HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem hstle 11802
Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state.
Assertion
Ref Expression
hstle |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (normh` (S` A)) <_ (normh` (S` B)))
Proof of Theorem hstle
StepHypRef Expression
1 hstnmoc 11795 . . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> (((normh` (S` B))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) = 1)
21adantlr 429 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` B))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) = 1)
32opreq2d 4898 . . . . . 6 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + (((normh` (S` B))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) = (((normh` (S` A))^2) + 1))
4 hstcl 11789 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. ~H)
5 normcl 10624 . . . . . . . . . . 11 |- ((S` A) e. ~H -> (normh` (S` A)) e. RR)
64, 5syl 12 . . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` A)) e. RR)
7 resqcl 7866 . . . . . . . . . 10 |- ((normh` (S` A)) e. RR -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
86, 7syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
98adantr 425 . . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
109recnd 6468 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. CC)
11 hstcl 11789 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> (S` B) e. ~H)
12 normcl 10624 . . . . . . . . . . 11 |- ((S` B) e. ~H -> (normh` (S` B)) e. RR)
1311, 12syl 12 . . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> (normh` (S` B)) e. RR)
14 resqcl 7866 . . . . . . . . . 10 |- ((normh` (S` B)) e. RR -> ((normh` (S` B))^2) e. RR)
1513, 14syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> ((normh` (S` B))^2) e. RR)
1615adantlr 429 . . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` B))^2) e. RR)
1716recnd 6468 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` B))^2) e. CC)
18 hstcl 11789 . . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. CHStates /\ (_|_` B) e. CH) -> (S` (_|_` B)) e. ~H)
19 choccl 10817 . . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CH -> (_|_` B) e. CH)
2018, 19sylan2 500 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> (S` (_|_` B)) e. ~H)
21 normcl 10624 . . . . . . . . . . 11 |- ((S` (_|_` B)) e. ~H -> (normh` (S` (_|_` B))) e. RR)
2220, 21syl 12 . . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> (normh` (S` (_|_` B))) e. RR)
23 resqcl 7866 . . . . . . . . . 10 |- ((normh` (S` (_|_` B))) e. RR -> ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. RR)
2422, 23syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. RR)
2524adantlr 429 . . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. RR)
2625recnd 6468 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. CC)
27 add12 6489 . . . . . . 7 |- ((((normh` (S` A))^2) e. CC /\ ((normh` (S` B))^2) e. CC /\ ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. CC) -> (((normh` (S` A))^2) + (((normh` (S` B))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) = (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))))
2810, 17, 26, 27syl111anc 1100 . . . . . 6 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + (((normh` (S` B))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) = (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))))
293, 28eqtr3d 1927 . . . . 5 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + 1) = (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))))
3029adantrr 431 . . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (((normh` (S` A))^2) + 1) = (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))))
31 hstpyth 11801 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ ((_|_` B) e. CH /\ A C_ (_|_` (_|_` B)))) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) = (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)))
3219adantr 425 . . . . . . . 8 |- ((B e. CH /\ A C_ B) -> (_|_` B) e. CH)
33 ococ 10881 . . . . . . . . . 10 |- (B e. CH -> (_|_` (_|_` B)) = B)
3433sseq2d 2645 . . . . . . . . 9 |- (B e. CH -> (A C_ (_|_` (_|_` B)) <-> A C_ B))
3534biimpar 461 . . . . . . . 8 |- ((B e. CH /\ A C_ B) -> A C_ (_|_` (_|_` B)))
3632, 35jca 310 . . . . . . 7 |- ((B e. CH /\ A C_ B) -> ((_|_` B) e. CH /\ A C_ (_|_` (_|_` B))))
3731, 36sylan2 500 . . . . . 6 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) = (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)))
38 hstcl 11789 . . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. CHStates /\ (A vH (_|_` B)) e. CH) -> (S` (A vH (_|_` B))) e. ~H)
39 chjcl 10962 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CH /\ (_|_` B) e. CH) -> (A vH (_|_` B)) e. CH)
4039, 19sylan2 500 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A vH (_|_` B)) e. CH)
4138, 40sylan2 500 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (S` (A vH (_|_` B))) e. ~H)
4241anassrs 489 . . . . . . . . . 10 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (S` (A vH (_|_` B))) e. ~H)
43 normcl 10624 . . . . . . . . . 10 |- ((S` (A vH (_|_` B))) e. ~H -> (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) e. RR)
4442, 43syl 12 . . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) e. RR)
45 normge0 10625 . . . . . . . . . 10 |- ((S` (A vH (_|_` B))) e. ~H -> 0 <_ (normh` (S` (A vH (_|_` B)))))
4642, 45syl 12 . . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> 0 <_ (normh` (S` (A vH (_|_` B)))))
47 hstle1 11798 . . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ (A vH (_|_` B)) e. CH) -> (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) <_ 1)
4847, 40sylan2 500 . . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) <_ 1)
4948anassrs 489 . . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) <_ 1)
50 1re 6598 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
51 le2sq2 7877 . . . . . . . . . 10 |- ((((normh` (S` (A vH (_|_` B)))) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` (A vH (_|_` B))))) /\ (1 e. RR /\ (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) <_ 1)) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) <_ (1^2))
5250, 51mpanr1 774 . . . . . . . . 9 |- ((((normh` (S` (A vH (_|_` B)))) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` (A vH (_|_` B))))) /\ (normh` (S` (A vH (_|_` B)))) <_ 1) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) <_ (1^2))
5344, 46, 49, 52syl21anc 1099 . . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) <_ (1^2))
54 sq1 7882 . . . . . . . 8 |- (1^2) = 1
5553, 54syl6breq 3376 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) <_ 1)
5655adantrr 431 . . . . . 6 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> ((normh` (S` (A vH (_|_` B))))^2) <_ 1)
5737, 56eqbrtrrd 3359 . . . . 5 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) <_ 1)
58 readdcl 6455 . . . . . . . 8 |- ((((normh` (S` A))^2) e. RR /\ ((normh` (S` (_|_` B)))^2) e. RR) -> (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) e. RR)
599, 25, 58syl11anc 524 . . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) e. RR)
60 leadd2 6809 . . . . . . . 8 |- (((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((normh` (S` B))^2) e. RR) -> ((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) <_ 1 <-> (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6150, 60mp3an2 1179 . . . . . . 7 |- (((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) e. RR /\ ((normh` (S` B))^2) e. RR) -> ((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) <_ 1 <-> (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6259, 16, 61syl11anc 524 . . . . . 6 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) <_ 1 <-> (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6362adantrr 431 . . . . 5 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> ((((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2)) <_ 1 <-> (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6457, 63mpbid 212 . . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (((normh` (S` B))^2) + (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` B)))^2))) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1))
6530, 64eqbrtrd 3357 . . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (((normh` (S` A))^2) + 1) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1))
66 leadd1 6808 . . . . . 6 |- ((((normh` (S` A))^2) e. RR /\ ((normh` (S` B))^2) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2) <-> (((normh` (S` A))^2) + 1) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6750, 66mp3an3 1180 . . . . 5 |- ((((normh` (S` A))^2) e. RR /\ ((normh` (S` B))^2) e. RR) -> (((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2) <-> (((normh` (S` A))^2) + 1) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
689, 16, 67syl11anc 524 . . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2) <-> (((normh` (S` A))^2) + 1) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
6968adantrr 431 . . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2) <-> (((normh` (S` A))^2) + 1) <_ (((normh` (S` B))^2) + 1)))
7065, 69mpbird 213 . 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> ((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2))
71 normge0 10625 . . . . . . 7 |- ((S` A) e. ~H -> 0 <_ (normh` (S` A)))
724, 71syl 12 . . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> 0 <_ (normh` (S` A)))
736, 72jca 310 . . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` A))))
7473adantr 425 . . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` A)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` A))))
75 normge0 10625 . . . . . . 7 |- ((S` B) e. ~H -> 0 <_ (normh` (S` B)))
7611, 75syl 12 . . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> 0 <_ (normh` (S` B)))
7713, 76jca 310 . . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ B e. CH) -> ((normh` (S` B)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` B))))
7877adantlr 429 . . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` B)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` B))))
79 le2sq 7876 . . . 4 |- ((((normh` (S` A)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` A))) /\ ((normh` (S` B)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (S` B)))) -> ((normh` (S` A)) <_ (normh` (S` B)) <-> ((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2)))
8074, 78, 79syl11anc 524 . . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((normh` (S` A)) <_ (normh` (S` B)) <-> ((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2)))
8180adantrr 431 . 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> ((normh` (S` A)) <_ (normh` (S` B)) <-> ((normh` (S` A))^2) <_ ((normh` (S` B))^2)))
8270, 81mpbird 213 1 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (B e. CH /\ A C_ B)) -> (normh` (S` A)) <_ (normh` (S` B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420  normhcno 10426  CHcch 10430  _|_cort 10431   vH chj 10434  CHStateschst 10464
This theorem is referenced by:  hstles 11803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-hst 11785
Copyright terms: Public domain