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Theorem htthlem 26651
Description: Lemma for htth 26652. The collection  K, which consists of functions  F ( z ) ( w )  =  <. w  |  T
( z ) >.  =  <. T ( w )  |  z >. for each  z in the unit ball, is a collection of bounded linear functions by ipblnfi 26578, so by the Uniform Boundedness theorem ubth 26596, there is a uniform bound  y on  ||  F ( x )  || for all  x in the unit ball. Then  |  T (
x )  |  ^
2  =  <. T ( x )  |  T
( x ) >.  =  F ( x ) (  T ( x ) )  <_  y  |  T ( x )  |, so  |  T ( x )  |  <_  y and 
T is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
htthlem.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
htthlem.6  |-  U  e. 
CHilOLD
htthlem.7  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
htthlem.8  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
htthlem.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
htthlem.10  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
htthlem.11  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
Assertion
Ref Expression
htthlem  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    y, w, F    x, w, z, K, y    w, N, x, y, z    w, P, z    w, W, x, y, z    ph, w, x, y, z    w, T, x, y, z    w, U, x, y, z    w, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w)    P( x, y)    F( x, z)    L( x, y, z, w)

Proof of Theorem htthlem
StepHypRef Expression
1 htthlem.8 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
2 htthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
CHilOLD
32hlnvi 26625 . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
4 htth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 htth.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
64, 4, 5lnof 26477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> X )
73, 3, 6mp3an12 1380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> X )
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : X --> X )
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T `  x )  e.  X )
10 htthlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  U )
114, 10nvcl 26369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
123, 9, 11sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
138ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  z )  e.  X )
14 htth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
15 hlph 26622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CPreHil OLD )
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 htthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
18 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
19 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z
) ) )
204, 14, 16, 17, 18, 19ipblnfi 26578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  z )  e.  X  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
22 htthlem.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( z  e.  X  |->  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  z ) ) ) )
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : X --> ( U 
BLnOp  W ) )
24 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  Fun  F )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Fun  F )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  K )
28 htthlem.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
2927, 28syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  K  ->  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )
30 fvelima 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
) )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3126, 29, 30syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  w  e.  K )  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w )
3231ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  ->  E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w ) )
33 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( N `  z )  =  ( N `  y ) )
3433breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  y )  <_  1
) )
3534elrab 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )
36 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  ( T `  z )  =  ( T `  y ) )
3736oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  y
) ) )
3837mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  y  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) )
394hlex 26631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X  e. 
_V
4039mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  e.  _V
4138, 22, 40fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) ) )
4241fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  X  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `
 x ) )
43 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
w P ( T `
 y ) )  =  ( x P ( T `  y
) ) )
44 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y
) ) )
45 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x P ( T `  y ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  y ) ) ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4742, 46sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( F `  y ) `  x
)  =  ( x P ( T `  y ) ) )
4847ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( x P ( T `
 y ) ) )
49 htthlem.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )
50 rsp2 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) ) )
5251impl 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )
5352adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5448, 53eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `
 y ) `  x )  =  ( ( T `  x
) P y ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  =  ( abs `  ( ( T `  x ) P y ) ) )
56 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
y  e.  X )
574, 14dipcl 26432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P y )  e.  CC )
583, 57mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) P y )  e.  CC )
599, 56, 58syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( T `
 x ) P y )  e.  CC )
6059abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  e.  RR )
6112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR )
624, 10nvcl 26369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
633, 62mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  X  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6463ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
6561, 64remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  e.  RR )
664, 10, 14, 16sii 26576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
679, 56, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) ) )
68 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
694, 10nvge0 26384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
703, 9, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( T `  x )
) )
7112, 70jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N `  ( T `  x )
) ) )
73 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  y )  <_  1
)
74 lemul2a 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  /\  ( N `  y )  <_  1 )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 y ) )  <_  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 ) )
7564, 68, 72, 73, 74syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  (
( N `  ( T `  x )
)  x.  1 ) )
7661recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  e.  CC )
7776mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  1 )  =  ( N `  ( T `
 x ) ) )
7875, 77breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  y
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
7960, 65, 61, 67, 78letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( T `  x
) P y ) )  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8055, 79eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  ( N `  y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) )
8135, 80sylan2b 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  <_ 
( N `  ( T `  x )
) )
82 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) `  x )  =  ( w `  x ) )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( ( F `
 y ) `  x ) )  =  ( abs `  (
w `  x )
) )
8483breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( abs `  (
( F `  y
) `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) )  <->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8581, 84syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8685rexlimdva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ( F `  y )  =  w  ->  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
8732, 86syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
w  e.  K  -> 
( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
8887ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )
89 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  ( N `  ( T `  x
) ) ) )
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x ) )  <_ 
z  <->  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) ) )
9190rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  ( N `  ( T `  x ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9212, 88, 91syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z )
9392ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `
 x ) )  <_  z )
94 imassrn 5185 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } )  C_  ran  F
9528, 94eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  K  C_  ran  F
96 frn 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> ( U 
BLnOp  W )  ->  ran  F 
C_  ( U  BLnOp  W ) )
9723, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( U  BLnOp  W ) )
9895, 97syl5ss 3429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )
99 hlobn 26621 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  CBan )
1002, 99ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
CBan
10117cnnv 26389 . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
10217cnnvnm 26394 . . . . . . . . 9  |-  abs  =  ( normCV `  W )
103 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
1044, 102, 103ubth 26596 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  K  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
105100, 101, 104mp3an12 1380 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  ( w `  x
) )  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y ) )
10698, 105syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. z  e.  RR  A. w  e.  K  ( abs `  (
w `  x )
)  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y
) )
10793, 106mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y )
108 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e.  X  /\  ( N `
 x )  <_ 
1 ) )
109 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  z )  =  ( N `  x ) )
110109breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  z
)  <_  1  <->  ( N `  x )  <_  1
) )
111110elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )
112108, 111sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }
)
11322, 21dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
114113eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  X ) )
115114biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  F )
116 funfvima 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  {
z  e.  X  | 
( N `  z
)  <_  1 }  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" { z  e.  X  |  ( N `
 z )  <_ 
1 } ) ) )
11725, 116sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
118115, 117syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
119118ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( x  e. 
{ z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 }  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) ) )
120112, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " { z  e.  X  |  ( N `  z )  <_  1 } ) )
121120, 28syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( F `  x )  e.  K
)
122 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  w )  =  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
123122breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
)
124123rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  e.  K  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  <_ 
y ) )
125121, 124syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
12612ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  RR )
127126, 126remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
12823ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12917cnnvba 26391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  ( BaseSet `  W )
1304, 129, 103, 18nmblore 26508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
1313, 101, 130mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
133132ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  e.  RR )
134133, 126remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
135 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
136135, 126remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  e.  RR )
137 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  x  ->  ( T `  z )  =  ( T `  x ) )
138137oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  x  ->  (
w P ( T `
 z ) )  =  ( w P ( T `  x
) ) )
139138mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  X  |->  ( w P ( T `
 z ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) )
14039mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  e.  _V
141139, 22, 140fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) )
143142fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) ) `  ( T `  x ) ) )
144 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( T `  x )  ->  (
w P ( T `
 x ) )  =  ( ( T `
 x ) P ( T `  x
) ) )
145 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x
) ) )
146 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  e. 
_V
147144, 145, 146fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T `  x )  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
1489, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w P ( T `  x ) ) ) `  ( T `  x )
)  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
149143, 148eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
) `  ( T `  x ) )  =  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) ) )
150149ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( T `  x
) P ( T `
 x ) ) )
1519ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( T `  x )  e.  X
)
1524, 10, 14ipidsq 26430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  (
( T `  x
) P ( T `
 x ) )  =  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )
1533, 151, 152sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( T `  x ) P ( T `  x ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
154150, 153eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( F `  x ) `  ( T `  x
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
) ^ 2 ) )
155154fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( abs `  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
156 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  (
( N `  ( T `  x )
) ^ 2 )  e.  RR )
157 sqge0 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
158156, 157absidd 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( N `
 ( T `  x ) ) ^
2 ) )  =  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )
159126, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `  ( T `
 x ) ) ^ 2 ) )
160126recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  e.  CC )
161160sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) ) ^
2 )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
162155, 159, 1613eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  =  ( ( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
163128ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)
1644, 10, 102, 103, 18, 3, 101nmblolbi 26522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  ( T `  x )  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x ) `  ( T `  x ) ) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
165163, 151, 164syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x ) `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
166162, 165eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
1673, 151, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( N `  ( T `
 x ) ) )
168 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y )
169133, 135, 126, 167, 168lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
170127, 134, 136, 166, 169letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) )
171 lemul1 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( N `  ( T `  x ) )  <_  y  <->  ( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) ) ) )
172171biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  ( T `  x ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( T `  x ) )  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  <_  (
y  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_  y )
)
1731723expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( N `
 ( T `  x ) )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  ( T `  x )
) )  ->  (
( ( N `  ( T `  x ) )  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
174173expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N `  ( T `  x ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( N `  ( T `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
175126, 135, 126, 174syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( (
( N `  ( T `  x )
)  x.  ( N `
 ( T `  x ) ) )  <_  ( y  x.  ( N `  ( T `  x )
) )  ->  ( N `  ( T `  x ) )  <_ 
y ) ) )
176170, 175mpid 41 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
177 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  e.  RR )
1784, 129, 18blof 26507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1793, 101, 178mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
180128, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
181180ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( F `  x ) : X --> CC )
1824, 129, 103nmooge0 26489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( F `  x ) : X --> CC )  ->  0  <_ 
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
) )
1833, 101, 182mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x ) : X --> CC  ->  0  <_  ( ( U
normOpOLD W ) `  ( F `  x ) ) )
184181, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  ( ( U normOpOLD W
) `  ( F `  x ) ) )
185177, 133, 135, 184, 168letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  0  <_  y )
186 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
187185, 186syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  =  ( N `  ( T `  x ) )  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) )
188 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
189 leloe 9738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N `  ( T `
 x ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
190188, 126, 189sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <_  ( N `  ( T `  x ) )  <->  ( 0  < 
( N `  ( T `  x )
)  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) ) )
191167, 190mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( 0  <  ( N `  ( T `  x ) )  \/  0  =  ( N `  ( T `  x )
) ) )
192176, 187, 191mpjaod 388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y )
)  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
)
193192expr 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
194193adantrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  ( F `  x ) )  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
195125, 194syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  X  /\  ( N `  x )  <_  1 ) )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  ( N `  ( T `  x )
)  <_  y )
)
196195expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
197196com23 80 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  K  ( ( U normOpOLD W ) `  w
)  <_  y  ->  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
198197ralrimdva 2812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  K  (
( U normOpOLD W
) `  w )  <_  y  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( T `  x
) )  <_  y
) ) )
199198reximdva 2858 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  K  ( ( U
normOpOLD W ) `  w )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
200107, 199mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  ( ( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) )
201 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD U )  =  ( U normOpOLD U
)
2024, 4, 10, 10, 201, 3, 3nmobndi 26497 . . . . 5  |-  ( T : X --> X  -> 
( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
2038, 202syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( U
normOpOLD U ) `  T )  e.  RR  <->  E. y  e.  RR  A. x  e.  X  (
( N `  x
)  <_  1  ->  ( N `  ( T `
 x ) )  <_  y ) ) )
204200, 203mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  e.  RR )
205 ltpnf 11445 . . 3  |-  ( ( ( U normOpOLD U
) `  T )  e.  RR  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T )  < +oo )
206204, 205syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U normOpOLD U ) `  T
)  < +oo )
207 htth.4 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
208201, 5, 207isblo 26504 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) ) )
2093, 3, 208mp2an 686 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOpOLD U
) `  T )  < +oo ) )
2101, 206, 209sylanbrc 677 1  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694   2c2 10681   ^cexp 12310   abscabs 13374   NrmCVeccnv 26284   BaseSetcba 26286   normCVcnmcv 26290   .iOLDcdip 26417    LnOp clno 26462   normOpOLDcnmoo 26463    BLnOp cblo 26464   CPreHil OLDccphlo 26534   CBanccbn 26585   CHilOLDchlo 26618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-dc 8894  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-fcls 21034  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-dip 26418  df-lno 26466  df-nmoo 26467  df-blo 26468  df-0o 26469  df-ph 26535  df-cbn 26586  df-hlo 26619
This theorem is referenced by:  htth  26652
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