HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstoh Structured version   Unicode version

Theorem hstoh 25458
Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstoh  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( S `  A )  =  0h )

Proof of Theorem hstoh
StepHypRef Expression
1 hstcl 25443 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( S `  A )  e.  ~H )
2 choccl 24531 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
3 hstcl 25443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  ( _|_ `  A )  e. 
CH )  ->  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )
42, 3sylan2 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )
5 his7 24314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  ~H  /\  ( S `  A )  e.  ~H  /\  ( S `  ( _|_ `  A ) )  e. 
~H )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
61, 1, 4, 5syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
7 normsq 24358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) ) )
81, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) ) )
98eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  A ) )  =  ( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 ) )
10 ococ 24631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )
11 eqimss2 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  =  A  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CH  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
132, 12jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CH  ->  (
( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
1413adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
15 hstorth 25446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0 )
1614, 15mpdan 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0 )
179, 16oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( S `  A )  .ih  ( S `  A )
)  +  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( ( normh `  ( S `  A
) ) ^ 2 )  +  0 ) )
18 normcl 24349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  RR )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  RR )
2019resqcld 12017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  e.  RR )
2120recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  e.  CC )
2221addid1d 9556 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 ) )
236, 17, 223eqtrrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
24 hstoc 25448 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  +h  ( S `
 ( _|_ `  A
) ) )  =  ( S `  ~H ) )
2524oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( ( S `  A )  +h  ( S `  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) ) )
2623, 25eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) ) )
27 id 22 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  A
)  .ih  ( S `  ~H ) )  =  0  ->  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )
2826, 27sylan9eq 2485 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  ~H )
)  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A
) ) ^ 2 )  =  0 )
29283impa 1175 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0 )
3019recnd 9399 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( normh `  ( S `  A ) )  e.  CC )
31 sqeq0 11913 . . . . 5  |-  ( (
normh `  ( S `  A ) )  e.  CC  ->  ( (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0  <-> 
( normh `  ( S `  A ) )  =  0 ) )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( normh `  ( S `  A )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( normh `  ( S `  A
) )  =  0 ) )
33323adant3 1001 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( (
( normh `  ( S `  A ) ) ^
2 )  =  0  <-> 
( normh `  ( S `  A ) )  =  0 ) )
3429, 33mpbid 210 . 2  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( S `  A
) )  =  0 )
35 hst0h 25454 . . 3  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
36353adant3 1001 . 2  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( ( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
3734, 36mpbid 210 1  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH  /\  ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  ~H ) )  =  0 )  ->  ( S `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269    + caddc 9272   2c2 10358   ^cexp 11848   ~Hchil 24143    +h cva 24144    .ih csp 24146   normhcno 24147   0hc0v 24148   CHcch 24153   _|_cort 24154   CHStateschst 24187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cc 8592  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349  ax-hilex 24223  ax-hfvadd 24224  ax-hvcom 24225  ax-hvass 24226  ax-hv0cl 24227  ax-hvaddid 24228  ax-hfvmul 24229  ax-hvmulid 24230  ax-hvmulass 24231  ax-hvdistr1 24232  ax-hvdistr2 24233  ax-hvmul0 24234  ax-hfi 24303  ax-his1 24306  ax-his2 24307  ax-his3 24308  ax-his4 24309  ax-hcompl 24426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-lm 18674  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cfil 20607  df-cau 20608  df-cmet 20609  df-grpo 23500  df-gid 23501  df-ginv 23502  df-gdiv 23503  df-ablo 23591  df-subgo 23611  df-vc 23746  df-nv 23792  df-va 23795  df-ba 23796  df-sm 23797  df-0v 23798  df-vs 23799  df-nmcv 23800  df-ims 23801  df-dip 23918  df-ssp 23942  df-ph 24035  df-cbn 24086  df-hnorm 24192  df-hba 24193  df-hvsub 24195  df-hlim 24196  df-hcau 24197  df-sh 24431  df-ch 24446  df-oc 24477  df-ch0 24478  df-chj 24535  df-hst 25438
This theorem is referenced by:  hst0  25459
  Copyright terms: Public domain W3C validator