MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyid Structured version   Unicode version

Theorem htpyid 21901
Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyid.1  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
htpyid.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
htpyid.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
htpyid  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem htpyid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyid.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 htpyid.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
3 htpyid.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
4 iitopon 21807 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
61, 5cnmpt1st 20614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
71, 5, 6, 2cnmpt21f 20618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
83, 7syl5eqel 2521 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
9 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  s  e.  X )
10 0elunit 11748 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
11 fveq2 5881 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
12 eqidd 2430 . . . 4  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  s )  =  ( F `  s ) )
13 fvex 5891 . . . 4  |-  ( F `
 s )  e. 
_V
1411, 12, 3, 13ovmpt2 6446 . . 3  |-  ( ( s  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s G 0 )  =  ( F `  s ) )
159, 10, 14sylancl 666 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  (
s G 0 )  =  ( F `  s ) )
16 1elunit 11749 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
17 eqidd 2430 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  s )  =  ( F `  s ) )
1811, 17, 3, 13ovmpt2 6446 . . 3  |-  ( ( s  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s G 1 )  =  ( F `  s ) )
199, 16, 18sylancl 666 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  (
s G 1 )  =  ( F `  s ) )
201, 2, 2, 8, 15, 19ishtpyd 21899 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   0cc0 9538   1c1 9539   [,]cicc 11638  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171    tX ctx 20506   IIcii 21803   Htpy chtpy 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-tx 20508  df-ii 21805  df-htpy 21894
This theorem is referenced by:  phtpyid  21913
  Copyright terms: Public domain W3C validator