MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycom Structured version   Unicode version

Theorem htpycom 21900
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ishtpy.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
ishtpy.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpycom.6  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
htpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpycom  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem htpycom
Dummy variables  t 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishtpy.1 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 ishtpy.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
3 ishtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 htpycom.6 . . 3  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
5 iitopon 21807 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
71, 6cnmpt1st 20614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
81, 6cnmpt2nd 20615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
9 iirevcn 21854 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  z ) )  e.  ( II  Cn  II )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  z
) )  e.  ( II  Cn  II ) )
11 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  y ) )
121, 6, 8, 6, 10, 11cnmpt21 20617 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  y
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
131, 3, 2htpycn 21897 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpycom.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3471 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
161, 6, 7, 12, 15cnmpt22f 20621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
174, 16syl5eqel 2521 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
18 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  t  e.  X )
19 0elunit 11748 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
20 oveq1 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  t  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( t H ( 1  -  y
) ) )
21 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  0 ) )
22 1m0e1 10720 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2321, 22syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  1 )
2423oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 1 ) )
25 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( t H 1 )  e. 
_V
2620, 24, 4, 25ovmpt2 6446 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
2718, 19, 26sylancl 666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
281, 3, 2, 14htpyi 21898 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
( t H 0 )  =  ( F `
 t )  /\  ( t H 1 )  =  ( G `
 t ) ) )
2928simprd 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 1 )  =  ( G `  t ) )
3027, 29eqtrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( G `  t ) )
31 1elunit 11749 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
32 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  1 ) )
33 1m1e0 10678 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3432, 33syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  0 )
3534oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 0 ) )
36 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( t H 0 )  e. 
_V
3720, 35, 4, 36ovmpt2 6446 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3818, 31, 37sylancl 666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3928simpld 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 0 )  =  ( F `  t ) )
4038, 39eqtrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( F `  t ) )
411, 2, 3, 17, 30, 40ishtpyd 21899 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   0cc0 9538   1c1 9539    - cmin 9859   [,]cicc 11638  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171    tX ctx 20506   IIcii 21803   Htpy chtpy 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-ii 21805  df-htpy 21894
This theorem is referenced by:  phtpycom  21912
  Copyright terms: Public domain W3C validator