Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyco1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem htpyco1 22087
 Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyco1.n
htpyco1.j TopOn
htpyco1.p
htpyco1.f
htpyco1.g
htpyco1.h Htpy
Assertion
Ref Expression
htpyco1 Htpy
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem htpyco1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyco1.j . 2 TopOn
2 htpyco1.p . . 3
3 htpyco1.f . . 3
4 cnco 20359 . . 3
52, 3, 4syl2anc 673 . 2
6 htpyco1.g . . 3
7 cnco 20359 . . 3
82, 6, 7syl2anc 673 . 2
9 htpyco1.n . . 3
10 iitopon 21989 . . . . 5 TopOn
1110a1i 11 . . . 4 TopOn
121, 11cnmpt1st 20760 . . . . 5
131, 11, 12, 2cnmpt21f 20764 . . . 4
141, 11cnmpt2nd 20761 . . . 4
15 cntop2 20334 . . . . . . . 8
162, 15syl 17 . . . . . . 7
17 eqid 2471 . . . . . . . 8
1817toptopon 20025 . . . . . . 7 TopOn
1916, 18sylib 201 . . . . . 6 TopOn
2019, 3, 6htpycn 22082 . . . . 5 Htpy
21 htpyco1.h . . . . 5 Htpy
2220, 21sseldd 3419 . . . 4
231, 11, 13, 14, 22cnmpt22f 20767 . . 3
249, 23syl5eqel 2553 . 2
25 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn TopOn
261, 19, 2, 25syl3anc 1292 . . . . . 6
2726ffvelrnda 6037 . . . . 5
2819, 3, 6, 21htpyi 22083 . . . . 5
2927, 28syldan 478 . . . 4
3029simpld 466 . . 3
31 simpr 468 . . . 4
32 0elunit 11776 . . . 4
33 fveq2 5879 . . . . . 6
34 id 22 . . . . . 6
3533, 34oveqan12d 6327 . . . . 5
36 ovex 6336 . . . . 5
3735, 9, 36ovmpt2a 6446 . . . 4
3831, 32, 37sylancl 675 . . 3
39 fvco3 5957 . . . 4
4026, 39sylan 479 . . 3
4130, 38, 403eqtr4d 2515 . 2
4229simprd 470 . . 3
43 1elunit 11777 . . . 4
44 id 22 . . . . . 6
4533, 44oveqan12d 6327 . . . . 5
46 ovex 6336 . . . . 5
4745, 9, 46ovmpt2a 6446 . . . 4
4831, 43, 47sylancl 675 . . 3
49 fvco3 5957 . . . 4
5026, 49sylan 479 . . 3
5142, 48, 503eqtr4d 2515 . 2
521, 5, 8, 24, 41, 51ishtpyd 22084 1 Htpy
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cuni 4190   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc0 9557  c1 9558  cicc 11663  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  cii 21985   Htpy chtpy 22076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654  df-ii 21987  df-htpy 22079 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator