MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycom Structured version   Unicode version

Theorem htpycom 20679
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ishtpy.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
ishtpy.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpycom.6  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
htpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpycom  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem htpycom
Dummy variables  t 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishtpy.1 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 ishtpy.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
3 ishtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 htpycom.6 . . 3  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
5 iitopon 20586 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
71, 6cnmpt1st 19372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
81, 6cnmpt2nd 19373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
9 iirevcn 20633 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  z ) )  e.  ( II  Cn  II )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  z
) )  e.  ( II  Cn  II ) )
11 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  y ) )
121, 6, 8, 6, 10, 11cnmpt21 19375 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  y
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
131, 3, 2htpycn 20676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpycom.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3464 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
161, 6, 7, 12, 15cnmpt22f 19379 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
174, 16syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
18 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  t  e.  X )
19 0elunit 11519 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
20 oveq1 6206 . . . . 5  |-  ( x  =  t  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( t H ( 1  -  y
) ) )
21 oveq2 6207 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  0 ) )
22 1m0e1 10542 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2321, 22syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  1 )
2423oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 1 ) )
25 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( t H 1 )  e. 
_V
2620, 24, 4, 25ovmpt2 6335 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
2718, 19, 26sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
281, 3, 2, 14htpyi 20677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
( t H 0 )  =  ( F `
 t )  /\  ( t H 1 )  =  ( G `
 t ) ) )
2928simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 1 )  =  ( G `  t ) )
3027, 29eqtrd 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( G `  t ) )
31 1elunit 11520 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
32 oveq2 6207 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  1 ) )
33 1m1e0 10500 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3432, 33syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  0 )
3534oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 0 ) )
36 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( t H 0 )  e. 
_V
3720, 35, 4, 36ovmpt2 6335 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3818, 31, 37sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3928simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 0 )  =  ( F `  t ) )
4038, 39eqtrd 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( F `  t ) )
411, 2, 3, 17, 30, 40ishtpyd 20678 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   0cc0 9392   1c1 9393    - cmin 9705   [,]cicc 11413  TopOnctopon 18630    Cn ccn 18959    tX ctx 19264   IIcii 20582   Htpy chtpy 20670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-ii 20584  df-htpy 20673
This theorem is referenced by:  phtpycom  20691
  Copyright terms: Public domain W3C validator