Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hsphoif Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hsphoif 38398
 Description: is a function (that returns the representation of the right side of a half-open interval intersected with a half-space). Step (b) in Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoif.h
hsphoif.a
hsphoif.x
hsphoif.b
Assertion
Ref Expression
hsphoif
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem hsphoif
StepHypRef Expression
1 hsphoif.b . . . . 5
21ffvelrnda 6022 . . . 4
3 hsphoif.a . . . . . 6
43adantr 467 . . . . 5
52, 4ifcld 3924 . . . 4
62, 5ifcld 3924 . . 3
7 eqid 2451 . . 3
86, 7fmptd 6046 . 2
9 hsphoif.h . . . . . 6
109a1i 11 . . . . 5
11 breq2 4406 . . . . . . . . . 10
12 id 22 . . . . . . . . . 10
1311, 12ifbieq2d 3906 . . . . . . . . 9
1413ifeq2d 3900 . . . . . . . 8
1514mpteq2dv 4490 . . . . . . 7
1615mpteq2dv 4490 . . . . . 6
1716adantl 468 . . . . 5
18 ovex 6318 . . . . . . 7
1918mptex 6136 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
2110, 17, 3, 20fvmptd 5954 . . . 4
22 fveq1 5864 . . . . . . 7
2322breq1d 4412 . . . . . . . 8
2423, 22ifbieq1d 3904 . . . . . . 7
2522, 24ifeq12d 3901 . . . . . 6
2625mpteq2dv 4490 . . . . 5
2726adantl 468 . . . 4
28 reex 9630 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 hsphoif.x . . . . . . 7
3129, 30jca 535 . . . . . 6
32 elmapg 7485 . . . . . 6
3331, 32syl 17 . . . . 5
341, 33mpbird 236 . . . 4
35 mptexg 6135 . . . . 5
3630, 35syl 17 . . . 4
3721, 27, 34, 36fvmptd 5954 . . 3
3837feq1d 5714 . 2
398, 38mpbird 236 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045  cif 3881   class class class wbr 4402   cmpt 4461  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cr 9538   cle 9676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474 This theorem is referenced by:  hsphoidmvle2  38407  hsphoidmvle  38408  sge0hsphoire  38411  hoidmvlelem1  38417  hoidmvlelem2  38418  hoidmvlelem4  38420  hspmbllem1  38448  hspmbllem2  38449
 Copyright terms: Public domain W3C validator