Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hsphoidmvle2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hsphoidmvle2 38417
 Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a two half-spaces. Used in the last inequality of step (c) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle2.l
hsphoidmvle2.x
hsphoidmvle2.z
hsphoidmvle2.y
hsphoidmvle2.c
hsphoidmvle2.d
hsphoidmvle2.e
hsphoidmvle2.h
hsphoidmvle2.a
hsphoidmvle2.b
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem hsphoidmvle2
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle2.a . . . . 5
2 hsphoidmvle2.z . . . . . 6
32eldifad 3418 . . . . 5
41, 3ffvelrnd 6028 . . . 4
5 hsphoidmvle2.b . . . . . 6
65, 3ffvelrnd 6028 . . . . 5
7 hsphoidmvle2.c . . . . 5
86, 7ifcld 3926 . . . 4
9 volicore 38413 . . . 4
104, 8, 9syl2anc 667 . . 3
11 hsphoidmvle2.d . . . . 5
126, 11ifcld 3926 . . . 4
13 volicore 38413 . . . 4
144, 12, 13syl2anc 667 . . 3
15 hsphoidmvle2.x . . . . 5
16 difssd 3563 . . . . 5
17 ssfi 7797 . . . . 5
1815, 16, 17syl2anc 667 . . . 4
19 eldifi 3557 . . . . . 6
2019adantl 468 . . . . 5
211ffvelrnda 6027 . . . . . 6
225ffvelrnda 6027 . . . . . 6
23 volicore 38413 . . . . . 6
2421, 22, 23syl2anc 667 . . . . 5
2520, 24syldan 473 . . . 4
2618, 25fprodrecl 14019 . . 3
27 nfv 1763 . . . 4
2820, 21syldan 473 . . . . . 6
2920, 22syldan 473 . . . . . . 7
3029rexrd 9695 . . . . . 6
31 icombl 22529 . . . . . 6
3228, 30, 31syl2anc 667 . . . . 5
33 volge0 37848 . . . . 5
3432, 33syl 17 . . . 4
3527, 18, 25, 34fprodge0 14059 . . 3
368rexrd 9695 . . . . 5
37 icombl 22529 . . . . 5
384, 36, 37syl2anc 667 . . . 4
3912rexrd 9695 . . . . 5
40 icombl 22529 . . . . 5
414, 39, 40syl2anc 667 . . . 4
424rexrd 9695 . . . . 5
434leidd 10187 . . . . 5
446leidd 10187 . . . . . . . 8
4544adantr 467 . . . . . . 7
46 iftrue 3889 . . . . . . . . 9
4746adantl 468 . . . . . . . 8
486adantr 467 . . . . . . . . . 10
497adantr 467 . . . . . . . . . 10
5011adantr 467 . . . . . . . . . 10
51 simpr 463 . . . . . . . . . 10
52 hsphoidmvle2.e . . . . . . . . . . 11
5352adantr 467 . . . . . . . . . 10
5448, 49, 50, 51, 53letrd 9797 . . . . . . . . 9
5554iftrued 3891 . . . . . . . 8
5647, 55breq12d 4418 . . . . . . 7
5745, 56mpbird 236 . . . . . 6
58 simpl 459 . . . . . . . 8
59 simpr 463 . . . . . . . . 9
6058, 7syl 17 . . . . . . . . . 10
6158, 6syl 17 . . . . . . . . . 10
6260, 61ltnled 9787 . . . . . . . . 9
6359, 62mpbird 236 . . . . . . . 8
647adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
656adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
66 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
6764, 65, 66ltled 9788 . . . . . . . . . . 11
6867adantr 467 . . . . . . . . . 10
69 iftrue 3889 . . . . . . . . . . . 12
7069eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11
7170adantl 468 . . . . . . . . . 10
7268, 71breqtrd 4430 . . . . . . . . 9
7352ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10
74 iffalse 3892 . . . . . . . . . . . 12
7574eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11
7675adantl 468 . . . . . . . . . 10
7773, 76breqtrd 4430 . . . . . . . . 9
7872, 77pm2.61dan 801 . . . . . . . 8
7958, 63, 78syl2anc 667 . . . . . . 7
80 iffalse 3892 . . . . . . . . 9
8180adantl 468 . . . . . . . 8
8281breq1d 4415 . . . . . . 7
8379, 82mpbird 236 . . . . . 6
8457, 83pm2.61dan 801 . . . . 5
85 icossico 11711 . . . . 5
8642, 39, 43, 84, 85syl22anc 1270 . . . 4
87 volss 22499 . . . 4
8838, 41, 86, 87syl3anc 1269 . . 3
8910, 14, 26, 35, 88lemul1ad 10553 . 2
90 hsphoidmvle2.l . . . . 5
91 ne0i 3739 . . . . . 6
923, 91syl 17 . . . . 5
93 hsphoidmvle2.h . . . . . 6
9493, 7, 15, 5hsphoif 38408 . . . . 5
9590, 15, 92, 1, 94hoidmvn0val 38416 . . . 4
9694ffvelrnda 6027 . . . . . . 7
97 volicore 38413 . . . . . . 7
9821, 96, 97syl2anc 667 . . . . . 6
9998recnd 9674 . . . . 5
100 fveq2 5870 . . . . . . . . 9
101 fveq2 5870 . . . . . . . . 9
102100, 101oveq12d 6313 . . . . . . . 8
103102fveq2d 5874 . . . . . . 7
104103adantl 468 . . . . . 6
10593, 7, 15, 5, 3hsphoival 38411 . . . . . . . . . 10
1062eldifbd 3419 . . . . . . . . . . 11
107106iffalsed 3894 . . . . . . . . . 10
108105, 107eqtrd 2487 . . . . . . . . 9
109108oveq2d 6311 . . . . . . . 8
110109fveq2d 5874 . . . . . . 7
111110adantr 467 . . . . . 6
112104, 111eqtrd 2487 . . . . 5
11315, 99, 3, 112fprodsplit1 37683 . . . 4
1147adantr 467 . . . . . . . . . 10
11515adantr 467 . . . . . . . . . 10
1165adantr 467 . . . . . . . . . 10
11793, 114, 115, 116, 20hsphoival 38411 . . . . . . . . 9
118 hsphoidmvle2.y . . . . . . . . . . . . 13
11919, 118syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . 12
120 eldifn 3558 . . . . . . . . . . . 12
121 elunnel2 37370 . . . . . . . . . . . 12
122119, 120, 121syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
123122adantl 468 . . . . . . . . . 10
124123iftrued 3891 . . . . . . . . 9
125117, 124eqtrd 2487 . . . . . . . 8
126125oveq2d 6311 . . . . . . 7
127126fveq2d 5874 . . . . . 6
128127prodeq2dv 13989 . . . . 5
129128oveq2d 6311 . . . 4
13095, 113, 1293eqtrd 2491 . . 3
13193, 11, 15, 5hsphoif 38408 . . . . 5
13290, 15, 92, 1, 131hoidmvn0val 38416 . . . 4
133131ffvelrnda 6027 . . . . . . 7
134 volicore 38413 . . . . . . 7
13521, 133, 134syl2anc 667 . . . . . 6
136135recnd 9674 . . . . 5
137 fveq2 5870 . . . . . . . 8
138100, 137oveq12d 6313 . . . . . . 7
139138fveq2d 5874 . . . . . 6
140139adantl 468 . . . . 5
14115, 136, 3, 140fprodsplit1 37683 . . . 4
14293, 11, 15, 5, 3hsphoival 38411 . . . . . . . 8
143106iffalsed 3894 . . . . . . . 8
144142, 143eqtrd 2487 . . . . . . 7
145144oveq2d 6311 . . . . . 6
146145fveq2d 5874 . . . . 5
14711adantr 467 . . . . . . . . . 10
14893, 147, 115, 116, 20hsphoival 38411 . . . . . . . . 9
149123iftrued 3891 . . . . . . . . 9
150148, 149eqtrd 2487 . . . . . . . 8
151150oveq2d 6311 . . . . . . 7
152151fveq2d 5874 . . . . . 6
153152prodeq2dv 13989 . . . . 5
154146, 153oveq12d 6313 . . . 4
155132, 141, 1543eqtrd 2491 . . 3
156130, 155breq12d 4418 . 2
15789, 156mpbird 236 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624   cdif 3403   cun 3404   wss 3406  c0 3733  cif 3883  csn 3970   class class class wbr 4405   cmpt 4464   cdm 4837  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cmap 7477  cfn 7574  cr 9543  cc0 9544   cmul 9549  cxr 9679   clt 9680   cle 9681  cico 11644  cprod 13971  cvol 22427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  38427  hoidmvlelem2  38428
 Copyright terms: Public domain W3C validator