> CC -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
184	181, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
185	177, 133, 135, 184, 168	letrd 9791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ y )
186		breq1 4429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
187	185, 186	syl5ibcom 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
188		0re 9642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
189		leloe 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
190	188, 126, 189	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
191	167, 190	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
192	176, 187, 191	mpjaod 382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y )
193	192	expr 618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
194	193	adantrr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
195	125, 194	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
196	195	expr 618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
197	196	com23 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
198	197	ralrimdva 2850	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
199	198	reximdva 2907	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
200	107, 199	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
201		eqid 2429	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD U ) = ( U normOpOLD U )
202	4, 4, 10, 10, 201, 3, 3	nmobndi 26261	. . . . 5 |- ( T : X --> X -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
203	8, 202	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
204	200, 203	mpbird 235	. . 3 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR )
205		ltpnf 11422	. . 3 |- ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
206	204, 205	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
207		htth.4	. . . 4 |- B = ( U BLnOp U )
208	201, 5, 207	isblo 26268	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) ) )
209	3, 3, 208	mp2an 676	. 2 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) )
210	1, 206, 209	sylanbrc 668	1 |- ( ph -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   C_ wss 3442   <.cop 4008   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   +oocpnf 9671   < clt 9674   <_ cle 9675   2c2 10659   ^cexp 12269   abscabs 13276   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   norm_CVcnmcv 26054   .iOLDcdip 26181   LnOp clno 26226   normOpOLDcnmoo 26227   BLnOp cblo 26228   CPreHil OLDccphlo 26298   CBanccbn 26349   CHilOLDchlo 26372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-dc 8874  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-t1 20261  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-fcls 20887  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-lno 26230  df-nmoo 26231  df-blo 26232  df-0o 26233  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hlo 26373

This theorem is referenced by:  htth  26406