HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Unicode version

Theorem hsn0elch 26899
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch  |-  { 0h }  e.  CH

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26654 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 snssi 4144 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  { 0h }  C_  ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  { 0h }  C_  ~H
41elexi 3090 . . . . 5  |-  0h  e.  _V
54snid 4026 . . . 4  |-  0h  e.  { 0h }
63, 5pm3.2i 456 . . 3  |-  ( { 0h }  C_  ~H  /\ 
0h  e.  { 0h } )
7 elsn 4012 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0h }  <->  x  =  0h )
8 elsn 4012 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 0h }  <->  y  =  0h )
9 oveq12 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( 0h 
+h  0h ) )
101hvaddid2i 26680 . . . . . . . 8  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
119, 10syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  0h )
12 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( x  +h  y )  e. 
_V
1312elsnc 4022 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  +h  y )  =  0h )
1411, 13sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  e.  { 0h } )
157, 8, 14syl2anb 481 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 0h }  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  +h  y )  e.  { 0h }
)
1615rgen2a 2849 . . . 4  |-  A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }
17 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0h  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h 
0h ) )
18 hvmul0 26675 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  0h )  =  0h )
1917, 18sylan9eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  =  0h )
20 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( x  .h  y )  e. 
_V
2120elsnc 4022 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  .h  y )  =  0h )
2219, 21sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  e.  { 0h } )
238, 22sylan2b 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
2423rgen2 2847 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
2516, 24pm3.2i 456 . . 3  |-  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
26 issh2 26860 . . 3  |-  ( { 0h }  e.  SH  <->  ( ( { 0h }  C_ 
~H  /\  0h  e.  { 0h } )  /\  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e. 
{ 0h }  (
x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  { 0h }  ( x  .h  y )  e.  { 0h } ) ) )
276, 25, 26mpbir2an 928 . 2  |-  { 0h }  e.  SH
284fconst2 6136 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0h } 
<->  f  =  ( NN 
X.  { 0h }
) )
29 hlim0 26886 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
30 breq1 4426 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
( f  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) 
~~>v  0h ) )
3129, 30mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
f  ~~>v  0h )
3228, 31sylbi 198 . . . . 5  |-  ( f : NN --> { 0h }  ->  f  ~~>v  0h )
33 hlimuni 26889 . . . . . 6  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  0h  =  x )
3433eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h }
) )
3532, 34sylan 473 . . . 4  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h } ) )
365, 35mpbii 214 . . 3  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
3736gen2 1664 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
38 isch2 26874 . 2  |-  ( { 0h }  e.  CH  <->  ( { 0h }  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } ) ) )
3927, 37, 38mpbir2an 928 1  |-  { 0h }  e.  CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771    C_ wss 3436   {csn 3998   class class class wbr 4423    X. cxp 4851   -->wf 5597  (class class class)co 6305   CCcc 9544   NNcn 10616   ~Hchil 26570    +h cva 26571    .h csm 26572   0hc0v 26575    ~~>v chli 26578   SHcsh 26579   CHcch 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hvcom 26652  ax-hvass 26653  ax-hv0cl 26654  ax-hvaddid 26655  ax-hfvmul 26656  ax-hvmulid 26657  ax-hvmulass 26658  ax-hvdistr1 26659  ax-hvdistr2 26660  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his1 26733  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-lm 20243  df-haus 20329  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ginv 25919  df-gdiv 25920  df-ablo 26008  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-vs 26216  df-nmcv 26217  df-ims 26218  df-hnorm 26619  df-hvsub 26622  df-hlim 26623  df-sh 26858  df-ch 26872
This theorem is referenced by:  h0elch  26906  h1de2ctlem  27206
  Copyright terms: Public domain W3C validator