Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Unicode version

Theorem hsn0elch 26899
 Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26654 . . . . 5
2 snssi 4144 . . . . 5
31, 2ax-mp 5 . . . 4
41elexi 3090 . . . . 5
54snid 4026 . . . 4
63, 5pm3.2i 456 . . 3
7 elsn 4012 . . . . . 6
8 elsn 4012 . . . . . 6
9 oveq12 6314 . . . . . . . 8
101hvaddid2i 26680 . . . . . . . 8
119, 10syl6eq 2479 . . . . . . 7
12 ovex 6333 . . . . . . . 8
1312elsnc 4022 . . . . . . 7
1411, 13sylibr 215 . . . . . 6
157, 8, 14syl2anb 481 . . . . 5
1615rgen2a 2849 . . . 4
17 oveq2 6313 . . . . . . . 8
18 hvmul0 26675 . . . . . . . 8
1917, 18sylan9eqr 2485 . . . . . . 7
20 ovex 6333 . . . . . . . 8
2120elsnc 4022 . . . . . . 7
2219, 21sylibr 215 . . . . . 6
238, 22sylan2b 477 . . . . 5
2423rgen2 2847 . . . 4
2516, 24pm3.2i 456 . . 3
26 issh2 26860 . . 3
276, 25, 26mpbir2an 928 . 2
284fconst2 6136 . . . . . 6
29 hlim0 26886 . . . . . . 7
30 breq1 4426 . . . . . . 7
3129, 30mpbiri 236 . . . . . 6
3228, 31sylbi 198 . . . . 5
33 hlimuni 26889 . . . . . 6
3433eleq1d 2491 . . . . 5
3532, 34sylan 473 . . . 4
365, 35mpbii 214 . . 3
3736gen2 1664 . 2
38 isch2 26874 . 2
3927, 37, 38mpbir2an 928 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370  wal 1435   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771   wss 3436  csn 3998   class class class wbr 4423   cxp 4851  wf 5597  (class class class)co 6305  cc 9544  cn 10616  chil 26570   cva 26571   csm 26572  c0v 26575   chli 26578  csh 26579  cch 26580 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hvcom 26652  ax-hvass 26653  ax-hv0cl 26654  ax-hvaddid 26655  ax-hfvmul 26656  ax-hvmulid 26657  ax-hvmulass 26658  ax-hvdistr1 26659  ax-hvdistr2 26660  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his1 26733  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-lm 20243  df-haus 20329  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ginv 25919  df-gdiv 25920  df-ablo 26008  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-vs 26216  df-nmcv 26217  df-ims 26218  df-hnorm 26619  df-hvsub 26622  df-hlim 26623  df-sh 26858  df-ch 26872 This theorem is referenced by:  h0elch  26906  h1de2ctlem  27206
 Copyright terms: Public domain W3C validator