MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htth Structured version   Unicode version

Theorem htth 25961
Description: Hellinger-Toeplitz Theorem: any self-adjoint linear operator defined on all of Hilbert space is bounded. Theorem 10.1-1 of [Kreyszig] p. 525. Discovered by E. Hellinger and O. Toeplitz in 1910, "it aroused both admiration and puzzlement since the theorem establishes a relation between properties of two different kinds, namely, the properties of being defined everywhere and being bounded." (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
htth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
htth.2  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
htth.3  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
htth.4  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
Assertion
Ref Expression
htth  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, T    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    P( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem htth
Dummy variables  w  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htth.3 . . . . . . 7  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
2 oveq12 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  LnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
32anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  U
)  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
41, 3syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
54eleq2d 2527 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
6 htth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
86, 7syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
9 htth.2 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .iOLD `  U )  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
119, 10syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1211oveqd 6313 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( x P ( T `  y ) )  =  ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) ) )
1311oveqd 6313 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T `  x ) P y )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
1412, 13eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <-> 
( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) ) )
158, 14raleqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. y  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
168, 15raleqbidv 3068 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y
) )  =  ( ( T `  x
) P y )  <->  A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
175, 16anbi12d 710 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) ) )
18 htth.4 . . . . . 6  |-  B  =  ( U  BLnOp  U )
19 oveq12 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  /\  U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2019anidms 645 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  U )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2118, 20syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  B  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  B  <->  T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
2317, 22imbi12d 320 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )  <->  ( ( T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
24 eqid 2457 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2457 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 eqid 2457 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  BLnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 eqid 2457 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
29 eqid 2457 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3029cnchl 25958 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CHilOLD
3130elimel 4007 . . . 4  |-  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CHilOLD
32 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
33 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )
34 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) ) )
35 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( T `  x )  =  ( T `  u ) )
3635oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
( T `  x
) ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y ) )
3734, 36eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) ) )
38 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( T `  y )  =  ( T `  v ) )
3938oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
u ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  y ) )  =  ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  v ) ) )
40 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
( T `  u
) ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) y )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) v ) )
4139, 40eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  y ) )  =  ( ( T `  u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) y )  <->  ( u
( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) ) )
4237, 41cbvral2v 3092 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y )  <->  A. u  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
4333, 42sylib 196 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  A. u  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. v  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( u ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 u ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) v ) )
44 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
y ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  x ) ) )
4544cbvmptv 4548 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
4746oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
w ( .iOLD `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ( T `  x ) )  =  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( T `  z ) ) )
4847mpteq2dv 4544 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
4945, 48syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) )  =  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
5049cbvmptv 4548 . . . 4  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) )  =  ( z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( w ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 z ) ) ) )
51 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  =  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )
)
5251breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  x
)  <_  1  <->  ( ( normCV `  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 ) )
5352cbvrabv 3108 . . . . 5  |-  { x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |  ( (
normCV
`  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 }  =  {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 }
5453imaeq2i 5345 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  x )  <_  1 } )  =  ( ( x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  |->  ( y ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 x ) ) ) ) " {
z  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  |  ( ( normCV `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  z )  <_  1 } )
5524, 25, 26, 27, 28, 31, 29, 32, 43, 50, 54htthlem 25960 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) A. y  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ( x ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .iOLD `  if ( U  e.  CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) y ) )  ->  T  e.  ( if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( U  e. 
CHilOLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
5623, 55dedth 3996 . 2  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  (
( T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x P ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x ) P y ) )  ->  T  e.  B
) )
57563impib 1194 1  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  T  e.  L  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x P ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x ) P y ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   ifcif 3944   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   abscabs 13078   BaseSetcba 25605   normCVcnmcv 25609   .iOLDcdip 25736    LnOp clno 25781    BLnOp cblo 25783   CHilOLDchlo 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-dc 8843  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-t1 19941  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-fcls 20567  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737  df-lno 25785  df-nmoo 25786  df-blo 25787  df-0o 25788  df-ph 25854  df-cbn 25905  df-hlo 25928
This theorem is referenced by:  hmopbdoptHIL  27033
  Copyright terms: Public domain W3C validator