Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Structured version   Unicode version

Theorem htpycc 21231
 Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1
htpycc.2 TopOn
htpycc.4
htpycc.5
htpycc.6
htpycc.7 Htpy
htpycc.8 Htpy
Assertion
Ref Expression
htpycc Htpy
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 TopOn
2 htpycc.4 . 2
3 htpycc.6 . 2
4 htpycc.1 . . 3
5 iitopon 21134 . . . . 5 TopOn
65a1i 11 . . . 4 TopOn
7 eqid 2467 . . . . 5
8 eqid 2467 . . . . 5 t t
9 eqid 2467 . . . . 5 t t
10 dfii2 21137 . . . . 5 t
11 0red 9596 . . . . 5
12 1red 9610 . . . . 5
13 halfre 10753 . . . . . . 7
14 0re 9595 . . . . . . . 8
15 halfgt0 10755 . . . . . . . 8
1614, 13, 15ltleii 9706 . . . . . . 7
17 1re 9594 . . . . . . . 8
18 halflt1 10756 . . . . . . . 8
1913, 17, 18ltleii 9706 . . . . . . 7
2014, 17elicc2i 11589 . . . . . . 7
2113, 16, 19, 20mpbir3an 1178 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12
24 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
251, 2, 23, 24htpyi 21225 . . . . . . . . . . 11
2625simprd 463 . . . . . . . . . 10
27 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
281, 23, 3, 27htpyi 21225 . . . . . . . . . . 11
2928simpld 459 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9
3130ralrimiva 2878 . . . . . . . 8
32 oveq1 6290 . . . . . . . . . 10
33 oveq1 6290 . . . . . . . . . 10
3432, 33eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9
3534rspccva 3213 . . . . . . . 8
3631, 35sylan 471 . . . . . . 7
3736adantrl 715 . . . . . 6
38 simprl 755 . . . . . . . . 9
3938oveq2d 6299 . . . . . . . 8
40 2cn 10605 . . . . . . . . 9
41 2ne0 10627 . . . . . . . . 9
4240, 41recidi 10274 . . . . . . . 8
4339, 42syl6eq 2524 . . . . . . 7
4443oveq2d 6299 . . . . . 6
4543oveq1d 6298 . . . . . . . 8
46 1m1e0 10603 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2524 . . . . . . 7
4847oveq2d 6299 . . . . . 6
4937, 44, 483eqtr4d 2518 . . . . 5
50 retopon 21021 . . . . . . . 8 TopOn
51 iccssre 11605 . . . . . . . . 9
5214, 13, 51mp2an 672 . . . . . . . 8
53 resttopon 19444 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
5450, 52, 53mp2an 672 . . . . . . 7 t TopOn
5554a1i 11 . . . . . 6 t TopOn
5655, 1cnmpt2nd 19921 . . . . . 6 t
5755, 1cnmpt1st 19920 . . . . . . 7 t t
588iihalf1cn 21183 . . . . . . . 8 t
5958a1i 11 . . . . . . 7 t
60 oveq2 6291 . . . . . . 7
6155, 1, 57, 55, 59, 60cnmpt21 19923 . . . . . 6 t
621, 2, 23htpycn 21224 . . . . . . 7 Htpy
6362, 24sseldd 3505 . . . . . 6
6455, 1, 56, 61, 63cnmpt22f 19927 . . . . 5 t
65 iccssre 11605 . . . . . . . . 9
6613, 17, 65mp2an 672 . . . . . . . 8
67 resttopon 19444 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
6850, 66, 67mp2an 672 . . . . . . 7 t TopOn
6968a1i 11 . . . . . 6 t TopOn
7069, 1cnmpt2nd 19921 . . . . . 6 t
7169, 1cnmpt1st 19920 . . . . . . 7 t t
729iihalf2cn 21185 . . . . . . . 8 t
7372a1i 11 . . . . . . 7 t
7460oveq1d 6298 . . . . . . 7
7569, 1, 71, 69, 73, 74cnmpt21 19923 . . . . . 6 t
761, 23, 3htpycn 21224 . . . . . . 7 Htpy
7776, 27sseldd 3505 . . . . . 6
7869, 1, 70, 75, 77cnmpt22f 19927 . . . . 5 t
797, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 1, 49, 64, 78cnmpt2pc 21179 . . . 4
806, 1, 79cnmptcom 19930 . . 3
814, 80syl5eqel 2559 . 2
82 simpr 461 . . . 4
83 0elunit 11637 . . . 4
84 simpr 461 . . . . . . . 8
8584, 16syl6eqbr 4484 . . . . . . 7
86 iftrue 3945 . . . . . . 7
8785, 86syl 16 . . . . . 6
88 simpl 457 . . . . . . 7
8984oveq2d 6299 . . . . . . . 8
90 2t0e0 10690 . . . . . . . 8
9189, 90syl6eq 2524 . . . . . . 7
9288, 91oveq12d 6301 . . . . . 6
9387, 92eqtrd 2508 . . . . 5
94 ovex 6308 . . . . 5
9593, 4, 94ovmpt2a 6416 . . . 4
9682, 83, 95sylancl 662 . . 3
9725simpld 459 . . 3
9896, 97eqtrd 2508 . 2
99 1elunit 11638 . . . 4
10013, 17ltnlei 9704 . . . . . . . . 9
10118, 100mpbi 208 . . . . . . . 8
102 simpr 461 . . . . . . . . 9
103102breq1d 4457 . . . . . . . 8
104101, 103mtbiri 303 . . . . . . 7
105 iffalse 3948 . . . . . . 7
106104, 105syl 16 . . . . . 6
107 simpl 457 . . . . . . 7
108102oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10
109 2t1e2 10683 . . . . . . . . . 10
110108, 109syl6eq 2524 . . . . . . . . 9
111110oveq1d 6298 . . . . . . . 8
112 2m1e1 10649 . . . . . . . 8
113111, 112syl6eq 2524 . . . . . . 7
114107, 113oveq12d 6301 . . . . . 6
115106, 114eqtrd 2508 . . . . 5
116 ovex 6308 . . . . 5
117115, 4, 116ovmpt2a 6416 . . . 4
11882, 99, 117sylancl 662 . . 3
11928simprd 463 . . 3
120118, 119eqtrd 2508 . 2
1211, 2, 3, 81, 98, 120ishtpyd 21226 1 Htpy
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505   crn 5000  cfv 5587  (class class class)co 6283   cmpt2 6285  cr 9490  cc0 9491  c1 9492   cmul 9496   clt 9627   cle 9628   cmin 9804   cdiv 10205  c2 10584  cioo 11528  cicc 11531   ↾t crest 14675  ctg 14692  TopOnctopon 19178   ccn 19507   ctx 19812  cii 21130   Htpy chtpy 21218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-mulf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-ii 21132  df-htpy 21221 This theorem is referenced by:  phtpycc  21242
 Copyright terms: Public domain W3C validator