HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hst0h Structured version   Unicode version

Theorem hst0h 27573
Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals zero iff the state value equals zero. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hst0h  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )

Proof of Theorem hst0h
StepHypRef Expression
1 hstcl 27562 . 2  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  ( S `  A )  e.  ~H )
2 norm-i 26473 . 2  |-  ( ( S `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  ->  (
( normh `  ( S `  A ) )  =  0  <->  ( S `  A )  =  0h ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571   0cc0 9524   ~Hchil 26263   normhcno 26267   0hc0v 26268   CHcch 26273   CHStateschst 26307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-hilex 26343  ax-hv0cl 26347  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his3 26428  ax-his4 26429
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-hnorm 26312  df-sh 26551  df-ch 26566  df-hst 27557
This theorem is referenced by:  hstoh  27577
  Copyright terms: Public domain W3C validator