HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstoh Structured version   Unicode version

Theorem hstoh 27564
Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstoh  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( S `  A )  =  0h )

Proof of Theorem hstoh
StepHypRef Expression
1 hstcl 27549 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( S `  A )  e.  ~H )
2 choccl 26638 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
3 hstcl 27549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  ( _|_ `  A )  e. 
CH )  ->  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )
42, 3sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )
5 his7 26421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  ~H  /\  ( S `  A )  e.  ~H  /\  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
61, 1, 4, 5syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
7 normsq 26465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) ) )
81, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) ) )
98eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) )  =  ( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 ) )
10 ococ 26738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )
11 eqimss2 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  =  A  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CH  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
132, 12jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CH  ->  (
( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
1413adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
15 hstorth 27552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0 )
1614, 15mpdan 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0 )
179, 16oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( normh `  ( S `  A
) ) ^ 2 )  +  0 ) )
18 normcl 26456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  RR )
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  RR )
2019resqcld 12380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  e.  RR )
2120recnd 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  e.  CC )
2221addid1d 9814 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 ) )
236, 17, 223eqtrrd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
24 hstoc 27554 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  +h  ( S `
 ( _|_ `  A
) ) )  =  ( S `  ~H ) )
2524oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) ) )
2623, 25eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) ) )
27 id 22 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) )  =  0  ->  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )
2826, 27sylan9eq 2463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  ~H )
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A
) ) ^ 2 )  =  0 )
29283impa 1192 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0 )
3019recnd 9652 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  CC )
31 sqeq0 12277 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( S `  A ) )  e.  CC  ->  ( (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0  <-> 
( normh `  ( S `  A ) )  =  0 ) )
3230, 31syl 17 . . . 4  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( normh `  ( S `  A
) )  =  0 ) )
33323adant3 1017 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0  <-> 
( normh `  ( S `  A ) )  =  0 ) )
3429, 33mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( S `  A
) )  =  0 )
35 hst0h 27560 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
36353adant3 1017 . 2  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
3734, 36mpbid 210 1  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( S `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525   2c2 10626   ^cexp 12210   ~Hchil 26250    +h cva 26251    .ih csp 26253   normhcno 26254   0hc0v 26255   CHcch 26260   _|_cort 26261   CHStateschst 26294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416  ax-hcompl 26533
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-lm 20023  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cfil 21986  df-cau 21987  df-cmet 21988  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-subgo 25718  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-dip 26025  df-ssp 26049  df-ph 26142  df-cbn 26193  df-hnorm 26299  df-hba 26300  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-hcau 26304  df-sh 26538  df-ch 26553  df-oc 26584  df-ch0 26585  df-chj 26642  df-hst 27544
This theorem is referenced by:  hst0  27565
  Copyright terms: Public domain W3C validator