MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htth Structured version   Unicode version

Theorem htth 24332
Description: Hellinger-Toeplitz Theorem: any self-adjoint linear operator defined on all of Hilbert space is bounded. Theorem 10.1-1 of [Kreyszig] p. 525. Discovered by E. Hellinger and O. Toeplitz in 1910, "it aroused both admiration and puzzlement since the theorem establishes a relation between properties of two different kinds, namely, the properties of being defined everywhere and being bounded." (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
Assertion
Ref Expression
htth  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, T    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    P( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem htth
Dummy variables  w  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htth.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
2 oveq12 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  LnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
32anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  U
)  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
41, 3syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
54eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
6 htth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
86, 7syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
9 htth.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
10 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .iOLD `  U )  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
119, 10syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1211oveqd 6120 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) ) )
1311oveqd 6120 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T `  x ) P y )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
1412, 13eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <-> 
( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) ) )
158, 14raleqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. y  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
168, 15raleqbidv 2943 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
175, 16anbi12d 710 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) ) )
18 htth.4 . . . . . 6  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
19 oveq12 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2019anidms 645 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2118, 20syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  B  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  B  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
2317, 22imbi12d 320 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )  <->  ( ( T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
24 eqid 2443 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2443 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 eqid 2443 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 eqid 2443 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
29 eqid 2443 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3029cnchl 24329 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CHilOLD
3130elimel 3864 . . . 4  |-  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CHilOLD
32 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
33 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
34 oveq1 6110 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) ) )
35 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( T `  x )  =  ( T `  u ) )
3635oveq1d 6118 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
( T `  x
) ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) )
3734, 36eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
38 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( T `  y )  =  ( T `  v ) )
3938oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
u ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  v ) ) )
40 oveq2 6111 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
( T `  u
) ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) v ) )
4139, 40eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) ) )
4237, 41cbvral2v 2967 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y )  <->  A. u  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
4333, 42sylib 196 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. u  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
44 oveq1 6110 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  x ) ) )
4544cbvmptv 4395 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )
46 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
4746oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
w ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  z ) ) )
4847mpteq2dv 4391 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
4945, 48syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
5049cbvmptv 4395 . . . 4  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) )  =  ( z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
51 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  =  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )
)
5251breq1d 4314 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  x
)  <_  1  <->  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 ) )
5352cbvrabv 2983 . . . . 5  |-  { x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |  ( (
normCV
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 }  =  {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 }
5453imaeq2i 5179 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 } )  =  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 } )
5524, 25, 26, 27, 28, 31, 29, 32, 43, 50, 54htthlem 24331 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
5623, 55dedth 3853 . 2  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  (
( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  ->  T  e.  B
) )
57563impib 1185 1  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   ifcif 3803   <.cop 3895   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   "cima 4855   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431   abscabs 12735   BaseSetcba 23976   normCVcnmcv 23980   .iOLDcdip 24107    LnOp clno 24152    BLnOp cblo 24154   CHilOLDchlo 24298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-dc 8627  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-lm 18845  df-t1 18930  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-fcls 19526  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-cfil 20778  df-cau 20779  df-cmet 20780  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-dip 24108  df-lno 24156  df-nmoo 24157  df-blo 24158  df-0o 24159  df-ph 24225  df-cbn 24276  df-hlo 24299
This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  25404
  Copyright terms: Public domain W3C validator