Theorem htthlem 24254

Description: Lemma for htth 24255. The collection K, which consists of functions F ( z ) ( w ) = <. w | T ( z ) >. = <. T ( w ) | z >. for each z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 24191, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 24209, there is a uniform bound y on || F ( x ) || for all x in the unit ball. Then | T ( x ) | ^ 2 = <. T ( x ) | T ( x ) >. = F ( x ) ( T ( x ) ) <_ y | T ( x ) |, so | T ( x ) | <_ y and T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
htth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
htth.2	|- P = ( .iOLD ` U )
htth.3	|- L = ( U LnOp U )
htth.4	|- B = ( U BLnOp U )
htthlem.5	|- N = ( normCV ` U )
htthlem.6	|- U e. CHilOLD
htthlem.7	|- W = <. <. + , x. >. , abs >.
htthlem.8	|- ( ph -> T e. L )
htthlem.9	|- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
htthlem.10	|- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
htthlem.11	|- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )

Assertion

Ref	Expression
htthlem	|- ( ph -> T e. B )

Distinct variable groups:   y, w, F   x, w, z, K, y   w, N, x, y, z   w, P, z   w, W, x, y, z   ph, w, x, y, z   w, T, x, y, z   w, U, x, y, z   w, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, w)   P( x, y)   F( x, z)   L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem.8	. 2 |- ( ph -> T e. L )
2		htthlem.6	. . . . . . . . . 10 |- U e. CHilOLD
3	2	hlnvi 24228	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		htth.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( BaseSet ` U )
5		htth.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( U LnOp U )
6	4, 4, 5	lnof 24090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> X )
7	3, 3, 6	mp3an12 1299	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> T : X --> X )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T : X --> X )
9	8	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T ` x ) e. X )
10		htthlem.5	. . . . . . . . . 10 |- N = ( normCV ` U )
11	4, 10	nvcl 23982	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
12	3, 9, 11	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	8	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( T ` z ) e. X )
14		htth.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- P = ( .iOLD ` U )
15		hlph 24225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CPreHil OLD )
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U e. CPreHil OLD
17		htthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- W = <. <. + , x. >. , abs >.
18		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
19		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) )
20	4, 14, 16, 17, 18, 19	ipblnfi 24191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T ` z ) e. X -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
21	13, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) e. ( U BLnOp W ) )
22		htthlem.10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( z e. X |-> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) )
23	21, 22	fmptd 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : X --> ( U BLnOp W ) )
24		ffun 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> Fun F )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun F )
26	25	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Fun F )
27		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. K -> w e. K )
28		htthlem.11	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
29	27, 28	syl6eleq 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. K -> w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
30		fvelima 5740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
31	26, 29, 30	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ w e. K ) -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w )
32	31	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w ) )
33		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( N ` z ) = ( N ` y ) )
34	33	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` y ) <_ 1 ) )
35	34	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) )
36		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( T ` z ) = ( T ` y ) )
37	36	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` y ) ) )
38	37	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
39	4	hlex 24234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- X e. _V
40	39	mptex 5945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) e. _V
41	38, 22, 40	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) )
42	41	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. X -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) )
43		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( w P ( T ` y ) ) = ( x P ( T ` y ) ) )
44		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) )
45		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x P ( T ` y ) ) e. _V
46	43, 44, 45	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` y ) ) ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
47	42, 46	sylan9eqr 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
48	47	ad2ant2lr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( x P ( T ` y ) ) )
49		htthlem.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
50		rsp2 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. X A. y e. X ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) ) )
52	51	impl 617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
53	52	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( x P ( T ` y ) ) = ( ( T ` x ) P y ) )
54	48, 53	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( ( T ` x ) P y ) )
55	54	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) )
56		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> y e. X )
57	4, 14	dipcl 24045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
58	3, 57	mp3an1 1296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
59	9, 56, 58	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( T ` x ) P y ) e. CC )
60	59	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) e. RR )
61	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
62	4, 10	nvcl 23982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
63	3, 62	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. X -> ( N ` y ) e. RR )
64	63	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
65	61, 64	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
66	4, 10, 14, 16	sii 24189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. X /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	9, 56, 66	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) )
68		1red 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> 1 e. RR )
69	4, 10	nvge0 23997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
70	3, 9, 69	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
71	12, 70	jca 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
72	71	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
73		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` y ) <_ 1 )
74		lemul2a 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N ` y ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) ) /\ ( N ` y ) <_ 1 ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
75	64, 68, 72, 73, 74	syl31anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) )
76	61	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
77	76	mulid1d 9399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. 1 ) = ( N ` ( T ` x ) ) )
78	75, 77	breqtrd 4313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
79	60, 65, 61, 67, 78	letrd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( T ` x ) P y ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
80	55, 79	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ ( N ` y ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
81	35, 80	sylan2b 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
82		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) ` x ) = ( w ` x ) )
83	82	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) = ( abs ` ( w ` x ) ) )
84	83	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
85	81, 84	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
86	85	rexlimdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E. y e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ( F ` y ) = w -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
87	32, 86	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( w e. K -> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
88	87	ralrimiv 2796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
89		breq2 4293	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
90	89	ralbidv 2733	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) )
91	90	rspcev 3070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ ( N ` ( T ` x ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
92	12, 88, 91	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
93	92	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z )
94		imassrn 5177	. . . . . . . . 9 |- ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) C_ ran F
95	28, 94	eqsstri 3383	. . . . . . . 8 |- K C_ ran F
96		frn 5562	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
97	23, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F C_ ( U BLnOp W ) )
98	95, 97	syl5ss 3364	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ ( U BLnOp W ) )
99		hlobn 24224	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CHilOLD -> U e. CBan )
100	2, 99	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- U e. CBan
101	17	cnnv 24002	. . . . . . . 8 |- W e. NrmCVec
102	17	cnnvnm 24007	. . . . . . . . 9 |- abs = ( normCV ` W )
103		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
104	4, 102, 103	ubth 24209	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. CBan /\ W e. NrmCVec /\ K C_ ( U BLnOp W ) ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
105	100, 101, 104	mp3an12 1299	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( U BLnOp W ) -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
106	98, 105	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X E. z e. RR A. w e. K ( abs ` ( w ` x ) ) <_ z <-> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y ) )
107	93, 106	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y )
108		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
109		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( N ` z ) = ( N ` x ) )
110	109	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( ( N ` z ) <_ 1 <-> ( N ` x ) <_ 1 ) )
111	110	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } <-> ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) )
112	108, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } )
113		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X --> ( U BLnOp W ) -> dom F = X )
114	23, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = X )
115	114	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. dom F <-> x e. X ) )
116	115	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. dom F )
117		funfvima 5949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
118	25, 117	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
119	116, 118	syldan 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
120	119	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( x e. { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) ) )
121	112, 120	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. ( F " { z e. X | ( N ` z ) <_ 1 } ) )
122	121, 28	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( F ` x ) e. K )
123		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` w ) = ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
124	123	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` x ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y <-> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
125	124	rspcv 3066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. K -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
126	122, 125	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
127	12	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. RR )
128	127, 127	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
129	23	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
130	17	cnnvba 24004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = ( BaseSet ` W )
131	4, 130, 103, 18	nmblore 24121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
132	3, 101, 131	mp3an12 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
133	129, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
134	133	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
135	134, 127	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
136		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> y e. RR )
137	136, 127	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) e. RR )
138		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( T ` z ) = ( T ` x ) )
139	138	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( w P ( T ` z ) ) = ( w P ( T ` x ) ) )
140	139	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = x -> ( w e. X |-> ( w P ( T ` z ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
141	39	mptex 5945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) e. _V
142	140, 22, 141	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
143	142	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) )
144	143	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) )
145		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( T ` x ) -> ( w P ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
146		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) = ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) )
147		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) e. _V
148	145, 146, 147	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T ` x ) e. X -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
149	9, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( w e. X |-> ( w P ( T ` x ) ) ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
150	144, 149	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
151	150	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) )
152	9	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( T ` x ) e. X )
153	4, 10, 14	ipidsq 24043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
154	3, 152, 153	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( T ` x ) P ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
155	151, 154	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
156	155	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) )
157		resqcl 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
158		sqge0 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> 0 <_ ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
159	157, 158	absidd 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
160	127, 159	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) )
161	127	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) e. CC )
162	161	sqvald 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
163	156, 160, 162	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) = ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
164	129	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) )
165	4, 10, 102, 103, 18, 3, 101	nmblolbi 24135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) /\ ( T ` x ) e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
166	164, 152, 165	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
167	163, 166	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
168	3, 152, 69	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) )
169		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y )
170	134, 136, 127, 168, 169	lemul1ad 10268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
171	128, 135, 137, 167, 170	letrd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) )
172		lemul1 10177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( N ` ( T ` x ) ) <_ y <-> ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
173	172	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
174	173	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ 0 < ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
175	174	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N ` ( T ` x ) ) e. RR /\ y e. RR ) /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
176	127, 136, 127, 175	syl21anc 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( N ` ( T ` x ) ) x. ( N ` ( T ` x ) ) ) <_ ( y x. ( N ` ( T ` x ) ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
177	171, 176	mpid 41	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
178		0red 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 e. RR )
179	4, 130, 18	blof 24120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
180	3, 101, 179	mp3an12 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. ( U BLnOp W ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
181	129, 180	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
182	181	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( F ` x ) : X --> CC )
183	4, 130, 103	nmooge0 24102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ ( F ` x ) : X --> CC ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
184	3, 101, 183	mp3an12 1299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) : X --> CC -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
185	182, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) )
186	178, 134, 136, 185, 169	letrd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> 0 <_ y )
187		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( 0 <_ y <-> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
188	186, 187	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 = ( N ` ( T ` x ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
189		0re 9382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
190		leloe 9457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N ` ( T ` x ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
191	189, 127, 190	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 <_ ( N ` ( T ` x ) ) <-> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) ) )
192	168, 191	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( 0 < ( N ` ( T ` x ) ) \/ 0 = ( N ` ( T ` x ) ) ) )
193	177, 188, 192	mpjaod 381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y ) ) -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y )
194	193	expr 612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
195	194	adantrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` ( F ` x ) ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
196	126, 195	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. X /\ ( N ` x ) <_ 1 ) ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
197	196	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
198	197	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
199	198	ralrimdva 2804	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
200	199	reximdva 2826	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. w e. K ( ( U normOpOLD W ) ` w ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
201	107, 200	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) )
202		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD U ) = ( U normOpOLD U )
203	4, 4, 10, 10, 202, 3, 3	nmobndi 24110	. . . . 5 |- ( T : X --> X -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
204	8, 203	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR <-> E. y e. RR A. x e. X ( ( N ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( T ` x ) ) <_ y ) ) )
205	201, 204	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR )
206		ltpnf 11098	. . 3 |- ( ( ( U normOpOLD U ) ` T ) e. RR -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
207	205, 206	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo )
208		htth.4	. . . 4 |- B = ( U BLnOp U )
209	202, 5, 208	isblo 24117	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec ) -> ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) ) )
210	3, 3, 209	mp2an 667	. 2 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ ( ( U normOpOLD U ) ` T ) < +oo ) )
211	1, 207, 210	sylanbrc 659	1 |- ( ph -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   C_ wss 3325   <.cop 3880   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   2c2 10367   ^cexp 11861   abscabs 12719   NrmCVeccnv 23897   BaseSetcba 23899   norm_CVcnmcv 23903   .iOLDcdip 24030   LnOp clno 24075   normOpOLDcnmoo 24076   BLnOp cblo 24077   CPreHil OLDccphlo 24147   CBanccbn 24198   CHilOLDchlo 24221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-dc 8611  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-lm 18792  df-t1 18877  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-fcls 19473  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-cfil 20725  df-cau 20726  df-cmet 20727  df-grpo 23613  df-gid 23614  df-ginv 23615  df-gdiv 23616  df-ablo 23704  df-vc 23859  df-nv 23905  df-va 23908  df-ba 23909  df-sm 23910  df-0v 23911  df-vs 23912  df-nmcv 23913  df-ims 23914  df-dip 24031  df-lno 24079  df-nmoo 24080  df-blo 24081  df-0o 24082  df-ph 24148  df-cbn 24199  df-hlo 24222

This theorem is referenced by:  htth  24255