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Theorem hsphoif 38398
Description:  H is a function (that returns the representation of the right side of a half-open interval intersected with a half-space). Step (b) in Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoif.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  X ) 
|->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `
 j ) ,  if ( ( a `
 j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) ) ) ) )
hsphoif.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hsphoif.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hsphoif.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
Assertion
Ref Expression
hsphoif  |-  ( ph  ->  ( ( H `  A ) `  B
) : X --> RR )
Distinct variable groups:    A, a,
j, x    B, a,
j    X, a, j, x    Y, a, x    ph, a,
j, x
Allowed substitution hints:    B( x)    H( x, j, a)    V( x, j, a)    Y( j)

Proof of Theorem hsphoif
StepHypRef Expression
1 hsphoif.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
21ffvelrnda 6022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  X )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
3 hsphoif.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  X )  ->  A  e.  RR )
52, 4ifcld 3924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  X )  ->  if ( ( B `  j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
)  e.  RR )
62, 5ifcld 3924 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  X )  ->  if ( j  e.  Y ,  ( B `  j ) ,  if ( ( B `  j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) )  e.  RR )
7 eqid 2451 . . 3  |-  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y , 
( B `  j
) ,  if ( ( B `  j
)  <_  A , 
( B `  j
) ,  A ) ) )  =  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `  j ) ,  if ( ( B `  j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) )
86, 7fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `
 j ) ,  if ( ( B `
 j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) ) : X --> RR )
9 hsphoif.h . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  X ) 
|->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `
 j ) ,  if ( ( a `
 j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) ) ) ) )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  X )  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y , 
( a `  j
) ,  if ( ( a `  j
)  <_  x , 
( a `  j
) ,  x ) ) ) ) ) )
11 breq2 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( a `  j
)  <_  x  <->  ( a `  j )  <_  A
) )
12 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
1311, 12ifbieq2d 3906 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  if ( ( a `  j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
)  =  if ( ( a `  j
)  <_  A , 
( a `  j
) ,  A ) )
1413ifeq2d 3900 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) )  =  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) ) )
1514mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) ) )  =  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `
 j ) ,  if ( ( a `
 j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) ) ) )
1615mpteq2dv 4490 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
a  e.  ( RR 
^m  X )  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) ) ) )  =  ( a  e.  ( RR  ^m  X
)  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A ) ) ) ) )
1716adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
a  e.  ( RR 
^m  X )  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  x ,  ( a `  j ) ,  x
) ) ) )  =  ( a  e.  ( RR  ^m  X
)  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A ) ) ) ) )
18 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  X )  e. 
_V
1918mptex 6136 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( RR  ^m  X )  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y , 
( a `  j
) ,  if ( ( a `  j
)  <_  A , 
( a `  j
) ,  A ) ) ) )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( RR  ^m  X ) 
|->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `
 j ) ,  if ( ( a `
 j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) ) ) )  e.  _V )
2110, 17, 3, 20fvmptd 5954 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  A
)  =  ( a  e.  ( RR  ^m  X )  |->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y , 
( a `  j
) ,  if ( ( a `  j
)  <_  A , 
( a `  j
) ,  A ) ) ) ) )
22 fveq1 5864 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  (
a `  j )  =  ( B `  j ) )
2322breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  B  ->  (
( a `  j
)  <_  A  <->  ( B `  j )  <_  A
) )
2423, 22ifbieq1d 3904 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
)  =  if ( ( B `  j
)  <_  A , 
( B `  j
) ,  A ) )
2522, 24ifeq12d 3901 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) )  =  if ( j  e.  Y ,  ( B `  j ) ,  if ( ( B `  j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) )
2625mpteq2dv 4490 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  (
j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) ) )  =  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `
 j ) ,  if ( ( B `
 j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) ) )
2726adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  =  B )  ->  (
j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( a `  j ) ,  if ( ( a `  j )  <_  A ,  ( a `  j ) ,  A
) ) )  =  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `
 j ) ,  if ( ( B `
 j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) ) )
28 reex 9630 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
30 hsphoif.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3129, 30jca 535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  e.  _V  /\  X  e.  V ) )
32 elmapg 7485 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  ( B  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
B : X --> RR ) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( RR  ^m  X )  <-> 
B : X --> RR ) )
341, 33mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( RR 
^m  X ) )
35 mptexg 6135 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  (
j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `  j ) ,  if ( ( B `  j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) )  e. 
_V )
3630, 35syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `
 j ) ,  if ( ( B `
 j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) )  e. 
_V )
3721, 27, 34, 36fvmptd 5954 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  A ) `  B
)  =  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y , 
( B `  j
) ,  if ( ( B `  j
)  <_  A , 
( B `  j
) ,  A ) ) ) )
3837feq1d 5714 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( H `
 A ) `  B ) : X --> RR 
<->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( B `
 j ) ,  if ( ( B `
 j )  <_  A ,  ( B `  j ) ,  A
) ) ) : X --> RR ) )
398, 38mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  A ) `  B
) : X --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   RRcr 9538    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474
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