Theorem hsphoidmvle 38418

Description: The dimensional volume of a half-open interval intersected with a half-space, is less than or equal to the dimensional volume of the original half-open interval. Used in the last inequality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsphoidmvle.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hsphoidmvle.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hsphoidmvle.z	|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hsphoidmvle.y	|- X = ( Y u. { Z } )
hsphoidmvle.c	|- ( ph -> C e. RR )
hsphoidmvle.h	|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
hsphoidmvle.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hsphoidmvle.b	|- ( ph -> B : X --> RR )

Assertion

Ref	Expression
hsphoidmvle	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, k   B, a, b, k   B, c, j, k   C, a, b, k, x   C, c, j, x   H, a, b, k   X, a, b, k, x   X, c, j   Y, c, j, x   Z, c, j, k, x   ph, a, b, k, x   ph, c, j

Allowed substitution hints:   A( x, j, c)   B( x)   H( x, j, c)   L( x, j, k, a, b, c)   Y( k, a, b)   Z( a, b)

Proof of Theorem hsphoidmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsphoidmvle.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : X --> RR )
2		hsphoidmvle.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
3	2	eldifad 3418	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. X )
4	1, 3	ffvelrnd 6028	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
5		hsphoidmvle.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B : X --> RR )
6	5, 3	ffvelrnd 6028	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
7		hsphoidmvle.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
8	6, 7	ifcld 3926	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR )
9		volicore 38413	. . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
10	4, 8, 9	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) e. RR )
11		volicore 38413	. . . 4 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
12	4, 6, 11	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
13		hsphoidmvle.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
14		difssd 3563	. . . . 5 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) C_ X )
15		ssfi 7797	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ ( X \ { Z } ) C_ X ) -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
16	13, 14, 15	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) e. Fin )
17		eldifi 3557	. . . . . 6 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. X )
18	17	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. X )
19	1	ffvelrnda 6027	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
20	5	ffvelrnda 6027	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
21		volicore 38413	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
22	19, 20, 21	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
23	18, 22	syldan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
24	16, 23	fprodrecl 14019	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
25		nfv 1763	. . . 4 |- F/ k ph
26	18, 19	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
27	18, 20	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
28	27	rexrd 9695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( B ` k ) e. RR* )
29		icombl 22529	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
30	26, 28, 29	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
31		volge0 37848	. . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
33	25, 16, 23, 32	fprodge0 14059	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
34	8	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* )
35		icombl 22529	. . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
36	4, 34, 35	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol )
37	6	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR* )
38		icombl 22529	. . . . 5 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR* ) -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol )
39	4, 37, 38	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol )
40	4	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* )
41	4	leidd 10187	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) )
42		min1 11490	. . . . . 6 |- ( ( ( B ` Z ) e. RR /\ C e. RR ) -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) )
43	6, 7, 42	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) )
44		icossico 11711	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* ) /\ ( ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) /\ if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) <_ ( B ` Z ) ) ) -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
45	40, 37, 41, 43, 44	syl22anc 1270	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
46		volss 22499	. . . 4 |- ( ( ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) C_ ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
47	36, 39, 45, 46	syl3anc 1269	. . 3 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
48	10, 12, 24, 33, 47	lemul1ad 10553	. 2 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
49		hsphoidmvle.l	. . . . 5 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
50		ne0i 3739	. . . . . 6 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
51	3, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= (/) )
52		hsphoidmvle.h	. . . . . 6 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( j e. X |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
53	52, 7, 13, 5	hsphoif 38408	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( H ` C ) ` B ) : X --> RR )
54	49, 13, 51, 1, 53	hoidmvn0val 38416	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) )
55	53	ffvelrnda 6027	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR )
56		volicore 38413	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
57	19, 55, 56	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. RR )
58	57	recnd 9674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) e. CC )
59		fveq2 5870	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
60		fveq2 5870	. . . . . . . . 9 |- ( k = Z -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) )
61	59, 60	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) )
62	61	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
63	62	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) )
64	52, 7, 13, 5, 3	hsphoival 38411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
65	2	eldifbd 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. Z e. Y )
66	65	iffalsed 3894	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( Z e. Y , ( B ` Z ) , if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
67	64, 66	eqtrd 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) = if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) )
68	67	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) )
69	68	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
70	69	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
71	63, 70	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) )
72	13, 58, 3, 71	fprodsplit1 37683	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) )
73	7	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> C e. RR )
74	13	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> X e. Fin )
75	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> B : X --> RR )
76	52, 73, 74, 75, 18	hsphoival 38411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) )
77		hsphoidmvle.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Y u. { Z } )
78	17, 77	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. ( Y u. { Z } ) )
79		eldifn 3558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> -. k e. { Z } )
80		elunnel2 37370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( Y u. { Z } ) /\ -. k e. { Z } ) -> k e. Y )
81	78, 79, 80	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( X \ { Z } ) -> k e. Y )
82	81	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> k e. Y )
83	82	iftrued 3891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> if ( k e. Y , ( B ` k ) , if ( ( B ` k ) <_ C , ( B ` k ) , C ) ) = ( B ` k ) )
84	76, 83	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) = ( B ` k ) )
85	84	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	85	fveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( X \ { Z } ) ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
87	86	prodeq2dv 13989	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) = prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
88	87	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( ( H ` C ) ` B ) ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
89	54, 72, 88	3eqtrd 2491	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
90	49, 1, 5, 13	hoidmvval 38409	. . . 4 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = if ( X = (/) , 0 , prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
91	51	neneqd 2631	. . . . 5 |- ( ph -> -. X = (/) )
92	91	iffalsed 3894	. . . 4 |- ( ph -> if ( X = (/) , 0 , prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
93	22	recnd 9674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
94		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
95	59, 94	oveq12d 6313	. . . . . . 7 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
96	95	fveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
97	96	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
98	13, 93, 3, 97	fprodsplit1 37683	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
99	90, 92, 98	3eqtrd 2491	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
100	89, 99	breq12d 4418	. 2 |- ( ph -> ( ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) <-> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) if ( ( B ` Z ) <_ C , ( B ` Z ) , C ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) <_ ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) ) )
101	48, 100	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) ( ( H ` C ) ` B ) ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   \ cdif 3403   u. cun 3404   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   {csn 3970   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   RRcr 9543   0cc0 9544   x. cmul 9549   RR*cxr 9679   <_ cle 9681   [,)cico 11644   prod_cprod 13971   volcvol 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430

This theorem is referenced by:  sge0hsphoire  38421  hoidmvlelem1  38427  hoidmvlelem4  38430  hspmbllem2  38459