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Theorem hsphoidmvle2 38417
Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a two half-spaces. Used in the last inequality of step (c) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hsphoidmvle2.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
hsphoidmvle2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hsphoidmvle2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( X 
\  Y ) )
hsphoidmvle2.y  |-  X  =  ( Y  u.  { Z } )
hsphoidmvle2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
hsphoidmvle2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
hsphoidmvle2.e  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
hsphoidmvle2.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  X ) 
|->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( c `
 j ) ,  if ( ( c `
 j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
) ) ) ) )
hsphoidmvle2.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
hsphoidmvle2.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
Assertion
Ref Expression
hsphoidmvle2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  C
) `  B )
)  <_  ( A
( L `  X
) ( ( H `
 D ) `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, k    B, a,
b, k    B, c,
j, k    C, a,
b, k, x    C, c, j, x    D, a, b, k, x    D, c, j    H, a, b, k    X, a, b, k, x    X, c, j    Y, c, j, x    Z, c, j, k, x    ph, a,
b, k, x    ph, c,
j
Allowed substitution hints:    A( x, j, c)    B( x)    H( x, j, c)    L( x, j, k, a, b, c)    Y( k, a, b)    Z( a, b)

Proof of Theorem hsphoidmvle2
StepHypRef Expression
1 hsphoidmvle2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
2 hsphoidmvle2.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( X 
\  Y ) )
32eldifad 3418 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
41, 3ffvelrnd 6028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR )
5 hsphoidmvle2.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
65, 3ffvelrnd 6028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  RR )
7 hsphoidmvle2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
86, 7ifcld 3926 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  e.  RR )
9 volicore 38413 . . . 4  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  e.  RR )
104, 8, 9syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  e.  RR )
11 hsphoidmvle2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
126, 11ifcld 3926 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  e.  RR )
13 volicore 38413 . . . 4  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )  e.  RR )
144, 12, 13syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )  e.  RR )
15 hsphoidmvle2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
16 difssd 3563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  \  { Z } )  C_  X
)
17 ssfi 7797 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ( X  \  { Z } )  C_  X
)  ->  ( X  \  { Z } )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  \  { Z } )  e.  Fin )
19 eldifi 3557 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
k  e.  X )
2019adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
k  e.  X )
211ffvelrnda 6027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
225ffvelrnda 6027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
23 volicore 38413 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  e.  RR )
2520, 24syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  e.  RR )
2618, 25fprodrecl 14019 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  e.  RR )
27 nfv 1763 . . . 4  |-  F/ k
ph
2820, 21syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( A `  k
)  e.  RR )
2920, 22syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR )
3029rexrd 9695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR* )
31 icombl 22529 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR* )  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )  e.  dom  vol )
3228, 30, 31syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  e.  dom  vol )
33 volge0 37848 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )  e.  dom  vol  ->  0  <_  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
3432, 33syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
0  <_  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
3527, 18, 25, 34fprodge0 14059 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
368rexrd 9695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  e.  RR* )
37 icombl 22529 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  e.  RR* )  ->  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  e.  dom  vol )
384, 36, 37syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  e.  dom  vol )
3912rexrd 9695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  e.  RR* )
40 icombl 22529 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  e.  RR* )  ->  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )  e.  dom  vol )
414, 39, 40syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )  e.  dom  vol )
424rexrd 9695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR* )
434leidd 10187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  <_  ( A `  Z ) )
446leidd 10187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  <_  ( B `  Z ) )
4544adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  ( B `  Z )  <_  ( B `  Z )
)
46 iftrue 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  Z )  <_  C  ->  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  =  ( B `
 Z ) )
4746adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  if (
( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C )  =  ( B `  Z ) )
486adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  ( B `  Z )  e.  RR )
497adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  C  e.  RR )
5011adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  D  e.  RR )
51 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  ( B `  Z )  <_  C
)
52 hsphoidmvle2.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
5352adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  C  <_  D )
5448, 49, 50, 51, 53letrd 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  ( B `  Z )  <_  D
)
5554iftrued 3891 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D )  =  ( B `  Z ) )
5647, 55breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  ( if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D )  <-> 
( B `  Z
)  <_  ( B `  Z ) ) )
5745, 56mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B `  Z )  <_  C
)  ->  if (
( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C )  <_  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D ) )
58 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  ph )
59 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  -.  ( B `  Z )  <_  C )
6058, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  C  e.  RR )
6158, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  ( B `  Z )  e.  RR )
6260, 61ltnled 9787 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  ( C  <  ( B `  Z )  <->  -.  ( B `  Z )  <_  C ) )
6359, 62mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  C  <  ( B `  Z
) )
647adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <  ( B `  Z ) )  ->  C  e.  RR )
656adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <  ( B `  Z ) )  ->  ( B `  Z )  e.  RR )
66 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <  ( B `  Z ) )  ->  C  <  ( B `  Z ) )
6764, 65, 66ltled 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <  ( B `  Z ) )  ->  C  <_  ( B `  Z ) )
6867adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  ( B `  Z )  <_  D )  ->  C  <_  ( B `  Z
) )
69 iftrue 3889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  Z )  <_  D  ->  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  =  ( B `
 Z ) )
7069eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B `  Z )  <_  D  ->  ( B `  Z )  =  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
7170adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  ( B `  Z )  <_  D )  ->  ( B `  Z )  =  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
7268, 71breqtrd 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  ( B `  Z )  <_  D )  ->  C  <_  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
7352ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  ( B `  Z )  <_  D )  ->  C  <_  D )
74 iffalse 3892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( B `  Z
)  <_  D  ->  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  =  D )
7574eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( B `  Z
)  <_  D  ->  D  =  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D ) )
7675adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  ( B `  Z )  <_  D )  ->  D  =  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) )
7773, 76breqtrd 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  ( B `  Z )  <_  D )  ->  C  <_  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D ) )
7872, 77pm2.61dan 801 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <  ( B `  Z ) )  ->  C  <_  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
7958, 63, 78syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  C  <_  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
80 iffalse 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( B `  Z
)  <_  C  ->  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  =  C )
8180adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  =  C )
8281breq1d 4415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  ( if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D )  <-> 
C  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )
8379, 82mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  C )  ->  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) )
8457, 83pm2.61dan 801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) )
85 icossico 11711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  Z )  e.  RR*  /\  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
)  e.  RR* )  /\  ( ( A `  Z )  <_  ( A `  Z )  /\  if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
)  <_  if (
( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )  ->  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) )  C_  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) ) )
8642, 39, 43, 84, 85syl22anc 1270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  C_  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )
87 volss 22499 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  C_  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )  ->  ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) ) )  <_ 
( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) ) )
8838, 41, 86, 87syl3anc 1269 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  <_  ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) ) ) )
8910, 14, 26, 35, 88lemul1ad 10553 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )  <_  ( ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) ) )  x. 
prod_ k  e.  ( X  \  { Z }
) ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) ) )
90 hsphoidmvle2.l . . . . 5  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
91 ne0i 3739 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
923, 91syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
93 hsphoidmvle2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  X ) 
|->  ( j  e.  X  |->  if ( j  e.  Y ,  ( c `
 j ) ,  if ( ( c `
 j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
) ) ) ) )
9493, 7, 15, 5hsphoif 38408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( H `  C ) `  B
) : X --> RR )
9590, 15, 92, 1, 94hoidmvn0val 38416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  C
) `  B )
)  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  C ) `  B
) `  k )
) ) )
9694ffvelrnda 6027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( H `  C ) `  B
) `  k )  e.  RR )
97 volicore 38413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  k ) ) )  e.  RR )
9821, 96, 97syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
) ) )  e.  RR )
9998recnd 9674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
) ) )  e.  CC )
100 fveq2 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  Z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  Z ) )
101 fveq2 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  Z  ->  (
( ( H `  C ) `  B
) `  k )  =  ( ( ( H `  C ) `
 B ) `  Z ) )
102100, 101oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  Z  ->  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  k ) )  =  ( ( A `  Z ) [,) (
( ( H `  C ) `  B
) `  Z )
) )
103102fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  =  Z  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  Z ) ) ) )
104103adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  Z )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  Z ) ) ) )
10593, 7, 15, 5, 3hsphoival 38411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  Y , 
( B `  Z
) ,  if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )
1062eldifbd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  Y
)
107106iffalsed 3894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( Z  e.  Y ,  ( B `
 Z ) ,  if ( ( B `
 Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )  =  if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) )
108105, 107eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  Z
)  =  if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) )
109108oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) (
( ( H `  C ) `  B
) `  Z )
)  =  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C ) ) )
110109fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  Z ) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) ) )
111110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  Z )  ->  ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  Z
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) ) )
112104, 111eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  =  Z )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) ) )
11315, 99, 3, 112fprodsplit1 37683 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( ( ( H `  C ) `
 B ) `  k ) ) )  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C
) ) )  x. 
prod_ k  e.  ( X  \  { Z }
) ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  k ) ) ) ) )
1147adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  C  e.  RR )
11515adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  X  e.  Fin )
1165adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  B : X --> RR )
11793, 114, 115, 116, 20hsphoival 38411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
)  =  if ( k  e.  Y , 
( B `  k
) ,  if ( ( B `  k
)  <_  C , 
( B `  k
) ,  C ) ) )
118 hsphoidmvle2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Y  u.  { Z } )
11919, 118syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
k  e.  ( Y  u.  { Z }
) )
120 eldifn 3558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( X  \  { Z } )  ->  -.  k  e.  { Z } )
121 elunnel2 37370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( Y  u.  { Z }
)  /\  -.  k  e.  { Z } )  ->  k  e.  Y
)
122119, 120, 121syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
k  e.  Y )
123122adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
k  e.  Y )
124123iftrued 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  if ( k  e.  Y ,  ( B `  k ) ,  if ( ( B `  k )  <_  C ,  ( B `  k ) ,  C
) )  =  ( B `  k ) )
125117, 124eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( ( H `
 C ) `  B ) `  k
)  =  ( B `
 k ) )
126125oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  C ) `  B
) `  k )
)  =  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )
127126fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  C
) `  B ) `  k ) ) )  =  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
128127prodeq2dv 13989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  C ) `  B
) `  k )
) )  =  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
129128oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( ( ( H `  C ) `
 B ) `  k ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) ) )
13095, 113, 1293eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  C
) `  B )
)  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  C ,  ( B `  Z ) ,  C ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) ) )
13193, 11, 15, 5hsphoif 38408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( H `  D ) `  B
) : X --> RR )
13290, 15, 92, 1, 131hoidmvn0val 38416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  D
) `  B )
)  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )
) ) )
133131ffvelrnda 6027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )  e.  RR )
134 volicore 38413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  k ) ) )  e.  RR )
13521, 133, 134syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
) ) )  e.  RR )
136135recnd 9674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
) ) )  e.  CC )
137 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  Z  ->  (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )  =  ( ( ( H `  D ) `
 B ) `  Z ) )
138100, 137oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( k  =  Z  ->  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  k ) )  =  ( ( A `  Z ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  Z )
) )
139138fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( k  =  Z  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  Z ) ) ) )
140139adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  =  Z )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  Z ) ) ) )
14115, 136, 3, 140fprodsplit1 37683 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( ( ( H `  D ) `
 B ) `  k ) ) )  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  Z )
) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( ( ( H `  D ) `
 B ) `  k ) ) ) ) )
14293, 11, 15, 5, 3hsphoival 38411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  Z
)  =  if ( Z  e.  Y , 
( B `  Z
) ,  if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )
143106iffalsed 3894 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( Z  e.  Y ,  ( B `
 Z ) ,  if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )  =  if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) )
144142, 143eqtrd 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( H `
 D ) `  B ) `  Z
)  =  if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) )
145144oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  Z )
)  =  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D ) ) )
146145fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  Z ) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) ) )
14711adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  D  e.  RR )
14893, 147, 115, 116, 20hsphoival 38411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
)  =  if ( k  e.  Y , 
( B `  k
) ,  if ( ( B `  k
)  <_  D , 
( B `  k
) ,  D ) ) )
149123iftrued 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  if ( k  e.  Y ,  ( B `  k ) ,  if ( ( B `  k )  <_  D ,  ( B `  k ) ,  D
) )  =  ( B `  k ) )
150148, 149eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( ( H `
 D ) `  B ) `  k
)  =  ( B `
 k ) )
151150oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )
)  =  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )
152151fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  k ) ) )  =  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
153152prodeq2dv 13989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )
) )  =  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
154146, 153oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( ( ( H `  D
) `  B ) `  Z ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) (
( ( H `  D ) `  B
) `  k )
) ) )  =  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  D , 
( B `  Z
) ,  D ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) ) )
155132, 141, 1543eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  D
) `  B )
)  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) if ( ( B `  Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) ) )
156130, 155breq12d 4418 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( L `  X ) ( ( H `  C ) `  B
) )  <_  ( A ( L `  X ) ( ( H `  D ) `
 B ) )  <-> 
( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) if ( ( B `  Z
)  <_  C , 
( B `  Z
) ,  C ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )  <_  ( ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,)
if ( ( B `
 Z )  <_  D ,  ( B `  Z ) ,  D
) ) )  x. 
prod_ k  e.  ( X  \  { Z }
) ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) ) ) )
15789, 156mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) ( ( H `  C
) `  B )
)  <_  ( A
( L `  X
) ( ( H `
 D ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    \ cdif 3403    u. cun 3404    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   {csn 3970   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   RRcr 9543   0cc0 9544    x. cmul 9549   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   [,)cico 11644   prod_cprod 13971   volcvol 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  38427  hoidmvlelem2  38428
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