Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Structured version   Unicode version

Theorem htpycc 21904
 Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1
htpycc.2 TopOn
htpycc.4
htpycc.5
htpycc.6
htpycc.7 Htpy
htpycc.8 Htpy
Assertion
Ref Expression
htpycc Htpy
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 TopOn
2 htpycc.4 . 2
3 htpycc.6 . 2
4 htpycc.1 . . 3
5 iitopon 21807 . . . . 5 TopOn
65a1i 11 . . . 4 TopOn
7 eqid 2429 . . . . 5
8 eqid 2429 . . . . 5 t t
9 eqid 2429 . . . . 5 t t
10 dfii2 21810 . . . . 5 t
11 0red 9643 . . . . 5
12 1red 9657 . . . . 5
13 halfre 10828 . . . . . . 7
14 0re 9642 . . . . . . . 8
15 halfgt0 10830 . . . . . . . 8
1614, 13, 15ltleii 9756 . . . . . . 7
17 1re 9641 . . . . . . . 8
18 halflt1 10831 . . . . . . . 8
1913, 17, 18ltleii 9756 . . . . . . 7
2014, 17elicc2i 11700 . . . . . . 7
2113, 16, 19, 20mpbir3an 1187 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12
24 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
251, 2, 23, 24htpyi 21898 . . . . . . . . . . 11
2625simprd 464 . . . . . . . . . 10
27 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
281, 23, 3, 27htpyi 21898 . . . . . . . . . . 11
2928simpld 460 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9
3130ralrimiva 2846 . . . . . . . 8
32 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10
33 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10
3432, 33eqeq12d 2451 . . . . . . . . 9
3534rspccva 3187 . . . . . . . 8
3631, 35sylan 473 . . . . . . 7
3736adantrl 720 . . . . . 6
38 simprl 762 . . . . . . . . 9
3938oveq2d 6321 . . . . . . . 8
40 2cn 10680 . . . . . . . . 9
41 2ne0 10702 . . . . . . . . 9
4240, 41recidi 10337 . . . . . . . 8
4339, 42syl6eq 2486 . . . . . . 7
4443oveq2d 6321 . . . . . 6
4543oveq1d 6320 . . . . . . . 8
46 1m1e0 10678 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2486 . . . . . . 7
4847oveq2d 6321 . . . . . 6
4937, 44, 483eqtr4d 2480 . . . . 5
50 retopon 21695 . . . . . . . 8 TopOn
51 iccssre 11716 . . . . . . . . 9
5214, 13, 51mp2an 676 . . . . . . . 8
53 resttopon 20108 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
5450, 52, 53mp2an 676 . . . . . . 7 t TopOn
5554a1i 11 . . . . . 6 t TopOn
5655, 1cnmpt2nd 20615 . . . . . 6 t
5755, 1cnmpt1st 20614 . . . . . . 7 t t
588iihalf1cn 21856 . . . . . . . 8 t
5958a1i 11 . . . . . . 7 t
60 oveq2 6313 . . . . . . 7
6155, 1, 57, 55, 59, 60cnmpt21 20617 . . . . . 6 t
621, 2, 23htpycn 21897 . . . . . . 7 Htpy
6362, 24sseldd 3471 . . . . . 6
6455, 1, 56, 61, 63cnmpt22f 20621 . . . . 5 t
65 iccssre 11716 . . . . . . . . 9
6613, 17, 65mp2an 676 . . . . . . . 8
67 resttopon 20108 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
6850, 66, 67mp2an 676 . . . . . . 7 t TopOn
6968a1i 11 . . . . . 6 t TopOn
7069, 1cnmpt2nd 20615 . . . . . 6 t
7169, 1cnmpt1st 20614 . . . . . . 7 t t
729iihalf2cn 21858 . . . . . . . 8 t
7372a1i 11 . . . . . . 7 t
7460oveq1d 6320 . . . . . . 7
7569, 1, 71, 69, 73, 74cnmpt21 20617 . . . . . 6 t
761, 23, 3htpycn 21897 . . . . . . 7 Htpy
7776, 27sseldd 3471 . . . . . 6
7869, 1, 70, 75, 77cnmpt22f 20621 . . . . 5 t
797, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 1, 49, 64, 78cnmpt2pc 21852 . . . 4
806, 1, 79cnmptcom 20624 . . 3
814, 80syl5eqel 2521 . 2
82 simpr 462 . . . 4
83 0elunit 11748 . . . 4
84 simpr 462 . . . . . . . 8
8584, 16syl6eqbr 4463 . . . . . . 7
8685iftrued 3923 . . . . . 6
87 simpl 458 . . . . . . 7
8884oveq2d 6321 . . . . . . . 8
89 2t0e0 10765 . . . . . . . 8
9088, 89syl6eq 2486 . . . . . . 7
9187, 90oveq12d 6323 . . . . . 6
9286, 91eqtrd 2470 . . . . 5
93 ovex 6333 . . . . 5
9492, 4, 93ovmpt2a 6441 . . . 4
9582, 83, 94sylancl 666 . . 3
9625simpld 460 . . 3
9795, 96eqtrd 2470 . 2
98 1elunit 11749 . . . 4
9913, 17ltnlei 9754 . . . . . . . . 9
10018, 99mpbi 211 . . . . . . . 8
101 simpr 462 . . . . . . . . 9
102101breq1d 4436 . . . . . . . 8
103100, 102mtbiri 304 . . . . . . 7
104103iffalsed 3926 . . . . . 6
105 simpl 458 . . . . . . 7
106101oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10
107 2t1e2 10758 . . . . . . . . . 10
108106, 107syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
109108oveq1d 6320 . . . . . . . 8
110 2m1e1 10724 . . . . . . . 8
111109, 110syl6eq 2486 . . . . . . 7
112105, 111oveq12d 6323 . . . . . 6
113104, 112eqtrd 2470 . . . . 5
114 ovex 6333 . . . . 5
115113, 4, 114ovmpt2a 6441 . . . 4
11682, 98, 115sylancl 666 . . 3
11728simprd 464 . . 3
118116, 117eqtrd 2470 . 2
1191, 2, 3, 81, 97, 118ishtpyd 21899 1 Htpy
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782   wss 3442  cif 3915   class class class wbr 4426   cmpt 4484   crn 4855  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   cmul 9543   clt 9674   cle 9675   cmin 9859   cdiv 10268  c2 10659  cioo 11635  cicc 11638   ↾t crest 15278  ctg 15295  TopOnctopon 19849   ccn 20171   ctx 20506  cii 21803   Htpy chtpy 21891 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-ii 21805  df-htpy 21894 This theorem is referenced by:  phtpycc  21915
 Copyright terms: Public domain W3C validator