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Theorem hspmbl 38569
Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspmbl.1  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
hspmbl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hspmbl.i  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
hspmbl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
hspmbl  |-  ( ph  ->  ( K ( H `
 X ) Y )  e.  dom  (voln `  X ) )
Distinct variable groups:    K, l, x, y    X, l, x, y    Y, l, x, y    ph, l    k, l, x, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k)    H( x, y, k, l)    K( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem hspmbl
Dummy variables  a 
j  p  t  b  h  c  r  s  i  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hspmbl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
21ovnome 38513 . . 3  |-  ( ph  ->  (voln* `  X )  e. OutMeas )
3 eqid 2471 . . 3  |-  U. dom  (voln* `  X )  =  U. dom  (voln* `  X )
4 eqid 2471 . . 3  |-  (CaraGen `  (voln* `  X
) )  =  (CaraGen `  (voln* `  X ) )
5 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) Y )  e.  _V
6 reex 9648 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
75, 6ifex 3940 . . . . . . . 8  |-  if ( p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
_V
87ixpssmap 7574 . . . . . . 7  |-  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  ( U_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  ^m  X )
9 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  K  ->  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  =  ( -oo (,) Y ) )
10 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) Y )  C_  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  K  ->  ( -oo (,) Y )  C_  RR )
129, 11eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR ) 
C_  RR )
13 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  p  =  K  ->  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  =  RR )
14 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  p  =  K  ->  RR  C_  RR )
1613, 15eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  =  K  ->  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  RR )
1712, 16pm2.61i 169 . . . . . . . . . 10  |-  if ( p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  RR
1817rgenw 2768 . . . . . . . . 9  |-  A. p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  RR
19 iunss 4310 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR ) 
C_  RR  <->  A. p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  RR )
2018, 19mpbir 214 . . . . . . . 8  |-  U_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  RR
21 mapss 7532 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  U_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR ) 
C_  RR )  -> 
( U_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  ^m  X )  C_  ( RR  ^m  X ) )
226, 20, 21mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( U_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  ^m  X )  C_  ( RR  ^m  X )
238, 22sstri 3427 . . . . . 6  |-  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  ( RR  ^m  X )
247rgenw 2768 . . . . . . . 8  |-  A. p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
_V
25 ixpexg 7564 . . . . . . . 8  |-  ( A. p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  e.  _V  ->  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
_V )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
_V
27 elpwg 3950 . . . . . . 7  |-  ( X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  e.  _V  ->  ( X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  e.  ~P ( RR 
^m  X )  <->  X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  ( RR  ^m  X ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y
) ,  RR )  e.  ~P ( RR 
^m  X )  <->  X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  C_  ( RR  ^m  X ) )
2923, 28mpbir 214 . . . . 5  |-  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
~P ( RR  ^m  X )
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
31 hspmbl.1 . . . . . . 7  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
32 equid 1863 . . . . . . . . 9  |-  x  =  x
33 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  RR
34 equequ1 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  p  ->  (
k  =  l  <->  p  =  l ) )
3534ifbid 3894 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  p  ->  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )  =  if (
p  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
3635cbvixpv 7558 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  x  if (
k  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR )  =  X_ p  e.  x  if ( p  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )
3732, 33, 36mpt2eq123i 6373 . . . . . . . 8  |-  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if (
k  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ p  e.  x  if (
p  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
3837mpteq2i 4479 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if (
k  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) ) )  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ p  e.  x  if ( p  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) ) )
3931, 38eqtri 2493 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ p  e.  x  if ( p  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
40 hspmbl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
41 hspmbl.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4239, 1, 40, 41hspval 38549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K ( H `
 X ) Y )  =  X_ p  e.  X  if (
p  =  K , 
( -oo (,) Y ) ,  RR ) )
431ovnf 38503 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (voln* `  X ) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
44 fdm 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( (voln* `  X
) : ~P ( RR  ^m  X ) --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  (voln* `  X )  =  ~P ( RR  ^m  X ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  (voln* `  X )  =  ~P ( RR  ^m  X ) )
4645unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  (voln* `  X )  =  U. ~P ( RR  ^m  X
) )
47 unipw 4650 . . . . . . . 8  |-  U. ~P ( RR  ^m  X )  =  ( RR  ^m  X )
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ~P ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  X
) )
4946, 48eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  (voln* `  X )  =  ( RR  ^m  X ) )
5049pweqd 3947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  (voln* `  X
)  =  ~P ( RR  ^m  X ) )
5142, 50eleq12d 2543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K ( H `  X ) Y )  e.  ~P U.
dom  (voln* `  X )  <->  X_ p  e.  X  if ( p  =  K ,  ( -oo (,) Y ) ,  RR )  e. 
~P ( RR  ^m  X ) ) )
5230, 51mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ( H `
 X ) Y )  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )
53 simpl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )  ->  ph )
54 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )  -> 
a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )
5553, 50syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )  ->  ~P U. dom  (voln* `  X )  =  ~P ( RR  ^m  X ) )
5654, 55eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )  -> 
a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )
571adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  X  e.  Fin )
58 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  i^i  ( K ( H `  X ) Y ) )  C_  a
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
( a  i^i  ( K ( H `  X ) Y ) )  C_  a )
60 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
a  C_  ( RR  ^m  X ) )
6159, 60sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  -> 
( a  i^i  ( K ( H `  X ) Y ) )  C_  ( RR  ^m  X ) )
6261adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
6357, 62ovnxrcl 38509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
(voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) )  e.  RR* )
6460adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  a  C_  ( RR  ^m  X
) )
6564ssdifssd 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) 
C_  ( RR  ^m  X ) )
6657, 65ovnxrcl 38509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
(voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) )  e.  RR* )
6763, 66xaddcld 11612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  e.  RR* )
68 pnfge 11455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  e.  RR*  ->  ( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_ +oo )
6967, 68syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_ +oo )
7069adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_ +oo )
71 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )
7271eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo  -> +oo  =  ( (voln* `  X ) `  a
) )
7372adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  -> +oo  =  ( (voln* `  X
) `  a )
)
7470, 73breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_  (
(voln* `  X ) `  a
) )
75 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) ) )
7657, 64ovncl 38507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
(voln* `  X ) `  a
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7776adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
78 neqne 2651 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  =/= +oo )
7978adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  =/= +oo )
80 ge0xrre 37729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  =/= +oo )  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )
8177, 79, 80syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )
8257adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  X  e.  Fin )
8340ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  K  e.  X
)
8441ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  Y  e.  RR )
85 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )
8664adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  a  C_  ( RR  ^m  X ) )
87 sseq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
)  <->  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) ) )
8887rabbidv 3022 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } )
8988cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } )  =  ( b  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  b  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } )
90 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  h  /\  p  e.  X )  ->  i  =  h )
9190coeq2d 5002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  h  /\  p  e.  X )  ->  ( [,)  o.  i
)  =  ( [,) 
o.  h ) )
9291fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  h  /\  p  e.  X )  ->  ( ( [,)  o.  i ) `  p
)  =  ( ( [,)  o.  h ) `
 p ) )
9392fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  h  /\  p  e.  X )  ->  ( vol `  (
( [,)  o.  i
) `  p )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  p
) ) )
9493prodeq2dv 14054 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  h  ->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  p
) )  =  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `  p
) ) )
9594cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  p
) ) )  =  ( h  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  h ) `
 p ) ) )
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  p  ->  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n )  =  ( ( [,) 
o.  ( m `  i ) ) `  p ) )
9796cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i ) ) `  n )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  p )
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  h  ->  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i ) ) `  n )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  p )
)
99 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  h  ->  (
m `  i )  =  ( h `  i ) )
10099coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  h  ->  ( [,)  o.  ( m `  i ) )  =  ( [,)  o.  (
h `  i )
) )
101100fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  h  ->  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  p )  =  ( ( [,) 
o.  ( h `  i ) ) `  p ) )
102101ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  h  ->  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i ) ) `  p )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  i )
) `  p )
)
10398, 102eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  h  ->  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i ) ) `  n )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  i )
) `  p )
)
104103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  h  /\  i  e.  NN )  -> 
X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i
) ) `  n
)  =  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i ) ) `  p ) )
105104iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  h  ->  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i
) ) `  n
)  =  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
) )
106105sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  h  ->  (
a  C_  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i
) ) `  n
)  <->  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
) ) )
107106cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { m  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) }  =  { h  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  i )
) `  p ) }
108 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  l  ->  (
h `  i )  =  ( l `  i ) )
109108coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  l  ->  ( [,)  o.  ( h `  i ) )  =  ( [,)  o.  (
l `  i )
) )
110109fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  l  ->  (
( [,)  o.  (
h `  i )
) `  p )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  i ) ) `  p ) )
111110ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  l  ->  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i ) ) `  p )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  i )
) `  p )
)
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h  =  l  /\  i  e.  NN )  -> 
X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
)  =  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  i ) ) `  p ) )
113112iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  l  ->  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
)  =  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  i
) ) `  p
) )
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  j  ->  (
l `  i )  =  ( l `  j ) )
115114coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  j  ->  ( [,)  o.  ( l `  i ) )  =  ( [,)  o.  (
l `  j )
) )
116115fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  (
( [,)  o.  (
l `  i )
) `  p )  =  ( ( [,) 
o.  ( l `  j ) ) `  p ) )
117116ixpeq2dv 7556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  i ) ) `  p )  =  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p )
)
118117cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  i
) ) `  p
)  =  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  l  ->  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  i
) ) `  p
)  =  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) )
120113, 119eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  l  ->  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
)  =  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) )
121120sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  l  ->  (
a  C_  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( h `  i
) ) `  p
)  <->  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) ) )
122121cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { h  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
h `  i )
) `  p ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) }
123107, 122eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { m  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  (
( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) }  =  { l  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  (
( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) }
124123mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } )  =  ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) )
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  c  =  b )
127125, 126fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i
) ) `  n
) } ) `  c )  =  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b ) )
128127eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } ) `  c
)  <->  t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b ) ) )
129 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  p  ->  (
( [,)  o.  i
) `  m )  =  ( ( [,) 
o.  i ) `  p ) )
130129fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  p  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  i ) `  m ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  i
) `  p )
) )
131130cbvprodv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  m
) )  =  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  p
) )
132131mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  m
) ) )  =  ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) )
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) )  =  ( i  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  p
) ) ) )
134 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
t `  m )  =  ( t `  j ) )
135133, 134fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) )  =  ( ( i  e.  ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `  p
) ) ) `  ( t `  j
) ) )
136135cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) )
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )
138137fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (Σ^ `  (
m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) ) )
139 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
(voln* `  X ) `  c
)  =  ( (voln* `  X
) `  b )
)
140139oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s )  =  ( ( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) )
141138, 140breq12d 4408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
(Σ^ `  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) ) )
142128, 141anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
( t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  ( m `  i
) ) `  n
) } ) `  c )  /\  (Σ^ `  (
m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s ) )  <->  ( t  e.  ( ( a  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) ) ) )
143142rabbidva2 3020 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } ) `  c
)  |  (Σ^ `  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s ) }  =  {
t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) } )
144143mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } ) `  c
)  |  (Σ^ `  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s ) } )  =  ( s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) } ) )
145 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  r  ->  (
( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  =  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b ) )
146145eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  r  ->  (
t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  <->  t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b ) ) )
147 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  r  ->  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s )  =  ( ( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) )
148147breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  r  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) ) )
149146, 148anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  r  ->  (
( t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) )  <->  ( t  e.  ( ( a  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) ) ) )
150149rabbidva2 3020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  r  ->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) }  =  {
t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) } )
151150cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) } )
152151a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e s ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) } ) )
153144, 152eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  b  ->  (
s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } ) `  c
)  |  (Σ^ `  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s ) } )  =  ( r  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) 
|->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_  U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  ( l `  j
) ) `  p
) } ) `  b )  |  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  |->  prod_
p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) } ) )
154153cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  ( s  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { m  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ i  e.  NN  X_ n  e.  X  ( ( [,)  o.  (
m `  i )
) `  n ) } ) `  c
)  |  (Σ^ `  ( m  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ m  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 m ) ) ) `  ( t `
 m ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  c
) +e s ) } ) )  =  ( b  e. 
~P ( RR  ^m  X )  |->  ( r  e.  RR+  |->  { t  e.  ( ( a  e.  ~P ( RR 
^m  X )  |->  { l  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  |  a  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ p  e.  X  ( ( [,)  o.  (
l `  j )
) `  p ) } ) `  b
)  |  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( i  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) 
|->  prod_ p  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  i ) `
 p ) ) ) `  ( t `
 j ) ) ) )  <_  (
( (voln* `  X ) `  b
) +e r ) } ) )
155 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  p  ->  (
( t `  j
) `  m )  =  ( ( t `
 j ) `  p ) )
156155fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  p  ->  ( 1st `  ( ( t `
 j ) `  m ) )  =  ( 1st `  (
( t `  j
) `  p )
) )
157156cbvmptv 4488 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( t `  j ) `  m
) ) )  =  ( p  e.  X  |->  ( 1st `  (
( t `  j
) `  p )
) )
158157mpteq2i 4479 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  |->  ( m  e.  X  |->  ( 1st `  ( ( t `  j ) `  m
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( p  e.  X  |->  ( 1st `  (
( t `  j
) `  p )
) ) )
159 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
t `  i )  =  ( t `  j ) )
160159fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( t `  i
) `  m )  =  ( ( t `
 j ) `  m ) )
161160fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( 2nd `  ( ( t `
 i ) `  m ) )  =  ( 2nd `  (
( t `  j
) `  m )
) )
162161mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  i ) `
 m ) ) )  =  ( m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  j ) `  m
) ) ) )
163155fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  p  ->  ( 2nd `  ( ( t `
 j ) `  m ) )  =  ( 2nd `  (
( t `  j
) `  p )
) )
164163cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  j ) `  m
) ) )  =  ( p  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( t `  j
) `  p )
) )
165164a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  j ) `
 m ) ) )  =  ( p  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  j ) `  p
) ) ) )
166162, 165eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  i ) `
 m ) ) )  =  ( p  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  j ) `  p
) ) ) )
167166cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( m  e.  X  |->  ( 2nd `  ( ( t `  i ) `  m
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( p  e.  X  |->  ( 2nd `  (
( t `  j
) `  p )
) ) )
16839, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 95, 154, 158, 167hspmbllem3 38568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  ( (voln* `  X ) `  a
)  e.  RR )  ->  ( ( (voln* `  X
) `  ( a  i^i  ( K ( H `
 X ) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_  (
(voln* `  X ) `  a
) )
16975, 81, 168syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  ( (voln* `  X ) `  a
)  = +oo )  ->  ( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_  (
(voln* `  X ) `  a
) )
17074, 169pm2.61dan 808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P ( RR  ^m  X
) )  ->  (
( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_  (
(voln* `  X ) `  a
) )
17153, 56, 170syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P U. dom  (voln* `  X ) )  -> 
( ( (voln* `  X ) `  (
a  i^i  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) +e ( (voln* `  X ) `  (
a  \  ( K
( H `  X
) Y ) ) ) )  <_  (
(voln* `  X ) `  a
) )
1722, 3, 4, 52, 171caragenel2d 38472 . 2  |-  ( ph  ->  ( K ( H `
 X ) Y )  e.  (CaraGen `  (voln* `  X
) ) )
1731dmvon 38546 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  (voln `  X
)  =  (CaraGen `  (voln* `  X
) ) )
174173eqcomd 2477 . 2  |-  ( ph  ->  (CaraGen `  (voln* `  X ) )  =  dom  (voln `  X
) )
175172, 174eleqtrd 2551 1  |-  ( ph  ->  ( K ( H `
 X ) Y )  e.  dom  (voln `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   NNcn 10631   RR+crp 11325   +ecxad 11430   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318  CaraGenccaragen 38431  voln*covoln 38476  volncvoln 38478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319  df-ome 38430  df-caragen 38432  df-ovoln 38477  df-voln 38479
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