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Theorem hstel2 25621
Description: Properties of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstel2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) )

Proof of Theorem hstel2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishst 25616 . . . 4  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
21simp3bi 1005 . . 3  |-  ( S  e.  CHStates  ->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) )
32ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) )
4 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  ( _|_ `  y )  <->  A  C_  ( _|_ `  y ) ) )
5 fveq2 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( S `  x )  =  ( S `  A ) )
65oveq1d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  y )
) )
76eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
8 oveq1 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
x  vH  y )  =  ( A  vH  y ) )
98fveq2d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( S `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  ( A  vH  y ) ) )
105oveq1d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) )
119, 10eqeq12d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) )  <->  ( S `  ( A  vH  y
) )  =  ( ( S `  A
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
127, 11anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ( S `
 x )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) )  <-> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) ) ) )
134, 12imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( S `
 x )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  <->  ( A  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
14 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( _|_ `  y )  =  ( _|_ `  B
) )
1514sseq2d 3382 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( A  C_  ( _|_ `  y
)  <->  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )
16 fveq2 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( S `  y )  =  ( S `  B ) )
1716oveq2d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  B )
) )
1817eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S `  A )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0 ) )
19 oveq2 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  vH  y )  =  ( A  vH  B
) )
2019fveq2d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( S `  ( A  vH  B ) ) )
2116oveq2d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  A
)  +h  ( S `
 y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) )
2220, 21eqeq12d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) )  <->  ( S `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( S `  A
)  +h  ( S `
 B ) ) ) )
2318, 22anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) )  <->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) )
2415, 23imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) ) )  <-> 
( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) ) ) ) )
2513, 24rspc2v 3077 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) ) )
2625com23 78 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) ) )
2726impr 619 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) )
2827adantll 713 . 2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) ) ) )
293, 28mpd 15 1  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    C_ wss 3326   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   1c1 9281   ~Hchil 24319    +h cva 24320    .ih csp 24322   normhcno 24323   CHcch 24329   _|_cort 24330    vH chj 24333   CHStateschst 24363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-hilex 24399
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-map 7214  df-sh 24607  df-ch 24622  df-hst 25614
This theorem is referenced by:  hstorth  25622  hstosum  25623
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